Relations de PR k

i∈[0,2]

[

j+k=i

(A

i,3

·B

j,3

)·({ε},B

k,3

)

!

∪(A

i,3

·B

i,3

)·(b

^∗

,{ε}).

Lapropriété léde esrelationsest qu'ellesorrespondentàdes ensembles de suitesréduites d'instrutionsdansRat

((Γ

1

∪ T

Rat1(Γ)

)

∗

)

.Enpartiulier,pourtout ouple

(u,v)∈W ·(U,V)

, ilexiste une unique déomposition

u=wu

^′ et

v =wv

^′

où

w∈ W

,

u

^′

∈U

et

v

^′

∈V

. L'uniité de ette déomposition permet d'obtenir lafermeture par omplémentaire.

Proposition 4.5.6 ([Cau96℄). Les relationspréxe-reonnaissablesforment une algèbre de Boole.

4.5.2 Relations de PR

k

.

Dans e sous-paragraphe, nous étendons les propositions 4.5.4 et 4.5.6 aux relations de PRk. Dans e but, nous dénissons, pour tout

k ≥ 1

, une famille Rewk d'ensembles de Rat

((Γ

k

∪ T

Ratk

)

^∗

)

.Notre but sera, dans un premiertemps, d'établir que toute relation de PRk est égale à une union nie de relationsdans

D(

Rewk

)

(f. théorème 4.5.12).

Avantde dénirla familleRewk, ilnous fautintroduiredeux notations. Nous assoierons, à haque suite

ρ ∈ (Γ

k

∪ T

Ratk

)

∗

, un symbole dans

Γ

o

k

∪ {ε}

noté First

(ρ)

(resp. Last

(ρ)

), etvalant

ε

si

O={i∈[1,|ρ|]|ρ(i)∈Γ

o

k

}

est égal à

∅

et valant

ρ(min(O))

(resp.

ρ(max(O))

) sinon.

Norm1

(Γ) =

Rat

(Γ

∗

)

Rew1

(Γ) = {U · T

_W

·V |U,V ∈

Norm1

(Γ),W ∈

Rat1

(Γ),

First

(U)∩

First

(V)⊆ {ε} }

Norm

k+1

(Γ) =

Rew1

(Γ)·

Rat

((1·

Rewk

(Γ))

∗

)

Rewk+1

(Γ) = {U · T

_W

·V |U,V ∈

Normk+1

(Γ),W ∈

Ratk+1

(Γ),

First

(U)∩

First

(V)⊆ {ε},

etLast

(W)∩(

First

(U)∪

First

(V))⊆ {ε} }.

(4.9)

re-relationspar un automate sur

Γ

_k ave tests dans Ratk

(Γ)

. Formellement, un au-tomate sur

Γ

k ave tests dans Ratk

(Γ)

aepte la relation sur

Stacks

k

(Γ)

, notée

D(A)

, dénie par

D(I(A))

. Une adaptation immédiate de la proposition 4.3.5 établit que pour toute relation

R

de PRk, il existe un automate

A

sur

Γ

_k ave tests dans Ratk

(Γ)

telque

D(A) = R

.

4.5.2.1 Représentation normalisée des relations de PRk.

Dans e sous paragraphe, nous établissons lethéorème 4.5.12 qui établit que toute relationde PRk est une union nie de relationsdans

D(

Rewk

)

.

La première étape est d'établir que les relations de PRk sont aeptées par des automates réduits sur

Γ

k ave tests dans Ratk

(Γ)

. Pour ela, nous adaptons lapreuve de la proposition 4.3.48.

Considéronsunautomate

A

sur

Γ

kave testsdansRatk.Commedansle sous-paragraphe 4.3.3.2, nous allons éliminer les boules des aluls de

A

. L'unique diérene réside dans la dénition des langages de boules. Pour tout

p,q ∈Q

_A, nousnoterons

B

p,q l'ensembledes piles

s∈Stacks

k

(Γ)

tellesqu'ilexiste unalul de

A

partant de laonguration

(p,s)

etarrivant àla onguration

(q,s)

.

Remarque 4.5.7. Dans le sous-paragraphe 4.3.3.2, la notion de boule utilisée est plus restritive. Rappelons que nous disons l'automate

A

boule sur la pile

s∈Stacks

k

(Γ)

en partant dans l'état

p

et en revenantdans l'état

q

s'il existe un alul

(p

0

,s

0

)−→

A

· · · −→

A

(p

n

,s

n

)

telque

s

0

=s

n

=s

,

p

0

=p

,

p

n

=q

etpour tout

ℓ ∈ [0,n]

,

ρ

s

⊑ ρ

s_ℓ. Pour tout

p,q ∈ Q

A, nous notons

L

p,q l'ensemble des piles

s

de niveau

k

telles que

A

boule sur

s

en partant de

p

eten revenant en

q

. Cette notion n'est pas susante lorsque l'on onsidère les relations aeptées par les automates sur

Γ

k.

