Caratérisation par dénissabilité logique

Comme

r

₁

=u

₁ appartientà

top

₁

(

Dom

(R

(V

_ℓ0

)))

,ilsuitque

u

₀appartientaussià

top

₁

(

Dom

(R

(V

ℓ0

)))

.Ilexistedonunepile

t

^′

∈X

telleque

(s·t

1

,s·t

^′

)∈ R

(V

ℓ0

)

. Don

(s·t,s·t

^′

)

appartientà

S

etpardénition de

S

,

t

₁

=t

^′₁

=u

₀ et

t

^′₂

=u

₁.Par lefait

2

etpardénition de

k

₀,il suitque

R

(V

_ℓ0

)(s

₀

)

est inni. Cequi ontredit ladénition de

S

.

Cas

s

^′

= [s

1

, . . . ,s

p

]

₂ pour un ertain

p≤ |s|

.

La pile

s·t

appartient aussi à

R

_ℓ0 et

s

^′ appartient à

R

(U

_ℓ0

)(s·t)∩T

_Wℓ 0

. Il suit don que

[s·t,s·r

₁

]

₃ que appartient

S

; e qui amène laontradition.

4.7 Caratérisation par dénissabilité logique

Danseparagraphe,nousonsidéronsungrapheanoniqueassoiéauxpiles de niveau

k

ave le jeux d'opérations

Ops

_k. Ce graphe, noté

GStacks

k, a pour sommets lespiles de niveau

k

sur

Γ

et est étiqueté par l'ensemble d'instrutions

Σ

k

= Γ∪[1,k−1]

. Pour larier notreprésentation, nous xons un alphabetde pile

Γ

égal à

{a,b}

.

GStacks

k

={(s,i,R(i)(s)|s∈Stacks

k

(Γ)

et

i∈Σ

k

}.

Auniveau

1

,

GStacks

1 estisomorphe àl'arbrebinaireompletétiquetépar

Γ

.La gure4.10présentelegraphe

GStacks

2.Ilestaisé devérierquepourtout

k ≥1

,

GStacks

k+1

= Treegraph(GStacks

k

,k)

.De plus,pour touteopération

ρ∈Ops

_k,il existeuneformulemonadique

ϕ

ρ

(x,y)

tellequepourtoutespiles

s

et

s

^′

∈Stacks

k,

GStacks

k

|= ϕ

ρ

[s,s

^′

]

si et seulement si

ρ(s)

est dénie et égale à

s

^′. Il est alors immédiatque les ensembles rationnels de piles de niveau

k

sont dénissables en logique monadique sur

GStacks

k (i.e. pour tout

R ∈

Ratk, il existe une formule monadique

ϕ

_R telle que

R

soit égal à l'ensemble

{s ∈ Stacks

k

| GStacks

k

|=

ϕ

_R

(s)}

.

Danse paragraphe,nousétablissonslaréiproque:lesensembles dénissable en logique monadiquesur

GStacks

k sont des ensembles rationnels de piles de ni-veau

k

.Auniveau

1

,ettepropriétédéouledelaaratérisationdelalogique

mo-[ mo-[ ] ]₂ [ [a] ]₂ [ [b] ]₂ [ [aa] ]₂ [ [ab] ]₂ [ [ba] ]₂ [ [bb] ]₂ [ [ ] [ ] ]₂ [ [ ] [a] ]₂ [ [ ] [b] ]₂ [ [ ] [aa] ]₂ [ [ ] [ab] ]₂ [ [ ] [ba] ]₂ [ [ ] [bb] ]₂ [ [a] [ ] ]₂ [ [a] [a] ]₂ [ [a] [b] ]₂ [ [a] [aa] ]₂[ [a] [ab] ]₂[ [a] [ba] ]₂ [ [a] [bb] ]₂ a ^b b b a a ¹ a ^b b b a a 1 a ^b b b a a

Fig. 4.10 Le graphe

GStacks

₂.

