4.4 Aepteurs nis déterministes
4.4.3 Automates sur Γ k ave tests dans Rat k
Nous onluons e paragraphe en anant la omplexité de la transforma-tion d'un automate
A
surΓ
k ave tests dansL ⊂
Ratk(Γ)
en un automateB
langage
L∈ L
est aepté par un automateA
Lentièrementdéterministeet om-plet normalisé(f. dénition 4.4.21). Les résultats obtenus sont résumés dans le théorème 4.4.25. Cette setion ne présente pas d'intérêt partiulier en dehors de l'établissement de e théorème.Parlaproposition4.3.38etparlethéorème4.4.15,nousobtenonsunautomate
B
de taillebornéeparexp[k](|A|+P
L∈L
|A
L|)
pourk ≥1
.Pourk≥2
,nous a-nonsetteomplexitéetnousobtenonsuneborneenexp[k−1](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
. Avantde présenter lesdiérentes étapesde etteonstrution,nous introdui-sons les notionsommunes àtoutes es étapes.Soit
A= (Q
A,I
A,F
A,∆
A)
unautomatesurΓ
kavetestsdansL={L
1, . . . ,L
n} ⊂
Ratk
(Γ)
. Supposons de plus que pour toutℓ ∈ [1,n]
,L
ℓ est aepté par un au-tomateA
ℓ= (B
ℓ,(C
iℓ)
i∈[1,nℓ])
entièrement déterministe etompletnormaliséaveB
ℓ= (Q
ℓ,{i
ℓ},F
ℓ,∆
ℓ)
. Pourk ≥ 2
, nous noteronsL
′⊂
Ratk−1(Γ)
l'ensemble{S(C
iℓ)|ℓ ∈[1,n]
eti∈[1,n
ℓ]}
.Pour toute pile
s ∈ Stacks
k(Γ)
, nous notonsX
s le uplet(A
1(s), . . . ,A
n(s)) ∈
Q
ℓ∈[1,n]
Q
ℓ (f.lemme 4.4.3).Il est aisé de vérier que
X
[ ]k est égal à(i
1, . . . ,i
n)
et que pour toute piles ∈
Stacks
k(Γ)
aveX
s= (q
1, . . . ,q
n)
, la piles
appartient àL
ℓ si et seulement siq
ℓappartientà
F
ℓ.Pour
k ≥ 2
, la propriété lé est que pour tout uplete = (e
1, . . . ,e
n)
etf =
(f
1, . . . ,f
n)
dansQ
ℓ∈[1,n]
Q
ℓ et pour toutγ ∈ Γ
k−1∪ {k}
, il existe un sous-ensembleR
γe,f deL
′tel que pour toute pile
s ∈ Stacks
k(Γ)
ave Last(s) 6= ¯γ
,X
s=e
ettelle ques
′=R(γ)(s)
soitdénie,X
s′=f ⇔top
k−1(s
′)∈ \
R∈Rγe,f
R.
L'ensemble
R
γe,f est déniomme suit:
R
γe,f= { ∅ }
s'il existeℓ ∈ [1,n]
tel qu'il n'existe pas de transition de la formep
ℓ−→
γq
ℓ,T
dans∆
ℓ.
R
γe,f=S
ℓ∈[1,n]
T
ℓ sipour toutℓ ∈[1,n]
,il existe une transitionp
ℓ γ−→q
ℓ,T
ℓdans
∆
ℓ.Notons queomme l' automateA
ℓ est normalisé, ette transition est unique.La première étape reprend l'approhe du sous-paragraphe 4.3.3.2 et trans-forme un automate sur
Γ
k ave tests dans Ratk(Γ)
en un automate équivalent réduit surΓ
k ave tests dans Ratk(Γ)
.Proposition4.4.23. Pourtoutautomate
A
surΓ
k ave testsdansL ⊂
Ratk(Γ)
, ilexisteunautomateréduitB
surΓ
kavetestsdansL
′⊂
Ratk(Γ)
aeptantS(A)
. De plus, si haqueL ∈ L
est aepté par un automateA
L entièrement déter-ministe et omplet normalisé,|Q
B|
est bornée parexp[0](|A|)
,|B|
et|L
′|
sontbornées par
exp[0](|A| +Q
L∈L
|A
L|)
et haqueL ∈ L
′est aepté par un au-tomate
B
L entièrement déterministe et omplet normalisé de taille bornée parexp[k−1](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