Considérons l'automate

A

sur

Γ

1 présenté i-ontre. Larelation aeptée est

D(¯aa) ={(w,w)|w∈ Γ

^∗

a}

. Le langage

L

_i,f est videalors que le langage

B

_i,f est égal à

Γ

∗

a

etnous obtenons don une représentation réduitede

D(A)

quiest égale à

T

_Γ∗·a.

i ^a t ^a¯ f

Paruneadaptationimmédiatedelaonstrutiondu lemme4.3.46,nous mon-trons que pour tout

p,q ∈ Q

_A, le langage

B

_p,q est aepté par un automate alternant sur

Γ

k. Remarquons que l'automate alternant a le même niveau que l'automate

A

alors que dans le lemme 4.3.46 (où la notion de boule est plus restreinte) l'automate alternant aun niveau de moinsque elui de

A

.

Lemme 4.5.8. Pour tout automate

A

sur

Γ

k ave tests dans Ratk

(Γ)

et pour tout

p,q ∈Q

_A, il existe un automate

A

_p,q alternant sur

Γ

k aeptant

B

_p,q.

L={L

₁

, . . . ,L

_n

} ⊂

Ratk

(Γ)

et

p

₀

,q

₀ des états de

Q

_A.

Nous allons ommener par onstruire un automate

B = (Q

B

,I

B

,∆

B

)

alter-nantsur

Γ

k aeptant

B

_p0,q0. L'ensembledes états

Q

_B est égal

Q

_A

×Q

_A

×(Γ

o

k

∪

{k,• })×Sing(Γ

t

k

)×2

L

etl'ensembledesétatsinitiaux

I

_Best

{(p

₀

,q

₀

,•,T,T

^′

)|T ∈

Sing(Γ

t

k

)

et

T

^′

⊆ L}

.Pourdénirl'ensembledestransitions

∆

B,nousonsidérons des transitions

δ

de la formesuivante:

δ = (p,q,γ,T,L),T,L→ ^

γ′∈R

^

(p′,q′,γ′,T′,L′)∈Q_γ′

((p

^′

,q

^′

,γ

^′

,T

^′

,L

^′

),γ

^′

)

où

R ⊆(Γ

o k

∪{k})\{γ¯}

si

γ 6=•

et

R ⊆(Γ

o k

∪{k})

si

γ =•

etpourtout

γ

^′

∈R

,

Q

_γ′

⊆Q

_B. Pour tout

γ

^′

∈R

, nous dénissons un ensemble

R

_γ′

⊆Q

_A

×Q

_A égal à:

R

γ′

= {(p,q)| ∃(r,t,γ,T

^′

,L

^′

)∈Q

γ

,p−→

^γ′

r,T

1

,L

1

∈∆

A

,t−→

^¯γ′

q,T

2

,L

2

∈∆

A

,

T

₁

≤T,T

₂

≤T

^′

,L

₁

⊆L

et

L

₂

⊆L

^′

}.

La transition

δ

appartient à

∆

B si

(p,q) ∈ S

γ′∈R

R

_γ′

∗ . Par la proposi-tion 4.3.38, ilexiste un automate

C

alternantsur

Γ

k équivalentà

B

.

Grâe au lemme préédent, nous pouvons maintenant réduire les automates sur

Γ

_k ave testsdans Ratk

(Γ)

sanshangerlarelationaeptée. Laonstrution est une adaptation de laonstrution de la proposition 4.3.48.

Proposition 4.5.9. Pour tout

k ≥ 1

, pour tout automate

A

sur

Γ

k ave tests dans

L ⊆

Ratk

(Γ)

, il existe un automate

B

réduit sur

Γ

k ave tests dans

L

′

⊆

Ratk

(Γ)

.

Démonstration. Soit

A= (Q

_A

,I

_A

,F

_A

,µ

_A

,∆

A

)

unautomate sur

Γ

k ave testsdans

L ⊆

Ratk. Nous onstruisons un automate

B = (Q

_B

,I

_B

,F

_B

,µ

_B

,∆

_B

)

réduit sur

Γ

k+1 ave tests dans un ensemble ni

L ⊂

Ratk+1 équivalent à

A

. L'ensemble

L

ontient leslangagesaeptés par les automates

A

γ

p,q pour tout

p,q ∈ Q

A et

γ ∈ Γ

o

k

∪ {k}

. A es langages, il faut ajouter les langages de tests assoiés aux états initiaux. Pour tout état

p ∈ Q

A, nous noterons

S

p le langage

S

i∈I_A

S(A

_i,p

)∩(T

L∈µ_A(i)

L)

. Par la proposition 4.3.16 et le théorème 4.3.43, le langage

S

p appartientà Ratk+1.Nous prenons don

L

égal à:

L = {S(A

^γ_p,q

)|p,q ∈Q

_Aet

γ ∈Γ

o

k

∪ {k}}

∪ {S

q

|q ∈Q

A

}

où pour tout

p,q ∈ Q

A et

γ ∈ Γ

o

k+1,

A

^γ_p,q est l'automate alternant sur

Γ

k déni dans lelemme4.3.46.Tout langage

L∈ L

est aepté parun automate alternant sur

Γ

k de taillepolynomiale en

|A|

.