ette propriété à tout niveau

k ≥2

, il est néessaire de onsidérer un arbre a-noniqueassoiéauxpiles de niveau

k

. Cetarbrenoté

TStacks

ketses propriétés sont présentées dans le sous-paragraphe 4.7.1. Le sous-paragraphe 4.7.2 établit que les ensembles MSO-dénassables sur le graphe

GStacks

k sont les ensembles deRatk.Àl'aidedeerésultat,nousétablissonsquelesrelations(binaires) MSO-dénissables sur

GStacks

_k sont lesrelations préxes-reonnaissables de niveau

k

(f.paragraphe4.5).Enndanslesous-paragraphe4.7.3,nousétendonslelemme des bases de Rabin(f. théorème 1.4.10) àtous lesgraphes

GStacks

k.

4.7.1 L' arbre

TStacksk

L'arbreleplusnaturelassoiéauxpilesdeniveau

k

,noté

TStacks

k,est l'arbre déterministeétiquetépar

Γ

o

k ayant pour rainelapilevidede niveau

k

et telque pour toute pile

s∈Stacks

k l'étiquettedu hemin partant de la pilevide à

s

soit lasuite réduite de

s

.Formellement,l'arbre

TStacks

k est déni par:

TStacks

k

={(s,γ,s

^′

|s,s

^′

∈Stacks

k

,γ ∈Γ

o

k et

ρ

s′

=ρ

s

γ}.

Par uniité de la suite réduite (f. proposition 4.1.9),

TStacks

k est un arbre dé-terministe de raine

[ ]

_k.

Pour tout niveau

k ≥ 1

, l'arbre

TStacks

_k peut s'interpréter dans le graphe

GStacks

k et vieet versa.

Proposition4.7.1. Pourtout niveau

k≥1

,il existedeuxinterprétations mona-diques

I

k et

J

k telleque

GStacks

k

=I

k

(TStacks

k

)

et

TStacks

k

=J

k

(GStacks

k

)

. Démonstration. Soit

k ≥ 1

. Considérons l'interprétation

I

k

= (ϕ

γ

(x,y))

γ∈Σ_k où pour tout

γ ∈ Σ

k,

ϕ

γ

(x,y) = x −→

^γ

y∧ y −→

^γ

x

. Il est aisé de vérier que

GStacks

k

=I

_k

(TStacks

k

)

.

Considérons l'interprétation

J

_k

= (ϕ

_γ

(x,y))

γ∈Γo

k oùpour tout

γ ∈Γ

o

k,

ϕ

γ

(x,y) = ∃r, ψ(r)∧W

γ′6=γ∈Γo k

r

^Red γ^′ k

=⇒ x∧x−→

^γ

y

ϕ

_γ

(x,y) = ∃r, ψ(r)∧W

γ′6=γ∈Γo k

r

^Red γ^′ k

=⇒ x∧y−→

^γ

x

ave

γ ∈ Σ

k,

ψ(x)

une formule monadique dénissant la pile vide de niveau

k

dans

GStacks

k etoù

Red

^γ_k^′ désignel'ensemblerationnel

Red

k réduitaux suitesse terminantpar l'instrution

γ

^′ ouvides. Onvérie que

TStacks

k

=J

k

(GStacks

k

)

.

Une onséquene immédiate de ette proposition et de la proposition 3.1.3 est que les ensembles dénissables en logique monadiquedans

GStacks

k etdans

TStacks

k oïnidents. Il en va de même pour les relations dénissables dans es deux graphes.

Nousprésentons maintenantune série de transformationsde graphes permet-tantd'obtenir

TStacks

k+1 àpartirde

TStacks

k.Cetteonstrutionest unesimple adaptation du lemme 3.3.2.

Lemme 4.7.2. Il existe une substitution nieinverse

h

⁻¹ et une restrition mo-nadique

R

telles que

TStacks

_k+1

≈ R(Unf(h

⁻¹

(TStacks

_k

),[ ]

_k

)).