sik ≥2
etexp[1](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
sik = 1
.Démonstration. Nous onsidérons leas
k ≥ 2
. Leask = 1
est une adaptation immédiate. SoitA = (Q
A,I
A,F
A,∆
A)
un automate surΓ
k ave tests dansL =
{L
1, . . . ,L
n} ⊂
Ratk(Γ)
. Nous reprenons les notations présentées au début de e sous-paragraphe. Pour toutp,q ∈ Q
A, nous reprenons aussi la dénition des langagesde boulesL
p,q introduits dans le sous-paragraphe 4.3.3.2.Comme l'établitle lemme4.3.46, dans le as où
L =∅
, l'appartenane d'une piles ∈ Stacks
k(Γ)
ne dépend que de Last(s)
ettop
k−1(s)
. Par une adaptation immédiate de la preuve du lemme 4.3.46, nous établissons que lorsqueL
n'est pas vide, l'appartenane d'une piles ∈ Stacks
k(Γ)
ne dépend que de Last(s)
,top
k−1(s)
etdeX
s.Plus préisément, pour tout
p,q ∈ Q
A etγ ∈ Γ
ok−1
∪ {k,ε}
et toutd ∈
Q
ℓ∈[1,n]
Q
ℓ, il existe un automateA
γ,dp,q alternant sur
Γ
k−1 ave tests dansL
′tel que pour toute pile
s ∈ Stacks
k(Γ)
ave Last(s) = γ
etX
s= d
,s ∈ L
p,q si et seulement sitop
k−1(s)∈ S(A
γ,dp,q
)
.L'ensemble des états de
A
γ,dp,q est égal à(Γ
ok−1
∪ {k,ε})×Q
A×(Q
ℓ∈[1,n]
|Q
ℓ|)
. La onstrution de l'automate est une adaptation immédiate de la onstrution du lemme 4.3.46.Le nombre d'états de et automate est borné par
exp[0](|A|+Q
ℓ∈[1,n]
|Q
ℓ|)
. Par la proposition 4.3.41,A
γ,dp,q est équivalent à un automate alternant surΓ
k−1sans tests dont lenombre d'états est borné par
exp[0](|A|+Q
ℓ∈[1,n]
|Q
ℓ|)
.Par le théorème 4.4.15, il existe un automate
B
p,qγ,d entièrement déterministe etompletsurΓ
k−1 detaillebornéeparexp[k−1](|A|+Q
ℓ∈[1,n]
Q
ℓ)
etéquivalent àA
γ,dp,q. Nous onsidérons
B
γ,dp,q omme un automate entièrement déterministe et ompletsur
Γ
k.Enadaptantlapreuvedelaproposition4.3.41,nousonstruisonsunautomate
D= (Q
D,I
D,F
D,∆
D)
réduit surΓ
k ave tests dans:L
′= {S(A
qℓ)|ℓ∈[1,n]
etq∈Q
ℓ}
∪ {S(A
γ,dp,q)|p,q ∈Q
A,γ ∈Γ
ok−1
∪ {k,ε}
etd∈Q
ℓ∈[1,n]
|Q
ℓ|}.
où pour tout
ℓ ∈ [1,n]
et pour toutq ∈ Q
ℓ,A
qℓ désigne l'automate entièrement déterministe et omplet surΓ
k égal à((Q
ℓ,{i
ℓ},{q},∆
ℓ),(C
ℓi
)
i∈[1,nℓ])
. Tous les langages deL
′sont bien aeptés par des automates déterministes et omplets sur
Γ
k de taillebornée parexp[k−1](|A|+Q
ℓ∈[1,n]
|Q
ℓ|)
. L'ensemble des étatsQ
D est égal àQ
A×(Γ
ok−1
∪ {k,ε})
.L'ensembleI
D des états initiaux est égal à{(p,ε) ∈ Q
A× {ε} | i ∈ I
A,[ ]
k−1∈ S(A
ε,X[ ]ki,p
)}
. Par la proposition 4.4.18, l'ensembleI
D peut être alulé en tempsexp[k−1](|A|+
Q
ℓ∈[1,n]
|Q
ℓ|)
. L'ensembleF
D des états naux estF
D= F
A× (Γ
ok−1
∪ {k,ε})
. L'ensemble des transitions∆
B est donnépar:{(p,γ
′)−→
γ(r,γ),T
′| γ
′∈Γ
o k−1∪ {k,ε},γ ∈Γ
o k−1∪ {k},γ¯6=γ
′p−→
γq,T ∈∆
A,d= (q
1, . . . ,q
n)∈Q
ℓ∈[1,n]|Q
ℓ|
pour touti∈[1,n], T
Li∈T ⇒q
i∈Q
i,
etT
′={T
S(Aqℓ ℓ )|ℓ∈[1,n]} ∪ {T
S(Aγ,d q,r)} }.