Nous pouvons maintenantdénir l'automate

B

. L'ensemble des états

Q

_B est égal à

Q

A

×(Γ

o

k+1

∪ {ε})

.Lesensembles d'états initiaux etnaux sont respeti-vement

I

_B

=Q

_A

× {ε}

et

F

_B

=F

_A

×(Γ

o

k+1

∪ {ε})

.L'appliation

µ

_B est dénie pour tout

(q,ε) ∈ Q

_B par

µ

_B

((q,ε)) = S

_q. L'ensemble des transitions

∆

_B est donnépar:

∆

B

={(p,γ

^′

)−→

^γ

((r,γ),γ),T,L∪T

_S(Aγ

q,r)

|γ ∈Γ

o

k

∪ {k},γ 6= ¯γ

^′ et

p−→

^γ

q,T,L}.

Paronstrutionl'automate

B

estréduit.Uneadaptationimmédiatedelapreuve de la proposition 4.3.48 établitque

D(B) =D(A)

.

L'étape suivante onsiste à exprimer la relation aeptée par un automate réduitsur

Γ

kavetestsdansRatkommeuneunionniederelationsreprésentées par des ensembles d'instrutions dont la forme orrespond aux ensembles de Rewk.

Proposition 4.5.10. Pour tout automate

A

réduit sur

Γ

k+1 ave des langages de testsdans Ratk+1, larelation

D(R)

s'érit ommeune union niede relations de la forme

D(U · T

W

·V)

où

U

et

V

sont des ensembles réduits dans Rat

((Γ

k

∪

{k} ∪ T

Ratk+1(Γ)

)

∗

)

et où

W

appartient à Ratk+1

(Γ)

ave:

First

(U)∩F irst(V)⊆ {ε}

et Last

(W)∩(

First

(U)∪

First

(V))⊆ {ε}

.

Démonstration. Soit

A = (Q

A

,I

A

,F

A

,µ

A

,∆

A

)

un automate réduit sur

Γ

k+1 ave tests dans Ratk+1

(Γ)

. Pour tout

p∈ Q

_A et pour tout

γ ∈ Γ

o

k

∪ {k,ε^¯ }

, nous dé-nissons

U

_p^γ ommelelangagedes suitesd'instrutions aeptéespar l'automate

(Q

A

,I

A

,{p},µ

A

,∆

A

)

restreint aux suites d'instrutions

ρ

ne ontenant pas l'ins-trution

k

et telle queLast

(ρ) =γ

. De manièreanalogue, nous dénissons, pour tout

p∈Q

A et pour tout

γ ∈Γ

o

k

∪ {k,ε}

,

V

_p^γ omme lelangagedes suites d'ins-trutions aeptées par l'automate

(Q

A

,{p},F

A

,∆

A

)

restreint aux suites d'ins-trutions

ρ

ne ontenant pas l'instrution

_k¯

ettelle que First

(ρ) =γ

.

Comme

A

est un automate réduit, il est aisé de voir que pour tout

q ∈ Q

_A

etpour tout

γ ∈Γ

k,

U

^γ_p et

V

_p^γ sont des ensembles réduitsdans Rat

((Γ

k

∪ {k} ∪

T

Ratk+1(Γ)

)

^∗

)

. Nousarmons que:

D(A) = [

p∈QA

[

(γ1,γ2,γ3)∈I

D U

^γ1 p

· T

Wγ₂

·V

^γ3 p

où

I

est le sous-ensemble de

Γ

o

k

∪ {^¯k,ε} ×Γ

o

k

∪ {k,ε} ×Γ

o

k

∪ {^¯k,ε}

déni par:

(γ

1

,γ

2

,γ

3

)∈I ⇔ {γ

1

} ∩ {γ¯

3

} ⊆ {ε}

et

{γ

2

} ∩ {γ

1

,γ¯

3

} ⊆ {ε}.

L'inlusion réiproque est immédiate. Pour l'inlusion direte, onsidérons deux piles

s

et

s

^′ dans

Stacks

k+1

(Γ)

telles que

(s,s

^′

) ∈ D(A)

. Notons

ρ

s et

ρ

s′

lessuites réduites des piles

s

et

s

^′. Notons

r

lapilede

Stacks

_k+1

(Γ)

dont lasuite réduite est leplus petit préxe ommun de

ρ

s et

ρ

s′.

