Automates infinis, logiques et langages

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Submitted on 3 Oct 2011

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Arnaud Carayol

To cite this version:

Arnaud Carayol. Automates infinis, logiques et langages. Informatique [cs]. Université Rennes 1,

2006. Français. �tel-00628513�

THÈSE

Présentée devant

devant l'Université de Rennes 1

pour obtenir

le grade de : Doteur de l'Université de Rennes 1

Mention Informatique

par

Arnaud Carayol

Équiped'aueil : GroupeGalion (Irisa)

Éole Dotorale: Matisse

Composante universitaire: IFSIC

Titre de lathèse :

Automates innis, logiques et langages

Soutenue le8 déembre 2006 à14h00 en salle des thèses devant la ommission

d'examen

M. : Jean-Claude Raoult Président

MM. : Jaques Sakarovith Rapporteurs

Wolfgang Thomas

MM. : Didier Caual Examinateurs

Colin Stirling

Igor Walukiewiz

Je tiens tout d'abord à remerier les membres du jury qui m'ont fait l'honneur

de prendre de leur temps pour évaluer e mémoire.

Meri à Jaques Sakarovith d'avoir évalué e doument dans un temps si res-

treint.Jeleremeriepourses remarquesetpourl'intérêtqu'ilaportéàetravail.

Jem'exuse iipour lesares queluiont ausé laleture de et âpre doument.

Meri à Wolfgang Thomas d'avoir aepté d'être rapporteur ette thèse. Je le

remerieaussi grandementpour touteslesopportunitésqu'ilm'adonnées durant

mathèse enpermettantmaollaborationave Stefan Wörhleetenm'aueillant

dans son équipe pour mon post-dotorat.

Many thanks toColin Stirlingwho introdued me 6 years ago to this wonderful

researhareaandwhosuggestedDidierCaualasmyPhDavdisor.Heoriginated

this adventure and I amproud that he sees its onlusion.

Je remerie Igor Walukiewiz dont les travaux sur la déidabilité de la logique

monadiqueont nourriune grandepartie de ma thèse.

Jeremerie enn Jean-ClaudeRaoult d'avoiraepté d'être présidentde e jury.

Auoursdesannées,sonaueiletsadisponibilitépourrépondreàmesquestions

naïves ontbeauoup omptépour moi.

Je ne pourrai en quelques lignes traduire l'immense privilège et plaisir d'avoir

eu Didier Caualpour direteur de thèse. Sapassion etsa visionde lareherhe

sontpour moiun modèle.Iln'yauune exagération àdireque:sans sononstant

soutien,sans toutes ses qualités humaines,ette thèse n'auraitpas vu lejour.Je

leremerie pour tout ela et pour bien plus enore.

Ce travail de thèse a été lefruit de nombreuses renontres et ollaborations.

Je tiens à remerier Antoine Meyer pour notre frutueuse et très enrihissante

ollaboration. Ses grandes qualités sientiques, son amitié et son soutien jus-

qu'aux derniers instants de ette thèse m'ont été préieux. J'espère avoir dans

l'avenir le plaisir de ontinuer ave lui es travaux et de onrétiser les projets

Je remerie Stefan Wörhle ave qui nous avons joint nos fores pour étudier les

graphesdes automates àpiles d'ordre supérieur. Son aueil etsa générosité ont

été inomparables.

JeremerieaussiThomasColombetpourson enthousiasmeetpourtoute qu'il

m'a appris durant mathèse.

Last but not least, je remerie les amis qui ont toujours été là même quand les

preuves me fuyaient. Pour les roissants et le afé les matins de nuits blanhes,

pour l'oreille à l'autre bout des oups de ls obnubilés et pour avoir subi bien

d'autres faéties, je remerie du fond du oeur: Alexandra, Corentin, Julien, Sé-

bastienet Steven.

Je remerie mes parents quiont subi leshauts et lesbas de ette thèse eten ont

relu toutes lesépreuves.

Enn, je remerie Claire sans qui ela n'auraitpas beauoup de sens.

Table des matières

Introdution 1

1 Notions préliminaires 9

1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Fontionset fontionspartielles . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4 Monoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5 Parties rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.6 Automatesnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.7 Parties reonnaissables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Hiérarhiede Chomsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Systèmesde transitions étiquetées . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Mahines de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Mahines de Turing linéairementbornées . . . . . . . . . . 15

1.2.4 Automatesà pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Graphes olorés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Strutures relationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2 Logique aupremierordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.3 Logique auseond ordre monadique . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.4 Automatesd'arbres ave onditions de parité. . . . . . . . 22

