Automates alternants sur Γ k

La notion d'alternane a été introduite dans [CKS81℄ et a été étendue à de nombreuxmodèleslassiquesdel'informatiquethéorique.Elleautorisel'exéution simultanée de plusieurs transitions d'un automate. Pour donner un sens à ette notion,dans notre adre, ilne faut plus engendrer les piles en partant de la pile vide omme 'est le as pour les automates sur

Γ

_k (f. dénition 4.3.1): il faut fairepartir l'exéution de lapileàaepter. Commele jeud'opérations

Ops

_k est symétrique,ehangementde pointdevuen'a pasde onséquene.Nousverrons dans lesous-paragraphe4.6que e n'est pas leas sinous onsidérons

COps

_k au lieude

Ops

_k.

Dénition 4.3.10. Un automate

A

alternant sur

Γ

k est un uplet

(Q,I,∆)

où

Q

est un ensemble ni d'états,

I ⊆ Q

est l'ensemble des états initiaux et

∆ ⊆

Q×Sing(Γ

t

k

)×2

Q×Γo

k est l'ensembledes transitions.

Une transition

δ = (p,t,{(q

1

,γ

1

), . . . ,(q

n

,γ

n

)})∈∆

sera notée

p,T →(q

1

,γ

1

)∧

. . .∧(q

_n

,γ

_n

)

. Intuitivement, l'automate

A

dans la onguration

(q,s)

où

q ∈ Q

et

s ∈ Stacks

k

(Γ)

peut, si

s

satisfait le test de

T

(i.e. pour tout

t ∈ T

,

s ∈

Dom

(R(t))

), laner

n

exéutions en parallèle. La

i

ème

exéution ommene dans laonguration

(q

_i

,R(γ

_i

)(s))

(si

R(γ

_i

)(s)

est bien dénie).

Nous introduisons quelques notations permettant de travailler ave es transi-tions. Pour toute transition

δ = (p,T,A) ∈ ∆

, nous noterons

Head(δ) = p

,

Test(δ) =T

et

Act(δ) = A

.

un arbre ni étiqueté par

Γ

o

k et

C

est une appliation de

V

_T dans l'ensemble

Q×Stacks

k

(Γ)

. Pour tout n÷ud

u ∈ V

T dont l'image par

C

est

(p,s)

, il existe une transition

δ

_u

=p,T →(q

₁

,γ

₁

)∧. . .∧(q

_n

,γ

_n

)∈∆

telle que:

pour tout

t ∈T

,

s∈

Dom

(R(t))

,

pourtout

i∈[1,n]

,ilexiste

v

_i

∈V

_T telque

C(v

_i

) = (q

_i

,R(γ

_i

)(s))

et

u−→

^γi

T

v

_i. Nous noterons dans lasuite

Φ

E l'appliation de

V

_T dans

∆

qui assoieàtout

u ∈ V

T, la transition

δ

u appliquée au n÷ud

u

dans l'exéution

E

. Dans la suite, nousonsidérerons lesexéutions àisomorphismeprès(i.e.nousne distinguerons pas deux exéutions qui ne diérent que par le nommage des sommets de leurs arbres).

Nous dirons qu'une exéution

E = (T,C)

ommene en

s ∈ Stacks

k

(Γ)

par l'état

q∈ Q

(resp. par latransition

δ ∈∆)

si

C(r(T)) = (q,s)

(resp.

Φ

E

(r(T)) =

δ

).

L'automate

A

aepte

s ∈ Stacks

k

(Γ)

s'il existe une exéution de

A

om-mençant en

s

par

i ∈ I

. Nous noterons

S(A)

l'ensemble des piles de

Stacks

_k

(Γ)

aeptées par

A

. Par analogie nous noterons, pour tout

q ∈ Q

(resp.

δ ∈ ∆

), l'ensemble

S

_q

(A)

(resp.

S

_δ

(A)

) des piles

s ∈ Stacks

k

(Γ)

telles qu'il existe une exéutionde

A

ommençant en

s

par l'état

q

(resp.par latransition

δ

).