Comme

(s,s

^′

)

appartient à

D(A)

, il existe

ρ ∈ I(A)

tel que

s

^′

= R(ρ)(s)

. Il existe deux suites d'instrutions

ρ

₁ et

ρ

₂

∈ Γ

∗

k+1 telles que

ρ = ρ

₁

· ρ

₂ et

R(ρ

1

)(s) =t

et

R(ρ

2

)(t) =s

^′. Comme

ρ∈ I(A)

,il existe un état

q ∈Q

A tel que

i −→

^ρ1

A

q

et

q −→

^ρ2

A

f

où

i ∈I

_A et

f ∈ F

_A. Notons

γ

₁

=

Last

(ρ

₁

)

,

γ

₂

=

Last

(ρ

_r

)

et

γ

₃

=

First

(ρ

₂

)

.Lasuited'instrutions

ρ

₁ appartientà

U

γ1

q etlasuite

ρ

₂ appartient à

V

^γ3

q et

r ∈W

^γ2

. Comme

ρ=ρ

₁

·ρ

₂ est une suite réduite,

{γ

₁

} ∩ {γ

₃

} ⊆ {ε}

. Comme

ρ

r

ρ

1 est la suite réduite de

s

,

{γ

2

} ∩ {γ

1

} ⊆ {ε}

. Comme

ρ

r

ρ

2 est la suite réduite de

s

^′,

{γ

₂

} ∩ {¯γ

₃

} ⊆ {ε}

. Il suit don

(γ

₁

,γ

₂

,γ

₃

) ∈ I

. Comme

(s,s

^′

)∈ D U

γ1

p

· T

_Wγ₂

·V

γ3

p

, nous avons établi l'inlusiondirete. La propositionsuivante est l'étape léde lapreuve.

Proposition4.5.11. Pour toutautomate

A

réduitsur

Γ

k+1 ave tests dans

L ⊂

Ratk+1

(Γ)

neontenantpasl'instrution

_k¯

,larelation

D(A)

est égaleàuneunion nie de relations de la forme

D(T

Ratk+1

· I(B))

où

B

est un automate réduit sur

Γ

k+1 ave tests dans Ratk

(Γ)

et n'utilisant pas l'instrution

_k¯

.

Démonstration. Soit

A = (Q

_A

,I

_A

,F

_A

,µ

_A

,∆

A

)

un automate réduit sur

Γ

k+1 ave tests dans

L = {L

1

, . . . ,L

n

} ⊂

Ratk+1

(Γ)

. Pour tout

ℓ ∈ [1,n]

, il existe un automate

A

ℓ

= (Q

ℓ

,{i

ℓ

},F

ℓ

,∆

ℓ

)

déterministe et omplet ave tests dans

L

i

⊂

Ratk

(Γ)

aeptant

L

_ℓ (f. théorème 4.4.15). Pour tout

ℓ ∈ [1,n]

et pour toute pile

s ∈Stacks

k+1

(Γ)

, nous noterons

A

ℓ

(s)

l'unique état

q

telque qu'il existe un alulde

A

ℓpartantdelaonguration

(i

ℓ

,[ ]

_k+1

)

etarrivantdanslaonguration

(q,s)

. Pour toute pile

s ∈ Stacks

k+1

(Γ)

, nous noterons

X

_s le uplet

(q

₁

, . . . ,q

_n

) ∈

Q

ℓ∈[1,n]

Q

_ℓ dénipour tout

ℓ∈[1,n]

,

q

_ℓ

=A

_ℓ

(s)

. Pour tout uplet

d ∈ Q

ℓ∈[1,n]

Q

_ℓ, l'ensemble

S

_d des piles

s

de niveau

k + 1

telle que

X

_s

=d

appartientà Ratk+1

(Γ)

. Eneet,

S

_d est l'intersetion pour tout

ℓ∈[1,n]

des

{s |A

ℓ

(s) =q

ℓ

} ∈

Ratk+1

(Γ)

. Pour tout uplet

d,d

^′

∈ Q

ℓ∈[1,n]

Q

ℓ et pour tout

γ ∈ Γ

o

k

∪ {k}

, il existe un ensemble

R

^γ_d,d′ dans Ratk

(Γ)

tel que pour toute pile

s ∈ Stacks

_k+1

(Γ)

telle que

X

s

=d

et telle que

s

^′

=R(γ)(s)

est déni,

X

s′

=d

^′ siet seulement si

top

_k

(s

^′

)∈

R

^γ_d,d′. Si

d= (q

₁

, . . . ,q

_n

)

et

d

^′

= (q

₁^′

, . . . ,q

_n^′

)

,il sut de prendre:

R

^γ_d,d′

= \

ℓ∈[1,n]

[

qℓ−→^γ q′ ℓ,TR∈∆ℓ

R.

