Automates bidiretionnels - Lien ave les automates sur les mots

4.8 Lien ave les automates sur les mots

4.8.1 Automates bidiretionnels

En utilisant les résultats des paragraphes préédents, nous pouvons préiser laomplexitéde latransformationd'unautomate

A

de niveau

k

enun automate ni sur

Γ

aeptant

M(A)

Théorème 4.8.2. Pour tout niveau

k ≥ 2

et pour tout alphabet ni

Γ

, nous avons:

1. Pour tout automate

A

de mots sur

Γ

_k, il existe un automate

B

ni sur

Γ

aeptant le même langage. De plus

|B|

est borné par

exp[k−1](|A|)

. 2. Pour tout automate

A

de mots sur

Γ

k ave tests dans un ensemble ni

L ⊂

Ratk

(Γ)

, ilexisteun automate

B

nisur

Γ

aeptantlemême langage. De plus, si pour tout

L ∈ L

L

est aepté par un automate entièrement déterministe et omplet

|B|

est borné par

exp[k−1](|A|+Q

L∈L

|A

|)

. 3. Pour tout automate

A

de mots alternant sur

Γ

k, il existe un automate ni

déterministe sur

Γ

aeptant le même langage. De plus,

|B|

est borné par

exp[k](|A|)

Démonstration. D'aprèslesthéorèmes4.4.15et4.4.25,nouspouvonsnous onen-trer sur des automates entièrement déterministesetompletssur

Γ

k pour

k ≥2

. Soit

A = (B,(B

)

_L∈L

)

une automate déterministe et omplet sur

Γ

_k ave

k ≥1

. Considéronsl'automate

C

sur

Γ

ave testsdans

{M(B

)|L∈ L}

obtenu enrestreignantl'automate

B

auxtransitionsétiquetéespar

Γ

etenremplaçantles instrutions de tests

TS

₍_BL₎ par

TM

₍_BL₎.Il est aisé de vérier que

M(A)

est égal à

S(C)

. Supposons que pour tout

L ∈ L

M(B

)

est aepté par un automate

C

_L déterministe et omplet sur

Γ

. Par la proposition 4.4.24,

M(B)

est aepté par un automate déterministe etompletsur

Γ

de taillebornée par

exp[0](|B|+

Q

L∈L

|C

|)

Nousallonstraiterleas des automatessur

Γ

k.Lesautresas sontsimilaires. Soient

k ≥ 2

A

un automate sur

Γ

_k. Par le théorème 4.4.15, il existe un automate entièrement déterministe et omplet

(B,(B

)

L∈L

)

aeptant

A

et de taille bornée par

exp[k −1](|A|)

. Par la remarque 4.4.16, la taille de tous les ensembles de tests intervenant danset automateest bornéepar

exp[k−2](|A|)

. Uneréurreneimmédiate utilisantleprinipeprésentéaudébut deette preuve établiel'existene d'un automatedéterministe etompletsur

Γ

aeptant

M(A)

et de taillebornée par

exp[k−1](|A|)

4.8.1 Automates bidiretionnels

sur

Γ

₂.Plus préisément,pour toutautomatebidiretionnel

A

,nousonstruirons un automate

B

sur

Γ

2 ave tests dans

L ⊂

Rat2

(Γ)

de taille polynomiale en la taille

A

telque

M(B)

est lelangagedemots aeptéspar

A

.L'ensemblede tests

L

ne dépend quede l'alphabet

Γ

et ne dépend pas de l'automate

A

.Parle théo-rème4.8.2, nous déduirons quepour tout automate bidiretionnel

A

,il existe un automate déterministe et omplet sur

Γ

aeptant

L(A)

de taille exponentielle en la taillede

A

. Ce résultat aété obtenu pour la première fois dans [She59℄.