Paronstrution,l'automate
D
estréduit(f.remarque4.3.23)etenadaptant lapreuve de laproposition4.3.49, nous montrons queD
aepteS(A)
.La deuxième partiede lapreuve est plus intéressante etonsiste àremplaer lestests de niveau
k
dans un automate réduit surΓ
k ave testsL ⊂
Ratk(Γ)
par des tests de niveauk−1
.Proposition 4.4.24. Pour tout automate
A
réduit surΓ
k ave tests dansL ⊂
Ratk
(Γ)
, il existeun automateB
réduitΓ
k ave tests dansL
′⊂
Ratk−1(Γ)
aep-tant le même langage.De plus, si haque
L ∈ L
est aepté par un automateA
L entièrement déter-ministe et omplet normalisé,|B|
est bornée parexp[0](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
et|L
′|
est bornée par
exp[0](|A|+P
L∈L
|A
L|)
et haqueL ∈ L
′est aepté par un au-tomate
B
L entièrement déterministe et omplet normalisé de taille bornée parexp[0](|A|+P
L∈L
|A
L|)
.Enn, si
A
est déterministeet omplet alorsB
l'est aussi.Démonstration. Considérons le as
k ≥ 2
. Le ask = 1
est une adaptation immédiate. SoitA = (Q
A,I
A,F
A,∆
A)
un automate surΓ
k ave tests dansL =
{L
1, . . . ,L
n} ⊂
Ratk(Γ)
. Nous reprenons les notations introduites au début de e sous-paragraphe.Nous pouvons maintenant dénir un automate
D = (Q
D,I
D,F
D,∆
D)
réduit surΓ
k ave tests dansL
′équivalent à
A
. L'ensemble des étatsQ
D est égal àQ
A×(Q
ℓ∈[1,n]
Q
ℓ)
. L'ensemble des états initiaux et naux sont respetivementI
A×X
[ ]k etQ
A×(Q
ℓ∈[1,n]
Q
ℓ)
. L'ensemble∆
D des transitions est déni par:{(p,e)−→
γ(q,f),T
Rγe,f
|p−→
γq,{T
Li1
, . . . ,T
Lim} ∈∆
A,e,f ∈Q
ℓ∈[1,n]
Q
ℓetpour tout
j ∈[1,m],f
ij∈F
j}.
Par onstrution,l'automate
D
est réduitet aepteS(A)
.Supposonsmaintenantque
A
soitdéterministeetomplet(f.remarque4.4.2). Montrons queD
est déterministe et omplet. CommeA
est déterministe, pour tout étatp ∈ Q
A et pour toute
etf ∈ Q
q∈Q
Atelque(p,e)−→
γ(q,f),T
Rγ e,fappartienneà
∆
D.Ilsutalorsderemarquer que pour toutγ
et pour toute,f
etf
′ dansQ
ℓ∈[1,n]
Q
ℓ avef 6= f
′, nous avonsT
R∈Rγe,f
R∩T
R∈Rγe,f′
=∅
arlesautomatesA
Lsontdéterministes.Laomplétude deD
se dérivede laomplétude deA
et des automatesA
L.En ombinant lesdeux propositions préédentes et la proposition 4.4.5, nous transformons les automates sur
Γ
k ave tests dans Ratk(Γ)
en des automates équivalents entièrement déterministeset ompletssurΓ
k.Théorème 4.4.25.
1. Pour tout automate
A
surΓ
1 ave tests dansL ⊂
Rat1(Γ)
, il existe une automateB
entièrementdéterministeetompletsurΓ
1 aeptantS(A)
. De plus sihaqueL∈ L
est aepté par un automate entièrement déterministe et omplet, la tailledeB
est bornée parexp[1](|A|+P
L∈L
|A
L|)
.2. Pour
k ≥2
etpourtout automateA
surΓ
k ave tests dansL ⊂
Ratk(Γ)
, il existeuneautomateB
entièrementdéterministeetompletsurΓ
kaeptantS(A)
. De plus si haqueL ∈ L
est aepté par un automate entièrement déterministe et omplet normalisé, la taille deB
est bornée parexp[k −
1](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
.Démonstration. Commenous l'avons vu, le premierpoint déoulede la proposi-tion 4.3.38 etdu théorème 4.4.15.
Établissonsleseondpoint.Soit
k≥2
etA
unautomatesurΓ
kavetestsdansL ⊂
Ratk(Γ)
.PourtoutL∈ L
,soitA
L un automate entièrement déterministeet ompletnormaliséaeptantL
.Parlaproposition4.4.23,ilexisteunautomateB
réduitsur
Γ
k ave testsL
′⊂
Ratk(Γ)
aeptantS(A)
.LatailledeQ
B est bornée parexp[0](|A|)
,|B|
et|L
′|
sont bornées parexp[0](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
et haqueL ∈ L
′est aepté par un automate
B
L entièrement déterministe et omplet normalisédetaillebornéeparexp[k−1](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
.Parlaproposition4.4.5 et la remarque 4.4.6, nous onstruisons un automateC
déterministe et omplet surΓ
k ave tests dansL
′∪(L
′)
⊂
Ratk aeptantS(B)
dontla tailleest bornée parexp[1](|A|+Q
L∈L
|A
L|)
. Par la proposition 4.4.24, il existe un automateD
réduitdéterministeetompletsur
Γ
kave testsL
′′⊂
Ratk−1(Γ)
aeptantS(C)
. De plus,nous pouvons supposer que|D|
est bornée parexp[0](|B|+Q
L∈L′
|B
L|)
et
|L
′|
est bornée parexp[0](|B|+P
L∈L′
|B
L|)
ethaqueL∈ L
′′est aepté par un automate
C
L entièrement déterministeet ompletnormalisé de taillebornée parexp[0](|B|+ P
L∈L
|B
L|)
. L'automate entièrement déterministe et omplet reherhé est don(D,(C
L)
L∈L′′)
dont la taille est bornée parexp[k −1](|A|+
Q
4.5 Relations préxe-reonnaissables d'ordre