Pour tout

d∈Q

ℓ∈[1,n]

Q

_ℓ,nous allons dénirun automate

B

_d réduit sur

Γ

_k+1

avetestsdansRatk

(Γ)

quisatisfassepourtout

s∈Stacks

k+1

(Γ)

telleque

X

_s

=d

,

Soit

d

₀

= (q

₁

, . . . ,q

_n

) ∈ Q

ℓ∈[1,n]

Q

_ℓ. Nous onstruisons l'automate

B

_d0

=

(Q

_B

,I

_B

,F

_B

,∆

B

)

.Nousprenons

Q

_B

=Q

_A

×(Q

ℓ∈[1,n]

Q

_ℓ

)

,

I

_B estégal àl'ensemble:

{(i,d

₀

)|i∈I

_Aet

∀ℓ ∈[1,n],L

_ℓ

∈µ

_A

(i)⇒q

_ℓ

∈F

_ℓ

}

et

F

_B

=F

_A

×(Q

ℓ∈[1,n]

Q

_ℓ

)

. L'ensembledes transitions

∆

_ℓ est dénipar:

{(p,d)−→

^γ

(q,γ,d

′

),R

^γ_d,d′

|d,d

′

= (q

′

1

, . . . ,q

′

n

)∈(Q

ℓ∈[1,n]

Q

_ℓ

)

et

p−→

^γ

q,T ∈∆

A

et

∀ℓ ∈[1,n],L

ℓ

∈T →q

_ℓ^′

∈F

ℓ

}.

Comme

A

est réduit,

B

l'est aussi. De plus par onstrution, nous avons que pour toutes piles

s,s

^′

∈ Stacks

k+1

(Γ)

telles que

X

s

= d

0 alors

((i,d

0

),s) −→

^ρ

Bd₀

((q,d),s

^′

)

si et seulement si

(i,s) −→

^ρ

A

(q,s

^′

)

et

X

_s′

= d

. Il s'en suit don que

B

_d0

satisfait lapropriété annonée. Nous avons don:

D(A) = [

d∈Q

ℓ∈[1,n]Q_ℓ

D(S

_d

· I(B

_d

)).

Nous pouvons maintenant établir le résultat de normalisation pour les rela-tions de PRk.

Théorème 4.5.12. Pour tout niveau

k ≥ 1

et pour tout alphabet ni

Γ

, toute relation

R ∈

PRk

(Γ)

est une unionnie de relations

D(

Rewk

(Γ))

.

Démonstration. La preuve proède par réurrene sur le niveau

k ≥1

.

Cas de base :

k = 1

.Au niveau

1

,ettepropriété aété établiepar Caualdans [Cau96℄(f.proposition4.5.4).Pour êtreomplet,nousen redonnonsunepreuve. Soit

A

un automatesur

Γ

1 ave tests dansRat1.Parlespropositions4.5.9,4.5.10 et4.5.11,larelation

R

estégaleàuneunionniederelationsdelaforme

U·T

W

·V

où

U,V

appartiennentàRat

((Γ

k

∪{k}∪T

Ratk+1(Γ)

)

^∗

))

aveFirst

(U)∩F irst(V)⊆

{ε}

. Remarquons que la relation Last

(W)∩(

First

(U) ∪

First

(V)) ⊆ {ε}

est trivialement vériée ar Last

(W)

, First

(U)

et First

(V)

sont des sous-ensembles de

Γ∪ {ε}

.

Etapede réurrene.Soient

R

unerelationdePRk+1et

A

unautomatesur

Γ

k+1

avetestsdansRatk+1

(Γ)

aeptant

R

.Parlespropositions4.5.9,4.5.10et4.5.11, larelation

R

estégale àune unionniede relationsde laforme

U· T

_W

·V

où

U,V

appartiennent à Rat

((Γ

_k

∪ {k} ∪ T

Ratk+1(Γ)

)

∗

))

ave First

(U)∩F irst(V)⊆ {ε}

et Last

(W)∩(

First

(U)∪

First

(V)) ⊆ {ε}

. Par hypothèse de réurrene, toute relation Rat

((Γ

k

∪ {k} ∪ T

Ratk+1(Γ)

)

^∗

))

est égale à une union nie de relations dans Rewk

(Γ)·

Rat

((k·

Rewk

(Γ))

∗

)

.

Une première onséquene de e résultat est que le domaine et l'image des relationsPRk

(Γ)

sont des ensembles de Ratk

(Γ)

.

Proposition 4.5.13. Pourtoute relation

R ∈

PRk

(Γ)

, le domaineet l'image de

R

sont des ensembles de Ratk.

Démonstration. Soit

R

une relation dans PRk

(Γ)

. Par dénition de PRk

(Γ)

, il existe un ensemble

M ∈

Rat

((Γ

k

∪ T

Ratk

)

∗

)

telque

R=D(M)

. Il est aisé de voir quel'imagede

R

est égaleà

R(Γ

^∗_k

·M)([ ]

_k

)).

