Ensembles rationnels de piles de piles

Danse paragraphe,nous introduisonslanotiond'ensemblerationneldepiles deniveau

k

induiteparlejeud'opérationssymétriques

Ops

_k.Intuitivement,ette notiondonneune représentation niedes ensembles de piles de niveau

k

assoiés à un automate à pile sur

Ops

^⋆_k. Des exemples de tels ensembles sont l'ensemble detouteslespilesapparaissantdansuneonguration(resp.ongurationnale) aessibledepuisuneongurationdonnée,l'ensembledespilesapparaissantdans une ongurationpermettantd'aéder à une ongurationdonnée, et.

Rationalité au niveau 1

Auniveau1,ilestbienonnuquelanotionderationalitélaplusnaturellepour lespiles sur un alphabet

Γ

est larationalitésur lemonoïdelibre

Γ

^∗.En eet, les ensemblesassoiésauxautomatesàpilespeuventêtredéritsommel'appliation d'un sous-ensemble rationnel de

Ops

^⋆₁

(Γ)

à la pile vide

[ ]

₁. Les ensembles ainsi dénis sont exatement les ensembles de Rat

(Γ

^∗

)

. Cette propriété fondamentale des automates à pilea été établie pour la première fois par Bühi dans [Bü64℄. Dans le adre du groupe libre

5

engendré par

Γ

, une propriété similaire a été 5.Le monoïde

Ops

^⋆₁

(Γ)

n'estpasungroupe.En eet,

pop

xn'admet pasd'inverseàdroite. Cependant, il vérie les égalités

pop

x

push

x

= Id

₁ pourtout

x ∈ Γ

. Cettesimilitude ave le groupelibre permet d'étendrelapreuvedugroupelibreàRat1

(Γ

∗

)

établie par Benois dans [Ben69℄ sous la forme suivante: toute partie rationnelle du groupelibre engendré par

Γ

qui est inluse dans

Γ

∗

est une partierationnelle du monoïdelibre

Γ

^∗.Cettepropriétéaété exploitéepour résoudredes problèmes de vériation symbolique pour les automates àpiledans [BEM97 ℄.

Nous présentons une formulation de e résultat adaptée à notre formalisme. Lapreuvedeette propriétéestun élégantméanismedesaturation.Uneversion élaborée de e méanisme est à la base des résultats de normalisation présentés dans lasuite de e hapitre.

Théorème 4.2.1 ([Bü64, Ben69℄). Pour tout alphabet ni

Γ

, Rat

(Ops

^⋆₁

(Γ))([ ]

₁

) =

Rat

(Γ

^∗

).

Démonstration. L'inlusion réiproque est immédiate. Pour l'inlusion direte, onsidéronsun ensemble de piles dans

S

égal à

R([ ]

₁

)

pour un ertainensemble

R ∈

Rat

(Ops

^⋆₁

)

. Il existe un ensemble

I

dans Rat

(Γ

^∗₁

)

tel que

R =R(I)

et don telque

S =R(I)([ ]

₁

)

.

Pourtout

γ ∈Γ

,

R(γγ¯)

estégalàl'élémentneutre

Id

kde

Ops

^⋆_k.L'idéeestdon de aluler l'ensembledes desendants de

I

pour le semi-système de Thue déni par

{(γγ,ε¯ )|γ ∈Γ}

.Nous noterons et ensemble

I

^↓. Commele semi-système de Thue préserve l'interprétationpar

R

,il suit que

R(I) =R(I

^↓

)

. Comme

I

est un ensemble rationnel,

I

^↓ est aussi un ensemble rationnel. Ce résultat a été obtenu par Benois dans [Ben69℄. Dans [BS86℄, les auteurs établissent une onstrution permettant d'obtenir un automate ni aeptant

I

^↓ à partir d'un automate ni aeptant

I

travaillanten

O(m

3

)

où

m

estlenombred'étatsdupremierautomate. Nousprésentons un méanisme de saturation moins eae, mais néanmoins polynomial,qui réalise ette tâhe.