1.4.5 Jeuxde parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.6 Propriété de séletion pour MSO . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Automates innis 29 2.1 Présentations nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Graphesdénis par des mahines . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 Présentations externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Graphesdes automates àpile . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 GraphesHR-equationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Graphespréxe-reonnaissables . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Autour des langagesontextuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Graphesrationnels et leurs sous-familles . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Grapheslinéairementbornés . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Transformations de graphes 49 3.1 Interprétations ettransdutions monadiques . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Transformations àbase d'automates nis . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Dépliage etTreegraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Résultatsde ommutationpartielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 Préservation de la propriété de séletion . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Ensembles rationnels de piles de piles 73 4.1 Automatesà pilede piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.1 Pilede piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.2 Opérationssur les piles de piles . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.3 Instrutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.4 Suites d'instrutionsréduites. . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.5 Automatesà pilede piles et leurs langages . . . . . . . . . 85

4.2 Ensembles rationnels de piles de piles . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 Aepteurs nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.1 Automatesalternants sur

Γ

4.3.2 Automatesalternants réduitssur

Γ

4.3.3 Automatessur

Γ

4.3.4 Test du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.4 Aepteurs nis déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.4.1 Fermeture par omplémentairede Ratk

(Γ)

4.4.2 Complexité de la déterminisation . . . . . . . . . . . . . . 140

4.4.3 Automatessur

Γ

4.5 Relationspréxe-reonnaissables d'ordre supérieur . . . . . . . . . 154

4.5.1 Relationsde PR1^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154}

4.5.2 Relationsde PRk^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156}

4.5.3 Automatesnormalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.6 Rationalitéinduitepar

COps

4.6.1 Automatesalternants sur

Γ

Γ

4.6.2 Représentation normaliséede CRat3

(Γ)

4.6.3 Inlusion stritede CRat3

(Γ)

(Γ)

4.7 Caratérisation par dénissabilitélogique . . . . . . . . . . . . . . 180

4.7.1 L' arbre

TStacks

4.7.2 MSO-dénissabilitésur

GStacks

4.7.3 Séletion sur

GStacks

4.8 Lien ave les automates sur les mots . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.8.1 Automatesbidiretionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.8.2 Automatesà galets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5 Graphes des automates à piles de piles 193 5.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.1.1 Lesgraphes enrainés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.1.2 Lesgraphes des ongurations . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.1.3 Lesgraphes de transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.1.4 Liens ave les graphesdes automates àpiles sur

COps

5.2 Caratérisation par transformationsde graphes . . . . . . . . . . 207

5.2.1 Graphesdes ongurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2.2 Graphesdes transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.3 Générateur et propriétés logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.4 Traes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Perspetives 217

Bibliographie 229

Introdution

Cette thèse s'insrit dans l'étude algorithmique et struturelle des graphes

innis de présentation nie.

Automates innis

Un automate inni est un graphe simple orienté etétiqueté 1

de présentation

nie. Le terme présentation nie signie que la struture de e graphe est dé-

rite par une quantité nie d'information. Cette propriété est ruiale dans le

adre de l'informatiquethéorique puisqu'elle rend es graphesaessibles aux

ordinateurs etdon autraitement automatique.

Il existe deux grandes lasses de présentations nies d'un graphe: les présen-

tationsinternes et externes.

Les représentations internes, qui sont les plus naturelles, xent un nommage

expliite des sommets du graphe. Les sommets sont, par exemple, des mots sur

un alphabetni ou enoredes termes nis. Lesars du graphesont alorsdonnés

par une mahine nie aeptant des ouples de sommets. Des exemples de telles

mahines sont les automates à pile et les mahines de Turing. Dans les graphes

ainsi dénis, les sommets sont des ongurations de ette mahine et les ars

représentent les étapes de alul de lamahine.

Les représentations externes ne fournissent pas de nommage expliite des som-

metsmaisune desriptiondelastruturedu graphe.Unexemple deprésentation

externe onsiste à dérire un graphe par une suite nie de transformations qui

onstruit e graphe en partant d'un graphe ni oud'un graphe inni de présen-

tationnie.

La majeure partie des reherhes sur les automates innis onerne des pro-

priétésqui sontindépendantes de la présentation hoisie. Nousparlerons de pro-

priétés struturelles par opposition aux propriétés liées aux noms des sommets.

Bien entendu, les propriétés algorithmiques de es automates dépendent de la

présentation adoptée. Deuxgrandes famillesde propriétésstruturelles vont gui-

der ette thèse: l'expressivité des logiques déidables sur les automates innis

onsidérés et leslangagesaeptés par es automates.