Nousnoterons Altk l'ensembledes langagesde piles de niveau

k

aeptés par un automate alternant sur

Γ

k.

Remarque 4.3.11. Remarquons les faitssuivants:

1. La taille

|A|

d'un automate alternant

A

sur

Γ

k est borné par

|Γ

k

|2

2|QA||Γk|

(i.e..

exp[1](|Q

A

|)

).

2. Comme pour les automates sur

Γ

k, nous ajoutons des

ε

-transitions en ra-joutant une instrution

ε

à

Γ

o

k interprétée omme

Id

k. L'élimination des

ε

-transitions se fait par un méanisme lassique de saturation qui n'aug-mentepas le nombre d'états mais qui peut produire un automate de taille exponentielle en

|Q

_A

|

.

Exemple 4.3.12. Pour tout entier

n ≥ 1

, onsidérons le langage rationnel

L

n

sur l'alphabet

Γ ={0,1,$}

déni par:

L

n

={x$y$z$y|y ∈ {0,1}

ⁿet

x,z ∈Γ

^∗

}

Considérons l'ensemble

S

n des pilesde niveau 2ontenant uneunique pilede niveau

1

appartenant à

L

_n (i.e.

S

_n

= {[ [w] ]

₂

| w ∈ L

_n

}

). Nous dénissons un automate

A

n alternant sur

Γ

2 qui aepte

S

n.

Pour tout

n ≥ 1

, l'automate

A

n alternant sur

Γ

2 est déni par le uplet

(Q

_n

,{q

₀

},∆

n

)

où:

etoù l'ensembledes transitions

∆

_n est déni par:

q

₀

→(t

₁

,x¯)∧(q

^↓

,1)

t

i

→(t

i+1

,x¯) t

n

→(v,¯$) v →(v,y¯)

q

^↓

→(q

^↓

,y¯) q

^↓

→(p

1

,¯$) p

i

→(p

i+1

,x¯)∧(r

_i^x

,y)

p

_n+1

→(f,¯$) r

x i

→(r

x i

,y) r

x i

→(s

x i

,¯1)

s

₁

→(f,x¯) s

^x_i+1

→(s

^x_i

,y¯)

v,{⊥

2

} → ∅ f → ∅

où

x∈ {a,b}

,

y ∈Γ

et

i∈[1,n]

.

Intuitivement, l'automate lane deux exéutions. La première, utilisant les états

t

_i et

v

,vérieque lapileest de laforme

{[ [w$y] ]

₂

|w∈Γ

^∗ et

y∈ {a,b}

∗

}

. Laseondevérieque

$y$

estbien unfateurde

w$

.Pour eetueretteseonde vériation, l'automate opie lapileet dépile(de manière non-déterministe)une suite de symboles se terminant par

$

. Ensuite, l'automate dépile un symbole

x∈ {a,b}

etlaneuneexéutionave l'état

r

^x₁ quivériequelepremieraratère en partant du haut de pile est un

x

. Le proessus est itéré au total

n

fois: le dépilement du

i

ème

symbole

x

_i lane en parallèleune exéutiondans l'état

r

x i qui vériequele

i

ème

(enpartantduhautdelapile)est

x

_i.Cetteexéutionsetermine en vériantque le

n+ 1

ème

symboleest un

$

.Lagure 4.2montre une exéution de

A

₂ aeptant

[ [a$ab$ab] ]

₂.

Le langage

L

_n est évidement rationnel et tout automate ni déterministe l'aeptant possède au moins

2

2n

états et don, tout automate ni l'aeptant a au moins

2

n

états. Remarquons que l'automate

A

_n a lui

4n + 5

états. Nous reviendrons sur ette remarque dans leparagraphe 4.8.

Unepremièrepropriétédees automatesestqu'ilsaeptenttousleslangages de Ratk.

Plus préisément, en utilisant lelemme 4.1.2, nous pouvons établir l'équivalene entre les automates sur

Γ

k et les automates alternants dit élagués dont l'arbre d'exéution est réduit à une branhe etqui don n'utilisentpas l'alternane. Dénition 4.3.13. Un automate

A = (Q

A

,I

A

,∆

A

)

est élagué si pour tout

δ ∈

∆

A,

|Act(δ)| ≤1

.