Soit

A = (Q,I,F,∆)

un automate ni étiqueté par

Γ

1 aeptant

I

. Nous dé-nissons,parréurrene,unesuited'automates

(A

_i

)

_i∈Nayantlesmêmesensembles d'états que

A

et tel que pour tout

i ∈N

,

R(L(A

i

)) = R(I)

. L'automate

A

0 est égal à

A

. Supposons que nous ayons déni

A

_i

= (Q,I,F,∆

i

)

, nous dénissons

A

_i+1

= (Q,I,F,∆

_i+1

)

en prenant:

∆

i+1

= ∆

i

∪ {(p,ε,q)|p−→

^γε∗γ¯

Ai

q

où

γ ∈Γ}.

Lasuitedesensembles detransitions

(∆

i

)

i∈Nest roissanteetbornée.Ilexiste donun indie

i

₀

≤(Γ

₁

+ 1)· |Q|

2

telquepour

j ≥i

₀,

A

_j

=A

_i0.Nousnoterons

B

l'automate obtenu après avoir éliminé les

ε

-transitions de

A

i0. Par onstrution,

B

aepte

I

^↓.

Pour onlure, il sut de remarquer que pour toute pile

s ∈ S

, il existe

ρ ∈ I

^↓

∩ ⊥

∗

1

Γ

∗

tel que

s = R(ρ)([ ]

₁

)

. L'ensemble de piles

S

est don égal à

π

_⊥1

(L(B)∩ ⊥

∗

1

Γ

^∗

) ∈

Rat

(Γ

^∗

)

où

π

_⊥1 est le morphisme alphabétique eaçant les ourrenes de

⊥

1.

Nousdénissons donl'ensembledes langagesrationnelsde piles de niveau

1

, noté Rat1

(Γ)

, omme Rat

(Ops

^⋆_k

)([ ]

₁

) =

Rat

(Γ

∗

)

. Les propriétés algébriques et algorithmiques de es ensembles sont bien onnues. En partiulier, un résultat fondamentalest que es ensembles formentune algèbrede Boole. Ces ensembles admettent de nombreuses aratérisations: par automates nis, par reonnais-sabilité par morphisme inverse dans un monoïde ni, par expressions régulières ou par dénissabilité en logique du seond ordre monadique [Bü62℄ (pour une présentation synthétique de es résultats voir par exemple [Wei04℄ et pour une présentation détailléevoirpar exemple[Sak03℄).

Rationalité à partir du niveau

2

Au niveau

k >1

, nous dénissons, par analogie,les ensembles rationnels 6

de piles de niveau

k

omme les ensembles obtenus en appliquant un sous-ensemble rationnel de

Ops

^⋆_k à la pile vide de niveau

k

. Nous noterons Ratk

(Γ)

l'ensemble de tous lesensembles rationnels de piles de niveau

k

.

Nousavons don pour tout

k ≥1

etpour tout alphabetni

Γ

, Ratk

(Γ) =

Rat

(Ops

^⋆_k

(Γ))([ ]

_k

),

= R(

Rat

(Γ

^∗_k

))([ ]

_k

).

Remarquons que l'utilisation du jeu d'opérations symétriques

Ops

_k au lieu du jeu d'opérations lassiques

COps

_k est fondamentale. Nous verrons dans le paragraphe 4.6 que si nous remplaçons

Ops

^⋆_k par

COps

^⋆_k dans la dénition de Ratk, nous n'obtenons plus une algèbre de Boole.

Pardénition,lesensemblesdeRatk

(Γ)

sontnaturellementliésauxautomates à pilesur

Ops

_k

(Γ)

ommele montre lapropositionsuivante.

Proposition 4.2.2. Pour tout automate à pile

A

sur

Ops

_k

(Γ)

, l'ensemble des pilesdeniveau

k

apparaissantdansuneongurationnalede

A

aessibledepuis une onguration initiale est un ensemble de Ratk

(Γ)

.

Réiproquement, tout ensemble

R

de Ratk

(Γ)

est l'ensemble des piles appa-raissant dans une onguration nale aessible depuis une onguration initiale d'un ertain automate à pile

A

sur

Ops

_k

(Γ)

.

Exemple 4.2.3. Reprenons l'automate à pile

A

sur

Ops

₂ de l'exemple 4.1.14. L'ensemble des piles de niveau 2 apparaissant dans une onguration nale a-essible depuis la onguration initiale

(i,[ ]

₂

)

est dérit par l'ensemble

R

de Rat

(Ops

^⋆₂

)

dénipar:

{push

_a

,push

_b

}

^∗

·copy

₁

·(copy

₁

· {pop

_a

,pop

_b

})

^∗

·T

[ ]₁

·({push

_a

,push

_b

} ·copy

₁

)

^∗

·copy

₁

6.Le terme rationnel est légèrementabusifar nousne munissons pasl'ensemble despiles deniveau

k

d'unestruturedemonoïde.NousonsidéronslaprojetiondeRat

(Ops

^⋆k

)

.

appliquéàlapilevideniveau2.Cettereprésentationnien'estmalheureusement pas très informativeet nous préférerons la représentation niesuivante

{push

_a

,push

_b

}

^∗

([ ]

₂

).