Démonstration. Considérons lasubstitution

h

⁻¹ dénie pour tout

c∈Γ

o

k

∪ {k}

, par:

h

₁

(γ) = {γ} γ ∈Γ

o k

h

₁

(k) = {ε}

Pour tout ar

(s,γ,s

^′

)

étiqueté par

γ ∈ Γ

o

k, l'appliation de

h

⁻¹ onserve et ar et rajoutel'ar inverse

(s

^′

,γ,s)

étiquetépar

γ

.

Larestritionmonadique

R

ne onservequelessommetsaessiblesdepuisla raine par un hemindont l'étiquette ne ontient pas de fateurs de laforme

γγ

pour

γ ∈Γ

o

k.

4.7.2 MSO-dénissabilité sur

GStacksk

.

La proposition4.7.2 permet d'utiliserles résultats du hapitre 3 pour dénir lesensembles dénissables en logique monadique sur

TStacks

_k+1 en fontion des ensembles dénissables en logiquemonadique sur

TStacks

k.

Proposition4.7.3. Lesensemblesdénissablesenlogiquemonadiquesur

TStacks

_k

sont des ensembles rationnels de Ratk.

Démonstration. Lapreuve proèdepar indution sur le niveau

k ≥1

. Au niveau

1

,erésultatsedéouledu théorème1.4.10.Supposonslerésultatvraiauniveau

k≥1

. Montrons qu'ilest vraiau niveau

k+ 1

.

Parlelemme4.7.2,ilexisteunesubstitutionnieinverse

h

⁻¹ etunerestrition monadique

D= (δ(x))

tellesque:

TStacks

k+1

≈ D(Unf(h

⁻¹

(TStacks

k

),[ ]

_k

)).

Soit

ϕ(x)

une formulemonadique. Considérons lemarquagemonadique

M

asso-iant laouleur

$

auxsommets satisfaisant laformule

ϕ(x)∧δ(x)

. Par la propo-sition 3.4.4, il existe un oloriage monadique

M

′

= (ϕ

c

(x))

c∈C pour un ertain sous-ensemble

C ⊆ Θ

et un oloriage rationnel

µ

déni par

µ($) = R

pour

R∈

Rat

(Γ

o

k

∪ {k} ∪C)

∗

tels que:

M(Unf(h

⁻¹

(TStacks

k

))) =µ

_{[ ]k}

(Unf(M

′

(h

⁻¹

(TStacks

k

)))).

Il existe un oloriagemonadique

M

′′

= (ψ

_c

(x))

c∈C telque

M

′

(h

⁻1

(TStacks

k

)) =

h

⁻¹

(M

′′

(TStacks

_k

))

. Par hypothèse de réurrene, pour tout

c ∈ C

, l'ensemble

R

c

= {s ∈ Stacks

k

| TStacks

k

|= ψ

c

[s]}

est un ensemble rationnel de piles de niveau

k

. Considérons lelangage

R

^′ dans Rat

(Γ

o

k

∪ {k} ∪ {T

_Rc

|c∈C})

obtenu en remplaant dans

R

les ourenes de

c

par

T

_Rc pour tout

c ∈ C

. Il est aisé de vérier que l'ensemble

S = {s ∈ Stacks

k+1

| TStacks

k+1

|= ϕ[s]}

est égal à

R(R

^′

)([ ]

_k+1

)

.

Parlaproposition4.7.1, ilsuit que lesensembles dénissables dans

GStacks

k

sont des ensembles rationnels de piles de niveau

k

. Comme nous l'avons déjà mentionné, lesensembles rationnels de Ratk sont dénissables dans

GStacks

_k. Théorème4.7.4. Lesensemblesdénissablesenlogiquemonadiquesur

GStacks

k

sont les ensembles de Ratk.