La taille d'un automate alternant sur

Γ

k est au plus

|Q|

2

|Γ

k

|

2

où

Q

est l'en-semble des états de l'automate. Intuitivement, pour passer d'un automate sur

Γ

_k à un automate alternant élagué sur

Γ

_k, ilsut de renverser les transitions de l'automate et d'éhanger les états initiaux et naux. Pour la transformation réiproque, il faut en plus ajouter un nouvel état ar l'exéution d'un automate alternantet élaguésur

Γ

_k ne setermine pas néessairement sur lapile vide

[ ]

_k.

(q0,[ [a$ab$ab] ]₂) (q0,[ [a$ab$ab] ]₂) t1,[ [a$ab$a] ]₂ t2,[ [a$ab$ ] ]₂ v,[ [a$ab] ]₂ v,[ [ ] ]₂ ¯ a ¯ $ ¯ ¯ b (q0,[ [a$ab$ab] ]₂) q↓,[ [. . .] [a$ab$ab] ]₂ p1,[ [. . .] [a$ab] ]₂ p2,[ [. . .] [a$a] ]₂ rb 1,[ [. . .] [a$ab$ ] ]₂ ra 2,[ [. . .] [a$ab] ]₂ p3,[ [. . .] [a$ ] ]₂ sb 1,[ [a$ab$ab] ]₂ sa 2,[ [a$ab$ab] ]₂ f,[ [. . .] [a] ]₂ f,[ [a$ab$a] ]₂ sa 1,[ [a$ab$a] ]₂ f,[ [a$ab$ ] ]₂ 1 ¯_b ^$ b ¯ b ¯ a ¯ a ¯ $ ^¯b

Fig. 4.2 Une exéution de

A

2 aeptant la pile

[ [a$ab$ab] ]

₂.

Proposition 4.3.14. Les automates alternants élagués sur

Γ

k et les automates sur

Γ

k sont équivalents:

1. Pourtout automate

A

sur

Γ

k, ilexiste un automate

B

alternant élagué sur

Γ

k tel que

S(B) =S(A)

et

|Q

_B

|=|Q

_A

|

.

2. Pourtout automate

A

alternant élagué sur

Γ

k, ilexiste un automate

B

sur

Γ

_k tel que

S(B) =S(A)

et

|Q

_B

|=|Q

_A

|+ 1

.

Démonstration. Nous établissons lesdeux propriétés.

1. Soit

A = (Q

A

,I

A

,F

A

,∆

A

)

un automate sur

Γ

k. Nous onstruisons un auto-mate

B = (Q

A

,F

A

,∆

B

)

alternantélaguésur

Γ

kaeptant

S(A)

.L'ensemble des transitions

∆

B est déni par:

∆

B

= {q,T →(p,γ¯)|p−→

^γ

q,T ∈∆

A

}

∪ {i,⊥

_k

→ ∅ |i∈I

_A

}.

Par lelemme 4.1.2 etpar onstrution,

S(A) =S(B)

.

2. Soit

A= (Q

_A

,I

_A

,∆

_A

)

un automate alternantélagué sur

Γ

_k. Nous onstrui-sons un automate

B = (Q

B

,I

B

,F

B

,∆

B

)

aeptant

S(A)

. L'ensemble des états

Q

_B

= Q

_A

∪ { • }

où

•

est un symbole n'appartenant pas à

Q

_A. Les états initiaux sont

I

B

= {q ∈ Q

A

| q → ∅ ∈ ∆

A

} ∪ { • }

. Les états naux

F

_B sontles états initiaux

I

_A de

A

. Enn, l'ensembledes transitions de

∆

_B

est déni par:

∆

_B

= {q−→

^γ¯

p,T |p,T →q,γ ∈∆

_A

}

∪ {•−→ • |

^γ

γ ∈Γ

o

k

}

∪ {•−→

^γ

p,T |γ ∈Γ

o

k et

p,T → ∅ ∈∆

A

}

Par onstrutionet par lelemme 4.1.2,

S(A) =S(B)

.