D'aprèsleorollaire4.3.44,l'image de

R

appartient bien à Ratk. Pour le domaine de

R

, il sut de remarquer que Dom

(D(R)) =

Im

(D(R))

.

4.5.2.2 Propriétés des relations de PRk

Dans e sous-paragraphe, nous établissons quepour tout

k ≥1

,et pour tout alphabet ni, l'ensemble PRk est une algèbre de Boole. Par dénition, PRk

(Γ)

est fermé par unionetontientlarelationvide.Il fautdon montrer quePRk

(Γ)

est fermé par omplémentaire (i.e. pour tout

R ∈

PRk,

R

= (Stacks

k

(Γ) ×

Stacks

k

(Γ))\R

appartientàPRk).Lapreuvede lafermetureparomplémentaire est un adaptation de la preuve de Caual [Cau96℄ pour le niveau

1

. Elle repose sur le théorème 4.5.12 et sur la propriété suivante qui généralise l'uniité de la déomposition mentionnée dans lesous-paragraphe 4.5.1.

Lemme4.5.14. Pourtouterelation

R =U·T

W

·V

deRewk ave

U,V ∈

Normk et

W ∈

Ratk

(Γ)

etpour toutes piles

r

et

s∈Stacks

k

(Γ)

tellesque

(s,s

^′

)

appartienne à

D(R)

, il existe une unique pile

w∈Stacks

k

(Γ)

telle que

w∈W

,

(w,s)∈ D(U)

et

(w,t)∈ D(V)

.

De plus, la pile

w

est la pile de niveau

k

dont la suite réduite d'instrutions est le plus petit préxe ommun des suites réduites de

r

et

s

.

Démonstration. Soit une relation

R =U ·T

_W

·V

de Rewk ave

U,V ∈

Normk et

W ∈

Ratk

(Γ)

. Pardénition de Rewk, nous avons First

(U)∩

First

(V) ⊆ {ε}

et Last

(W)∩(

First

(U)∪

First

(V))⊆ {ε} }

.Soient

r

et

s

deux piles de

Stacks

k

(Γ)

telles que

(r,s)

appartienneà

D(R)

.

L'existene de la pile

w

est immédiate. Montrons que ette pile est unique. Supposons qu'il existe deux piles

w

₁ et

w

₂

∈ W

telles que

(w

₁

,r)

et

(w

₂

,r)

ap-partiennent à

D(U)

et telles que

(w

1

,s)

et

(w

2

,s)

appartiennent à

D(V)

. Nous noterons

ρ

_r,

ρ

_s,

ρ

_w1 et

ρ

_w2 lessuites réduites respetives des piles

r

,

s

,

w

₁ et

w

₂. Comme

U

est un ensemblede suitesd'instrutionsréduites etqueLast

(W)∩

First

(U)⊆ {ε}

,nousavons

ρ

s

=ρ

w1

·ρ

¹_s

=ρ

w2

·ρ

²_s pourdeuxsuitesd'instrutions

ρ

1

s et

ρ

2

s.Parun argumentsimilaire,nousavons

ρ

_r

=ρ

_w1

·ρ

1

r

=ρ

_w2

·ρ

2

r pour deux suites d'instrutions

ρ

¹_r et

ρ

²_r.

De plus, nous savons que les suites

ρ

¹_s et

ρ

²_s appartiennent à

_U˜

(où

_U˜

est obtenu en eaçant dans toutes les suites

U

les ourrenes des instrutions de tests). De même, nous avons que les suites

ρ

1

s et

ρ

2

s appartiennent à

_V˜

. Comme First

(U) =

First

( ˜U)

et First

(V) =

First

( ˜V)

etque First

(U)∩

First

(V)⊆ {ε}

, il s'en suit que

ρ

w1 et

ρ

w2 sont égales au plus petit préxe ommun de

ρ

s et

ρ

r. Il en résulte que

w

₁ et

w

₂ sont égales.

Avantd'établir lafermeture par omplémentaire de PRk, nous montrons que lesrelations de

D(

Rewk

)

sontloses par intersetion.

Lemme 4.5.15. Pour tout niveau

k ≥1

et pour toutes

R

1 et

R

2 dans

D(

Rewk

)

, la relation

R

₁

∩R

₂ appartient à

D(

Rewk

)

.

Démonstration. La preuve proède par réurrene sur le niveau

k

.

Cas de base :

k= 1

.Soient

R

₁

=U

₁

·T

_W1

·V

₁ et

R

₂

=U

₂

·T

_W2

·V

₂ appartenant àRew1. Nousarmons quelarelation

R= (U

1

∩U

2

)·T

W1∩W2

·(V

1

∩V

2

)

de Rew1

est telle que

D(R) = D(R

₁

)∩ D(R

₂

)

. L'inlusion direte est immédiate. Pour l'inlusionréiproque, soit

(r,s)

un ouple de piles de

Stacks

_k

(Γ)

appartenant à

D(R

1

)

et

D(R

2

)

. Soit

w

la pile de

Stacks

k

(Γ)

dont la suite réduite est le plus petit préxe ommun des suites réduites des piles

s

et

r

. Par le lemme 4.5.14, nous avons que

w∈ W

₁

∩W

₂,

(w,r)∈ D(U

₁

)∩ D(U

₂

)

et

(w,s)∈ D(V

₁

)∩ D(V

₁

)

. Il suit don que

(r,s)

appartient à

D(R)

.