Logique

Unelogiqueestun langagepermettantd'exprimerdes propriétésstruturelles

du graphe. Elle est donnée par un ensemble de formules et une relation de sa-

tisfation qui lie les graphes 2

et les formules. De nombreuses logiques ont été

introduites ave des expressivités variées; nous en onsidérerons essentiellement

deux: la logique aupremier ordre (FO)et lalogique au seondordre monadique

(MSO). La logique au premier ordre permet de quantier sur les sommets du

graphe. Ainsinous pouvons, par exemple, exprimer que tout sommet du graphe

admet un suesseur. Du point de vue de l'expressivité, la logique au premier

ordre ne peut exprimer que des propriétés loales. En partiulier, il est impos-

sible d'exprimer l'existene d'un hemin entre deux sommets dans la logique au

premier ordre. La logique au seond ordre monadique est un enrihissement de

la logique au premier ordre où l'on autorise à quantier sur des ensembles de

sommets.Grâe àetajout,ellepeutexprimerdes propriétésnon-loalesomme

l'aessibilitéet laonuene.

Une logique est déidable sur un automate inni s'il existe une proédure

automatiqueprenantenentréeuneformuledelalogiqueetdéidantsil'automate

inni satisfait ette formule.

L'étude des automates innis ayant une logique déidable est motivée par

l'intérêt qu'ils présentent pour la vériation des systèmes informatiques ayant

un ensemble de ongurations de taille non bornée. L'automate inni est une

abstrationd'untelsystèmeetlesformuleslogiquesexprimentdes propriétéssur

leomportementde e système.Silamodélisationdu problèmeest orretealors

le système a un omportementdonné si et seulement si l'automate inni assoié

satisfait la formule exprimant e omportement.Un ompromis doit être trouvé

entrelarihessede lastruturede l'automateinnietl'expressivitédelalogique.

En eet une logique trop expressive ne sera déidable que sur des automates

innis de struture extrêmement pauvre etvie etversa.

Il est ommunément admis que la logique monadique réalise un ompromis

satisfaisant entre es deux aspets. En eet d'une part, son expressivité est suf-

sante pour exprimer la plupart des propriétés que l'on souhaite vérier sur le

omportementdessystèmesinformatiques.D'autrepart,elleestdéidablesurdes

famillesassez rihes d'automatesinnis.Enpratiquepour des raisonsd'eaité

de la proédure de déision, on onsidère des logiques moins expressives que la

logique monadiqueomme leslogiques temporellesou leslogiques modales.

Langages

À la n des années50, Chomsky aintroduit,dans [Cho59℄, une hiérarhiede

familles de langages. Cette hiérarhie, aujourd'hui appelée hiérarhie de Chom-

sky, a posé les bases de la théorie des langages formels. Elle est dénie à base

de grammaires formelles et ontient quatre niveaux: les langages rationnels, al-

gébriques,ontextuels etréursivement énumérables. Ces quatre famillesont été

originellementdéniespar desrestritions syntaxiques sur lesgrammaireslesen-

gendrant.Depuis elles ont donnélieuàune étude approfondie eten partiulier a

de nombreuses aratérisations alternatives. En partiulier pour haune de es

famillesde langages, une familled'aepteurs nis orrespondante a été donnée:

les automates nis, les automates à pile, les mahines de Turing travaillant en

espaelinéaire etles mahines de Turing.

Réemment,esfamillesdelangagesontétéaratériséspardes famillesd'au-

tomatesinnis(voirparexemple [CK02,Tho01℄). Pour voirlesautomatesinnis

ommedes aepteursdelangages,ilsutdeleuradjoindreunensembledesom-

metsditinitiauxainsiqu'un ensemblede sommetsditnaux.Lelangageaepté

parun automateinniainsienrihiestl'ensembledesmots étiquetantunhemin

allant d'un sommet initial à un sommet nal. Ce langageest appelé la trae de

l'automate.Cettenotiongénéraliseparfaitementlanotiond'automatenisur un

monoïdelibre; e qui justie ladénomination d'automate inni. Cette approhe

a permis de proposer une hiérarhie de familles d'automates innis aeptant la

hiérarhie de Chomsky: les automates nis, les graphes préxe-reonnaissables

[Cau96℄, lesgraphes rationnels [MS01 ℄etles graphesde transitionsdes mahines

de Turing [Cau03b ℄.

Historique

L'étude des automates innis a débuté ave les travaux de Muller et Shupp

[MS85℄ sur lesgraphes enrainés des automates à pile(aussi appelés ontext-free

graphs enanglais).Untelgrapheapoursommetslesongurationsdel'automate

à pile aessibles depuis la onguration initiale et ses ars sont donnés par les

transitionsde l'automate.MulleretShupp établissent unepropriétéstruturelle

fondamentale de esgraphes. Pour ela,ilsonsidèrent lasuitedes graphesobte-

nus en supprimant un sommet donné, puis les sommets à distane au plus 1 de

esommet,puislessommetsàdistane auplus2,et.Ilsétablissentquepour les

graphesenrainés des automatesà pile,ette suitene ontientqu'un nombre ni

de omposantes onnexes non isomorphes. Cette propriété leur permet de mon-

trer que es automates innis ont tous une théorie au seond ordre monadique

(MSO) déidable. Ils se ramènent à la déidabilité de MSO sur l'arbre binaire