Exemple 4.3.15. Reprenons l'automate

A

sur

Γ

2 présentédansl'exemple4.3.2. L'automate

B = (Q

_B

,I

_B

,∆

B

)

alternant élagué sur

Γ

2 onstruit dans la proposi-tion 4.3.14est donnéi-dessous. L'ensembledes états

Q

_B

={i,p,q,f }

,

I ={f}

, etl'ensemble des transitions

∆

B est:

i,{ ⊥

₂

} → ∅ i→(i,a¯) p→(i,¯1)

q →(p,a) p→(q,¯1) f,{ ⊥

1

} →(p,a).

Ainsila pile

[ [aa] [a] [ ] ]

₂ est aeptée par l'exéution:

(f,[ [aa] [a] [ ] ]

₂

)−→

^a

(p,[ [aa] [a] [a] ]

₂

)−→

^¯1

(q,[ [aa] [a] ]

₂

)

a

−→(p,[ [aa] [aa] ]

₂

)−→

^¯1

(i,[ [aa] ]

₂

)−→

^¯a

(i,[ [a] ]

₂

)−→

^¯a

(i,[ ]

₂

).

Une onséquene direte de la proposition préédente est que les ensembles de Ratk sont aeptés par les automates alternantssur

Γ

k.

Une autre propriété de base des automates alternants est que les langages qu'ilsaeptent sont los par union etintersetion.

Proposition4.3.16. Pourtout automates

A

et

B

alternantsur

Γ

k,les langages

S(A)∩ S(B)

et

S(A)∪ S(B)

sont aeptés par des automatesalternants sur

Γ

_k

Démonstration. Soit

A = (Q

A

,I

A

,∆

A

)

et

B = (Q

B

,I

B

,∆

B

)

deux automates al-ternants sur

Γ

k. Nous pouvons sans perte de généralité supposer que

Q

_A et

Q

_B

sont disjoints. L'automate

C = (Q

_A

∪ Q

_B

,I

_A

∪ I

_B

,∆

A

∪∆

B

)

aepte le lan-gage

S(A)∪ S(B)

. Soit

•

un symbolen'appartenant pas à

Q

A

∪Q

B.L'automate

D= (Q

_A

∪Q

_B

∪ {ε},{ • },∆

D

)

d'ensemblede transitions

∆

D

= ∆

A

∪∆

B

∪ {• →(i

A

,ε)∧(i

B

,ε)|i

A

∈I

Aet

i

b

∈I

B

}.

aepte le langage

S(A)∩ S(B)

.

Remarque 4.3.17. Nous n'obtenons pas la fermeture par omplémentaire ar nous n'autorisons que l'aeptation par exéution nie. Il est possible de dénir une notiond'automatealternant plus généralequi autorisel'aeptationpar une exéutioninnieetquiimpliquelafermetureparomplémentaire.Toutefois,ette

Nousallonsmaintenantprésenter une propriétédes exéutions desautomates alternants.Lapropositioni-dessousmontrequenous pouvons toujourssupposer quel'exéution de l'automateest tellequesiàdeux pointsde son exéution l'au-tomatearrivedans unemêmeonguration, alorsilappliquelamêmetransition. Une telle exéutionest dite positionnelle.

Dénition 4.3.18. Une exéution

E = (T,C)

d'un automatealternant

A

sur

Γ

_k

est positionnelle sipour tout

u

et

v ∈V

T,

C(u) =C(v)

implique

Φ

E

(u) = Φ

E

(v)

. Par exemple, l'exéution présentée dans la gure 4.2 est une exéution posi-tionnelleartouslesnoeudsde

T

sontétiquetéspardesongurationsdiérentes. Nous allons établir que l'on peut se restreindre aux exéutions positionnelles d'un automate alternant sur

Γ

k.

Proposition4.3.19. Pourtoutautomate

A

alternant sur

Γ

k, toutepileaeptée par

A

est aeptée par une exéution positionnellede

A

.