Nous pouvons grâe à e résultat et à la proposition 3.2.1 donner une a-ratérisation des relations dénissables dans

GStacks

k. Pour le niveau

1

, ette aratérisationa été établiedans [Bar97℄.

Théorème4.7.5. Les relationsdénissablesenlogiquemonadique sur

GStacks

k

Démonstration. Par dénition de PRk, pour toute relation

R ∈

PRk, il il existe une formulemonadique

ϕ

R

(x,y)

telleque pour toutepiles

s,s

^′

∈Stacks

k,

(s,s

^′

)∈

R

si etseulement si

GStacks|=ϕ

_R

[s,s

^′

]

.

Pourlaréiproque,ilsutd'établirquelesrelationsdénissablesdans

TStacks

k

appartiennentàPRk.Soit

ϕ(x,y)

uneformulemonadique.Parlaproposition3.2.1, il existe un oloriage monadique

M

′

= (ϕ

_c

(x))

_c∈C pour un ensembleni

C ⊂ Θ

et un ensemble

R

dans Rat

(Γ

o

k

∪C)

∗

tels quepour toutes piles

s,s

^′

∈Stacks

k,

TStacks

_k

|=ϕ[s,s

^′

]⇔s=

^R

⇒s

^′

.

Parlethéorème4.7.4,pourtout

c∈C

l'ensemble

R

_c

={s ∈Stacks

k

|TStacks

k

|=

ϕ

_c

[s]}

appartientàRatk.Considéronslelangage

R

^′ dans Rat

(Γ

o

k

∪ {T

_Rc

|c∈C})

obtenu en remplaçantdans

R

les ourenes de

c

par

T

Rc pour tout

c∈C

. Nous avons pour toutes piles

s,s

^′

∈Stacks

k,

s=

^R

⇒s

^′

⇔ s

^′

∈ R(R

^′

)(s).

La relationdénie par laformule

ϕ(x,y)

sur

TStacks

appartient àPRk.

4.7.3 Séletion sur

GStacksk

.

Dansesous-paragraphe,nousétablissonsquelesgraphes

GStacks

kpossèdent lapropriété de séletion. Ce résultata été obtenu par Fratani dans [Fra05℄. Théorème 4.7.6 ([Fra05℄). Pour tout

k ≥ 1

, le graphe

GStacks

k possède la propriété de séletion.

Démonstration. La preuve proède par réurrene sur le niveau

k ≥ 1

. Comme nous l'avons mentionnédans leparagraphe1.4.6,l'arbrebinaireompletpossède lapropriétéde séletion; e quiétablitleas de base.Supposonsquelapropriété est vrai auniveau

k

etmontrons quelle est vraie auniveau

k+ 1

.

Par la proposition 3.5.2 et la proposition 4.7.1, nous avons que

GStacks

k

possède la propriété de séletionsi et seulement si

TStacks

k la possède. Par hy-pothèse de réurrene,

TStacks

_k satisfait la propriété de séletion. Par la pro-position 3.5.3,

Treegraph(TStacks

k

,k)

possède la propriété de séletion. Par la proposition 3.4.1 et la proposition 4.7.1, il existe deux interprétations mona-diques

I

et

J

telles que

Treegraph(TStacks

_k

,k) ≈ I(Treegraph(GStacks

_k

,k))

et

J(Treegraph(TStacks

k

,k)) ≈ Treegraph(GStacks

k

,k))

. Rappelons que que nous avons l'égalité

Treegraph(GStacks

k

,k) = GStacks

k+1. Par la proposition 3.5.2,

Enombinantlesthéorèmes 4.7.4et4.7.6,nousobtenons l'extensionsuivante du théorème 1.4.10 auxgraphes

GStacks

k.

Théorème 4.7.7. Pourtout

k ≥1

et pour toute formule monadique

ϕ(X)

telle que

GStacks

k

|=∃X, ϕ(X)

, il existe un ensemble

R

ϕ

∈

Ratk tel que

GStacks

k

|=

ϕ[R

_ϕ

]

.

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