Automates alternants sur Γ

([ ]

₂

).

Or, pourtout

R∈

Rat1

(Γ)

,l'opérationde test

Test

²_R est égaleà

R

(1·R· ⊥

1

·¯1)

. Il en déouleque Rat2

(Γ)⊆

CRat2

(Γ)

.

Au niveau

3

, nous verrons que CRat3

(Γ)

est stritement inlus dans Rat3

(Γ)

et que de plus CRat3

(Γ)

n'est pas une algèbre de Boole. Considérons le langage

S

de piles de niveau

3

sur

Γ ={a}

dénipar:

S ={[ [ [a

^p1

]. . .[a

^pm

] ]

₂

[ [a

^p1

]. . .[a

^pn

] ]

₂

]

₃

|n≤m

et

p

n

=p

n−1

}.

Lelangage

S

appartientàRat3

(Γ)

ar

S =R (Γ

^∗₁

·1)

^∗

·2·(Γ

^∗₁

·¯1)

∗

·¯1([ ]

₃

)

. La suitede eparagrapheestonsarée àétablirque

S

n'appartientpasàCRat3

(Γ)

. Admettons momentanément e résultat. Le langage

S

peut s'exprimer omme l'intersetion des deux langages

S

₁ et

S

₂ donnés i-dessous:

S

₁

= {[ [ [a

p1

]. . .[a

pm

] ]

₂

[ [a

p1

]. . .[a

pn

] ]

₂

]

₃

|n ≤m}

S

₂

= {

[ [a

p1

]. . .[a

pm

] ]

₂

a

p′ 1

. . .

a

p′ n 2

3

|n ≥2

et

p

^′_n−1

=p

^′_n

}

Ces deux ensembles appartiennent à CRat3

(Γ)

. En eet,

S

1

= R

C

((Γ

∗ 1

·1)

∗

·2·¯1

∗

)([ ]

₃

)

S

₂

= R

C

(Γ

∗ 1

·1)

^∗

·2¯1

∗

Γ

^∗

· ⊥

₂

·(Γ

∗ 1

·1)

^∗

·1

([ ]

₃

).

L'ensemble CRat3

(Γ)

n'est don pas los par intersetion. L'utilisation du jeu d'opérationslassiques faitdon perdre lafermeture par omplémentaire.

Pour pouvoir établir que le langage

S

n'appartient pas à CRat3

(Γ)

, il nous faut tout d'abord donner une représentation normalisée de es ensembles. La première étape est d'établir que les ensembles de CRat3

(Γ)

peuvent être dérits sansutiliserl'opération

destr

2 sil'onajoutedeslangagesde tests.Commedansle as du jeu d'opérationssymétriques, es langagesde tests sont dénis aumoyen d'automates alternants de niveau

2

sur les opérations lassiques. La diérene vient du faitquesur lejeud'opérationslassiques, lesautomates alternantssont moins expressifs que lesautomates non-alternants.

4.6.1 Automates alternants sur

Γ

1

et

Γ

2

.

Ce sous-paragraphe étudie l'expressivité des automates alternants de niveau

alternant sur

Γ

_k (f. dénition 4.3.10). Cependant, la notion d'exéution dière. Elle est obtenue en remplaçant

R

par

R

dans la dénition de l'exéution d'un automate alternant sur

Γ

k. Dans la suite, nous parlerons d'automate alternant sur

Γ

k pour désigner lesautomates alternantsdeniveau

k

sur lejeud'opérations lassiques

COps

_k

(Γ)

et nous noterons CAltk

(Γ)

l'ensemble des langagesaeptés par lesautomates alternants sur

Γ

k.

Un premier résultat immédiatest que es nouveaux automates peuvent être simulés par les automates alternantssur

Γ

k.

Proposition 4.6.2. Pour tout

k ≥1

et tout alphabet ni

Γ

,

CAltk

(Γ)⊆

Altk

(Γ).

Démonstration. Commenous l'avons déjàremarqué,nousavons pour tout

ℓ ≥1

l'égalitésuivante:

destr

ℓ

= Ops

^⋆_ℓ

·copy

_ℓ

.

Il est don immédiat de onstruire pour tout automate alternant sur

Γ

k, un automate équivalentsur

Γ

k.

Au niveau 1, lesdeux modèles d'automatesont la mêmeexpressivité.

Proposition 4.6.3. Les langages aeptés par les automates alternants sur

Γ

1

sont les langages de Rat1.

Démonstration. Comme les ensembles

Ops

₁

(Γ)

et

COps

₁

(Γ)

sont égaux, les en-sembles aeptés par les automates alternants sur

Γ

1 et

Γ

1 oïnident. La pro-priété annonée suit don par laproposition 4.3.31.