Plan détaillé du hapitre

Notre but dans lasuite de e hapitreest de fournirdes outilspermettant de travailler ave les ensembles de Ratk

(Γ)

. Pour ela, nous introduisons plusieurs modèles d'automates aeptant les langagesde Ratk

(Γ)

qui nous permettent en partiulierde dériverlespropriétés de fermeturede es langages. Nousporterons un intérêt partiulier à la omplexité des transformations permettant de passer d'un modèle d'aepteur ni auxautres.

Le paragraphe 4.3 présente diérents aepteurs nis pour les ensembles ra-tionnelsde piles de niveau

k

et lestransformationspermettantde passer des uns auxautres. Plus préisément,nous étudierons des automates étiquetés par

Γ

k et leurs versions alternantes (au sens de [CKS81℄), et nous établirons l'équivalene de es deux modèles.

Leparagraphe4.4présenteunenotiond'aepteur nidéterministeetomplet pour lesensembles de Ratk

(Γ)

qui permet de dériver lespropriétés de lture de es ensembles eten partiulier lafermeture par omplémentaire.

Leparagraphe4.5étudielesrelationssurlespilesde niveau

k

induitespar les ensemblesrationnelsdesuitesd'instrutionsde

Γ

ketdesinstrutionsdetestsdans Ratk

(Γ)

.Nousmontrons en partiulierquees relationsforment àhaque niveau une algèbre de Boole et nous en donnons une représentation normalisée. Cette étudeétendauxniveauxsupérieurslestravauxdeCaualsurlesrelations préxe-reonnaissables [Cau96, Cau03a, Cau03b℄ qui sont les relations induites par les ensembles rationnelsdesuitesd'instrutionde

Γ

1 etlesinstrutionsde testsdans Rat1

(Γ)

. Nous utilisons es relations pour donner une notion d'aepteurs nis qui dérive les ensembles rationnels de Ratk: pile de niveau

k −1

par pile de niveau

k−1

alors lesnotions d'aepteurs nis étudiés dans lesparagraphes 4.3 et4.4suivent la suite réduitedes piles de niveau

k

.

Le paragraphe 4.6 ompare les notions de rationalité induites par les opéra-tions lassiques

COps

_k et par les opérationssymétriques

Ops

_k. Nous établissons quelesensembles rationnelsinduitspar

COps

_k sontstritementinlusdans eux induits par

Ops

_k à partir du niveau

3

et qu'ils ne forment pas une algèbre de Boole.

Le paragraphe 4.7 étend la aratérisation par dénissabilité en logique du seond ordre monadique des ensembles rationnels de mots [Bü62 ℄. Cette ara-térisationpeut être reformulée en utilisantlethéorème de Rabin[Rab69℄ omme suit: les ensembles rationnels de mots sur

Γ = {a,b}

sont les ensembles

dénis-sablesen logique du seondordremonadiquesur l'arbrebinaireompletétiqueté par

Γ

et dont lessommets sontles mots de

Γ

∗

.

Nous montrerons que les ensembles rationnels de piles de niveau

k

sont les en-semblesdénissablesen logiquemonadiquesur legraphe

GStacks

_k

(Γ)

assoiéaux piles de niveau

k

ave les opérationsde

Ops

_k

(Γ)

.

Nous onluons e hapitre par le paragraphe 4.8 où nous appliquerons les résultatsobtenusàl'étudedeertainsenrihissementsdesautomatesnisdemots tels que lesautomates bidiretionnels, alternants ouautomates àgalets [CKS81, LLS84, GGK91, GH96℄ qui onservent la même expressivité que les automates ni de mots. Nous verrons que lesrésultats obtenus dans e hapitre permettent de réobtenir ertains résultats d'équivalene entre es modèles et les automates nis déterministes de manièreuniforme et ave une omplexitéminimale.

Dans le document Automates infinis, logiques et langages (Page 101-105)