Etape de réurrene.Par hypothèse de réurrene, nous savons quepour tous

R

₁ et

R

₂ appartenantàRewk,ilexiste

R∈

Rewktelque

D(R)

.Pourêtreonis, nous désignerons

R

1

^⋓R

2 un élémentde Rewk satisfaisant ette propriété.

Nous allons tout d'abord montrer que pour tous

R

₁ et

R

₂ dans Normk+1, la relation

D(R

1

)∩ D(R

2

)

appartient aussi à

D(

Normk+1

)

.Pour

i∈ {1,2}

, omme

R

i appartient à Normk+1,

R

i est égal à

P

i

·M

i ave

P

i

∈

Rewk et

M

i

∈

Rat

((1·

Rewk

)

^∗

)

. Enn, soit

A

_i

= (Q

_i

,I

_i

,F

_i

,∆

i

)

un automate étiqueté par

1·

Rewk

(Γ)

aeptant

M

i.

Considérons l'automate

C = (Q

1

×Q

2

,I

1

×I

2

,F

1

×F

2

,∆

C

)

dont l'ensemble des transitions est donné par:

{(p

₁

,p

₂

)

^1·(N

−→

^1⋓N2)

(q

₁

,q

₂

)|p

₁ ^1·N1

−→q

₁

∈∆

1 et

p

₂ ^1·N2

−→q

₂

∈∆

2

}.

Montrons maintenant que

D(

Rewk

)

est fermé par intersetion. Soient

R

₁

=

U

1

· T

W1

· V

1 et

R

2

= U

2

· T

W2

· V

2 appartenant à Rewk+1 où

U

1

,U

2

,V

1 et

V

2

appartiennent à Normk+1 et où

W

₁ et

W

₂ appartiennent à Ratk+1

(Γ)

. Nous af-rmons que la relation

R = (U

₁

⋓U

₂

)·T

_W1∩W2

·(V

₁

∩V

₂

)

de Rew1 est telle que

D(R) =D(R

1

)∩ D(R

2

)

.La preuveest similaireà elle du niveau

1

.

Théorème 4.5.16. Pourtout

k≥1

etpour toutalphabetni

Γ

, l'ensemblePRk

est fermé par union, omplémentaire, lture transitive, inverse et restrition en image ou en domaine par un ensemble de Ratk

(Γ)

.

Démonstration. Exepté la fermeture par omplémentaire, toutes es propriétés déoulentdeladénitionde PRk.Pourlafermetureparomplémentaire dePRk, ilsut de monter queleomplémentaired'une relationdans

D(

Rewk

)

est égal à une union nie de relations dans

D(

Rewk

)

.

En eet, onsidérons une relation

R ∈

PRk. Par le théorème 4.5.12,

R

est égal à une union nie

S

i∈I

R

_i de relations de

D(

Rewk

)

. Le omplémentaire de

R

est égal à

T

i∈I

R

i. Sinous avons établi pour tout

i∈I

que

R

i est égal àune union nie

S

j∈Ij

R

^j_i de relations dans Rewc, il suit alors par les lois de Morgan que

R

est égal à une union nie d'intersetions nies de relations de

D(

Rewk

)

. Le lemme 4.5.15permetalors de onlure que

R

appartientà PRk.

Nousétablissonsmaintenantparréurrenesurleniveau

k

quele omplémen-taire d'une relation dans

D(

Rewk

)

s'exprime omme une union nie de relation dans

D(

Rewk

)

.

Cas de base :

k = 1

.Lapropriété aété établiepar Caual [Cau96℄(f. 4.5.6). Etape de réurrene.Avant de passeràl'étapede réurrene,ilnous fautxer quelquesnotations. Nousnoterons

N

l'ensemblede Normk+1 ontenanttoutesles suitesréduitessur

(Γ

o

k

∪{k})

^∗.Pourtout

γ∈Γ

o

k

∪{k}

etpourtout

W ∈

Ratk+1, nous noterons

W

_γ l'ensemble

W

restreint aux piles

s

de

Stacks

_k+1

(Γ)

et que Last

(s) =γ

. Pour tout

γ ∈ Γ

o

k

∪ {k}

et pour tout

U ∈

Normk+1, nous noterons

U

_γl'ensemble

W

restreintàl'ensembledessuitesd'instrutionstellesqueFirst

(γ)

de

Stacks

_k+1

(Γ)

telles que Last

(s) = γ

. Enn pour toute relation

R ∈

Rewk, nous noterons

R

⋐

un sous-ensemble de Rewk tel que

D(R)

= S

R′∈R⋐

D(R

^′

)

. L'existene de

R

⋐

est garantie par l'hypothèse de réurrene.