Dès le niveau

2

, les automates alternants sur

Γ

2 ne sont pas assez puissants pourapturertousleslangagesdeRat2

(Γ)

.Eneet,dufaitde l'absenede symé-trieentre

copy

₁et

destr

₁,uneonstrutionsimilaireàelledelaproposition4.3.14 ne peut être utilisée.

Les langages aeptés par les automates alternants sur

Γ

2 sont aisément aratérisés en introduisant l'opération

new

1 qui empile une pile vide de ni-veau

1

sur la dernière pile de niveau

2

(i.e. pour toute pile

s = [s

1

, . . . ,s

n

]

₂,

new

1

(s) = [s

1

, . . . ,s

n

,[ ] ]

₂).Nousnoterons n1 l'instrutionorrespondante. Nous dénissons lesensembles rationnels faiblesommelesensembles obtenusen rem-plaçant l'opération

copy

₁ par l'opération

new

₁ dans la dénition de CRat2

(Γ)

. L'ensembledetouslesensemblesrationnelsfaiblesdeniveau

2

estnotéWRat2

(Γ)

etest dénipar:

WRat2

(Γ) =

Rat

((Ops

₁

∪ {new

1

})

^∗

) ([ ]

₂

)

Remarque 4.6.4. Ces langages ont été dénis à tout niveau dans [BM04℄. Les auteurs passent pas la représentation des piles de piles sur

Γ

par des mots sur l'alphabet

Γ ∪ {[,]}

. Ainsi, à haque pile

s = [s

₁

, . . . ,s

_n

]

₂ de

Stacks

2

(Γ)

, est assoiéle mot

Φ(s) = [[s

₁

]. . .[s

_n

]]

sur l'alphabet

Γ∪ {[,]}

.Il est aisé de vérier qu'un ensemble

R ⊆Stacks

2

(Γ)

est faiblement rationnelsi et seulement si

Φ(R)

est un ensemblerationnelde mots.Il s'ensuit donque l'ensembleWRat2

(Γ)

est une algèbre de Boole.

Comme

new

1

= copy

₁

·pop

^∗_Γ

·T

_{[ ]1}, WRat2

(Γ)

est inlus dans Rat2

(Γ)

, ette inlusionest striteomme lemontre l'exemple suivant.

Exemple 4.6.5. L'ensemble

L

1 de piles de niveau

2

sur l'alphabet

Γ = {a,b}

déni ommel'ensemble

{[ [a

²ⁿ1

] [b

^2m1+1

], . . . ,[a

^2np

] [b

^2mp+1

] ]

₂

|p≥1}

appar-tientàWRat2

(Γ)

ar

Φ(L

₁

)

estégalà

[([(aa)

^∗

][b(bb)

^∗

])

+

]

.Lelangage

S

appartient bien à Rat2

(Γ)

ar il est égal à:

R (aa)

^∗

1¯a

^∗

⊥

1

b(bb)

^∗

1¯b

^∗

⊥

1

(aa)

^∗

1¯a

^∗

⊥

1

b(bb)

^∗

∗

([ ]

₂

).

L'ensemble

L

₂ de piles de niveau

2

sur l'alphabet

Γ = {a}

déni omme l'en-semble

{[ [a

ⁿ

] [a

ⁿ

] ]

₂

| n ≥ 1}

appartient à Rat2

(Γ)

ar

L

₂

= R(a

^∗

1)([ ]

₂

)

. Le langage

L

2 n'est pasfaiblementrationnelar l'ensembledes mots

Φ(L

2

)

n'estpas un langage rationnel.

La proposition suivante établit que les langages aeptés par les automates alternantssur

Γ

2 sont les langagesrationnels faiblesde niveau

2

.

Proposition 4.6.6. Les langages aeptés par les automates alternants sur

Γ

2

sont les langages de WRat2

(Γ)

.

Démonstration. L'inlusion réiproque est immédiate. Il sut don de montrer l'inlusion direte. Soit

A = (Q

A

,I

A

,∆

A

)

un automate alternant sur

Γ

2. Nous allons montrer que

S(A)

est un ensemble rationnelfaible.

Pourtoute pile

s∈Stacks

₂

(Γ)

,nousnoterons

X

_sl'ensembledes états initiant un alul de

A

partantde

s

(i.e.

X

s

={q∈Q

A

|s∈ S

_q

(A)}

).

Fait 1.Pourtoutespiles

s

et

s

^′ dans

Stacks

2

(Γ)

tellesque

X

s

=X

_s^′ etpour toute pile

r

dans

Stacks

1

(Γ)

, lespiles

s·r

et

s

^′

·r

satisfont

X

s·r

=X

s′·r.