Démonstration. Soient

A= (Q,I,∆)

un automate alternant sur

Γ

k et

s

une pile de

Stacks

_k

(Γ)

aeptéepar

A

.Àhaqueexéution

E = (T,C)

de

A

,nousassoions l'ensemble

XE

de ongurations déni par:

XE ={c∈Q×Stacks

k

(Γ)| ∃u6=v ∈V

T

,C(u) = C(v) =c

et

Φ

E

(u)6= Φ

E

(v)}.

Par dénition, une exéution est positionnelle si etseulement si

XE =∅

.

Commençonsparétablirquepourtouteexéution

E

aeptant

s∈Stacks

k

(Γ)

ave

XE 6=∅

, ilexiste une exéution

E

′

aeptant

s

telle que

|XE

′

|<|XE|

. Soit

E = (T,C)

uneexéutionde

A

aeptant

s

telleque

XE 6=∅

.Comme

T

est ni, il existe

c

₀

∈X

_E et

u

₀

∈V

_T tels que

C(u

₀

) =c

₀ et l'imagepar

C

des autres sommets de

T

_/u0 ne ontient pas d'éléments dans

XE

(i.e.

C(V

_T/u

0

)∩XE = ∅

).

Soit

V

0 l'ensemble des n÷uds de

T

qui sont étiquetés par

c

0 et tels qu'auun de leurs anêtres ne soitétiqueté par

c

₀:

V

₀

={u∈V

_T

|C(u) =c

₀ et

∀v 6=u∈V

_T

,v −→

T

∗

u⇒C(v)6=c

₀

}.

L'exéution

E

′

est onstruite à partir de

E

en substituant, dans

E

′

, le sous-arbre

T

_/u0 à tous les sous-arbres enrainés en

V

₀. Comme par dénition de

V

₀, lessous-arbres enrainésen

V

0 sonttous disjoints,lasubstitutionest bien dénie et l'on vérie failement que

E

′

est une exéution aeptant

s

. Par onstrution,

X

_E^′

⊆XE

etpar dénition de

T

_/u0,

c

₀

6∈X

_E^′. Don

|X

_E^′

|<|XE|

.

Soit

E

0 une exéution de

A

aeptant

s

ave

|XE

₀

|

minimale.Il suit de e qui prééde que

X

_E0

=∅

etdon que

E

₀ est positionnelle.

nouspouvons dénirlasémantiqued'un automate alternant

A

sur

Γ

_k par unjeu de parité

G

A

= (V

0

,V

1

,E =E

0

∪E

1

,Ω)

àdeux joueurs.

V

₀

= Q×Stacks

_k

(Γ)

V

1

= {(δ,s)|δ =q,T →(q

1

,γ

1

)∧. . .∧(q

n

,γ

n

)

et

∀j ∈[1,n],s

_j

=R(γ

_j

)(s)

est déni

}

E

₀

= {((q,s),(δ,s)) |(q,s)∈V

₀

,(δ,s)∈V

₁ et

Head(δ) =q}

E

1

= {((δ,s),(q,s

^′

))|(δ,s)∈V

1

,(q,γ)∈Act(δ)

et

s

^′

=R(s)

et

∀j ∈[1,n],s

_j

=R(γ

_j

)(s)

est déni

}

Lafontion

Ω

assoielaparité

1

àtouslessommetsdujeudetellesortequetoute partieinniesoitperdantepourleJoueur

0

.Ilestfailedevérierquelejoueur

0

a une stratégiegagnante depuis

(q,s)∈V

₀ si etseulement s'ilexiste une exéution de

A

partant de

(q,s)

. De plus si ette stratégie est positionnelle, l'exéution orrespondantel'est aussi. Laproposition4.3.19suit alors du théorème1.4.5. Ce raisonnement est une adaptation immédiate de la preuve de[Wal96a, Wal02℄ où l'auteur montre que pour les automates d'arbres alternants ave onditions de paritéil est possible de serestreindre aux exéutions positionnelles.

Dans le document Automates infinis, logiques et langages (Page 110-116)