Notre but est d'établirque leomplémentaired'une relationdans

D(

Rewk+1

)

appartient à PR

(Γ

k+1

)

. Pour ela, nous allons tout d'abord montrer que pour touterelationdans

R∈ D(

Normk+1

)

,larelation

N\R

est égaleàuneunionnie de relations dans

D(

Normk+1

)

. Nousnoterons

R

⋐

et ensembleni de relations. Soit

R = P ·M

un élément de Normk+1 ave

P ∈

Rewk et

M ∈

Rat

((1 ·

Rewk

)

^∗

)

. Soit

A = (Q

_A

,I

_A

,F

_A

,∆

A

)

un automate étiqueté par

1·

Rewk aeptant

M

. Comme par hypothèse de réurrene PRk forme un algèbre de Boole, nous pouvons supposer que

A

est telque:

pour tout

p,q,q

^′

∈ Q

A,

p −→

^1·R1

q ∈ ∆

A,

p −→

^1·R2

q

^′

∈ ∆

A et

q 6= q

^′ implique

D(R

₁

)∩ D(R

₂

) =∅

pour tout

p∈Q

_A,

S

p−→^1·Rq∈∆A

D(R) = Stacks

_k

(Γ)×Stacks

_k

(Γ)

.

Pour une onstrution détaillée de l'automate

A

, nous référons le leteur à la proposition4.4.24.Considéronsl'automate

B

obtenuàpartirde

A

enremplaçant

l'ensemble des états naux

F

_A par son omplémentaire

Q

_A

\F

_A. Nous vérions aisément que:

D(N)\ D(R) = [

V∈P

V ·(1·

Rewk

)

^∗

∪V · L(B).

Soit

R = U ·T

_W

·V

une relation de Rewk+1 ave

U,V ∈

Normk+1 et

W ∈

Ratk+1

(Γ)

.Nousallonsmontrerque leomplémentaire de

R

est égal àuneunion nie de relations dans

D(

Rewk+1

)

.

Considérons l'ensemble

C

qui est une union nie de relations dans Rewk+1

déni par:

C = S

(γ1,γ2,γ3)∈I

N

_γ1

·T

_W γ₂

·N

_γ3

∪ S

(γ1,γ2,γ3)∈I

S

U′∈U⋐

U

^′_γ1

·T

Wγ₂

·N

γ3

∪ S

(γ1,γ2,γ3)∈I

S

V′∈U⋐

N

γ1

·T

Wγ₂

·V

γ3

où

I

estl'ensembledestriplets

(γ

₁

,γ

₂

,γ

₃

)∈(Γ

o

k

∪ {k,ε})

³ telsque

{γ

₁

}∩{γ

₃

} ⊆

{ε}

ettels que

{γ

2

} ∩ {γ

1

,γ

3

} ⊆ {ε}

.

Onvérieaisémentqueleséléments

P ∈

Rewk+1intervenantdans

C

sonttels que

D(P)

estinlusdans

D(R)

.Ilsuitdonque

D(P)⊆ D(R)

.Pourl'inlusion réiproque, onsidéronsdeux piles

r

et

s∈Stacks

_k+1

(Γ)

telles que

(r,s)6∈ D(R)

. Notons

w

la pile de niveau

k + 1

dont la suite réduite est le plus petit préxe ommun des suites réduites de

r

etde

s

. Ilexiste dondeux suites d'instrutions

ρ

^′_s et

ρ

^′_r telles que

ρ

_r

=ρ

_w

ρ

^′_r et

ρ

_s

=ρ

_w

ρ

^′_s.

Par le lemme 4.5.14, nous avons soit

w 6∈ W

, soit

w ∈ W

et

(w,r) 6∈ D(U)

ou bien

w∈W

et

(w,s)6∈ D(V)

.

Cas

w6∈W

.Le ouple

(r,s)

appartient don à

N

_{F irst(ρ}′

r)

·T

_W

Last(w)

·N

First(ρ′

s). Cas

w∈W

et

(w,r)6∈ D(U)

. Comme

(w,r)6∈ D(U)

,il existe

U

^′

∈U

⋐

tel que

(w,r)∈ D(U

^′

First(ρ′

s)

)

.Leouple

(r,s)

appartientdonà

U

^′First(ρ′

s)

·T

WLast(w)

·N

First(ρ′

s). Cas

w∈W

et

(w,r)6∈ D(V)

.Ce as est similaire aupréédent.

Danstouslesas,

(r,s)

appartientà

D(C)

etilsuitdonque

D(R)

estinlus dans

D(C)

.

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