Pour haque exéution

E = (T,C)

de

A

partant de

s·r

dans l'état

p

, nous onstruisons une exéution

E

′

= (T

^′

,C

^′

)

de

A

partant de

s

^′

·r

dans l'état

p

. L'exéution

E

′

est obtenue en substituantaux sous-exéutionsde

E

ommençant par

p

₀ en

s

uneexéutionde

A

ommençantpar

p

₀ en

s

^′(etteexéutionexistear

X

s

⊆X

_s^′)puisenremplaçant

s·t

par

s

^′

·t

(quelquesoitlapile

t∈Stacks

1

(Γ)

)dans l'image par

C

^′ des noeuds de

T

^′ qui n'ont pas été introduits par la substitution. Nousdéduisons don que

X

s·r

⊆X

s·r′ etpar symétrie, nous obtenons l'égalité.

Nousassoionsàhaquepile

r

de niveau

1

,une fontionpartiellede

2

Q_A

dans

2

QA

notée

f

r et déniepar:

f

_r

(P) =

X

_s·r s'il existe

s∈Stacks

2

(Γ)

telle que

X

_s

=P ,

non dénie sinon

.

Pour toute fontion partielle

f

de

2

QA

dans

2

QA

, nous noterons

X

_f

= {r ∈

Stacks

₁

(Γ)|f =f

_r

}.

Fait 2. Pour toute fontion partielle

f

de

2

QA

dans

2

QA

, l'ensemble

X

f est un ensemblerationnel.

Soit

f

une fontion partielle de

2

QA

dans

2

QA

. Nous pouvons supposer, sans perte de généralité, que Dom

(f) = {P | ∃s∈Stacks

2

(Γ),X

_s

=O}

.En eet, si e n'est pas le as alors

X

f est égal à l'ensemble vide. Pour tout

P ∈

Dom

(f)

,

s

P

désignera une pilede niveau

2

telle que

X

_sP

=P

.

Il nous sut d'établir, pour tout

P ∈

Dom

(f)

et pour tout

p ∈ Q

_A, que l'ensemble

S

P,p

= {r ∈ Stacks

1

(Γ) | s

P

·r ∈ S

p

(A)}

est rationnel. Pour ela, il sut de remarquer que:

S

P,p

= top

₁

(S

p

(A)∩ {s

P

·r|r∈Stacks

1

(Γ)}).

EneetommeCAlt2

⊆

Alt2

=

Rat2,lelangage

S

_p

(A)

appartientàRat2.Comme le langage

{s

p

·r | r ∈ Stacks

1

(Γ)}

est égal à

R(ρ

sP

1Γ

∗

1

)([ ]

₂

)

, il appartient à Rat2

(Γ)

. Il suit don par le théorème 4.4.8 que

S

_p

(A)∩ {s

_p

·r |r ∈ Stacks

1

(Γ)}

appartient à Rat2. Par le orollaire4.3.51,le langage

S

_P,p appartientà Rat1

(Γ)

. Par un raisonnement similaire,nous établissons le faitsuivant.

Fait 3.Pour toutensemble

P ⊆Q

_A,l'ensembledespiles deniveau

1

,

E

_P

={r∈

Stacks

1

(Γ)|X

[r]₂

=P}

appartient àRat1.

Considérons l'ensemble

R

de suites d'instrutionsde

Γ∪ {

n1

}

égal à:

[

P0⊆QA

{E

_POn1

X

_f1

, . . . ,X

_fℓ−1n1

X

_fℓ

|ℓ≥0

et

(f

₁

· · ·f

_ℓ

)(P

₀

)∩I

_A

6=∅}.

D'aprèslefait1,lelangageaepté par

A

estégalà

R(R)([ ]

₂

)

.D'aprèslesfaits2 et3,

R

appartientà Rat

((Γ∪ {

n1

})

^∗

)

. Don

S(A)

appartient àWRat2

(Γ)

.

Remarque 4.6.7. Cettepropriétés'étend àtoutniveau

k

etleslangages aep-tés par les automates alternantssur

Γ

k sont les langagesde WRatk

(Γ)

.

Pour des raisons tehniques, nous adaptons la notion d'automate normalisé, présentée dans lesous-paragraphe 4.5.3 pour lesensembles de WRat2.La notion d'automate normalisé faiblede niveau

2

est obtenue en remplaçant

1·

Rew1 par n1

·

Rat1 dans ladénition4.5.17. Lesnotionsde déterminismeetde omplétude

sont dénies de manière analogue. Par une adaptation immédiate de la preuve de laproposition4.5.21,nous établissons quelesautomates normalisésfaiblesde niveau

2

peuvent être déterminisés.

Proposition4.6.8. ToutlangagedeWRat2

(Γ)

estaeptéparun automate nor-malisé faiblede niveau

2

déterministeet omplet.

Dans le document Automates infinis, logiques et langages (Page 179-183)