Intuitivement, un automate bidiretionnelest une mahine de Turing qui ne peut pas érire sur sa bande. Nous allons présenter une dénition des es auto-mates quifailitela simulationpar des automates sur

Γ

Dénition4.8.3. Un automatebidiretionnelsur

Γ

∗

est un uplet

(Q,I,F,∆)

où

Q

est un ensemble ni d'états,

I

F ⊆ Q

sont respetivement l'ensemble des états initiauxet naux etoù

∆

est un sous-ensemblede

Q×Γ×Q× I

où

I

est l'ensembledes instrutions

{

Last

,

First

,¬

Last

,¬

First

,

Right

,

Left

}

Pour des raisons tehniques, nous ne onsidérerons que des automates bidi-retionnels ne travaillant pas sur une entrée vide. Une onguration est don un uplet

(w,i,q)

où

w ∈ Γ

i ∈ [1,|w|]

et où

q ∈ Q

. Intuitivement la ongu-ration

(w,i,q)

représente une bande

w

ave la tête de leture dans l'état

q

sur la

i

ème

ase. Les instrutions de

I

sont des fontions partielles sur l'ensemble

{(w,i) | w ∈ Γ

i ∈ [1,|w|]}

. L'instrution Right (resp. Left) déplae la tête de leture d'une ase vers la droite (resp. gauhe) si laposition

i

n'est pas égale à

|w|

(resp. n'est pas égale à

1

). Les instrutions First,

¬

First,Last et

6=

Last ne modient pas laongurationourante mais ne sontdénies respetivement que si la position ourante est égale à

1

, diérente de

1

, égale à

|w|

ou diérente de

|w|

Unetransition

(p,γ,q,ρ)

peuts'appliqueràuneonguration

(w,i,p)

pour don-ner une onguration

(w,j,q)

w(i)

est égal à

γ

etsi l'instrution

ρ

appliquée à

(w,i)

est dénieet égale à

(w,j)

Nous dirons qu'un automate bidiretionnel

A

aepte un mot

w ∈ Γ

s'il existe un alul de

A

partant d'une onguration initiale

(w,1,q

)

ave

q

∈ I

et terminant dans une onguration nale

(w,j,q

)

pour

q

∈ F

. Nous noterons

L(A)

lelangage aepté par

A

Nousprésentonsmaintenantlasimulationdeesautomatespardesautomates sur

Γ

2avetestsdansRat2

(Γ)

.Fixonsunautomatebidiretionnel

A= (Q,I,F,∆)

. Une onguration

(w,i,q)

de l'automate

A

sera simulée par la onguration

(q,[ [w] [w(1), . . . ,w(i) ] ]

₂

)

de l'automate

B

. Pour tout

(w,i)

ave

w∈Γ

i∈

[1,|w|]

, nous notons

[[ (w,i) ]]

lapile

[ [w] [w(1), . . . ,w(i) ] ]

₂ de

Stacks

(Γ)

Avant de simuler les instrutions de

I

, nous introduisons des langages de tests dans Rat2

(Γ)

qui sont Conf

= {[ [w] [w

^′

] ]

₂

| w,w

^′

∈ Γ

w

^′

⊑ w}

, First

= {[ [w] [w(1) ] ]

₂

| w ∈ Γ

}

, Last

= {[ [w] [w] ]

₂

| w ∈ Γ

}

ainsi que

les omplémentaires de es deux derniers langages notés respetivement First et Last

. Nous vérions aisément que es langages sont aeptées par des auto-mates entièrementdéterministes etompletsde taillepolynomialeen lataillede l'alphabet

Γ

. Notons

L

₂ l'ensemblede es langages.

Nous assoions à haque instrution

ρ ∈ I

, un ensemble ni non-ambigu

R

_ρ

⊂ (Γ

∪ T

_L₂

)

^∗ simulant

ρ

. Nous adoptons les mêmes raouris de notations que dans lesous-paragraphe 4.1.5.2.

R

Right

= {γ· T

Conf

|γ ∈Γ} R

Left

= {γ¯· T

Conf

|γ ∈Γ}

R

First

= { T

First

} R¬

First

= { T

First

}

R

Last

= { T

Last

} R¬

First

= { T

Last

}.

Ilestaisé devérierquepourtout

ρ∈ I

etpourtout

(w,i)

ave

w∈Γ

i∈

[1,|w|]

ρ((w,i))

est déni et égal à

(w,j)

si et seulement si

R(R

)([[ (w,i) ]])

est déni etégal à

[[ (w,j) ]]

Nous pouvons don simuler les automates bidiretionnels sur

Γ

∗

par des au-tomatessur

Γ

2 ave tests dans

L

Proposition 4.8.4. Pour tout automate bidiretionnel

A

, il existe un automate

B

sur

Γ

2 ave tests dans

L

2 de taille polynomiale en lataille

A

tel que

M(B) =

L(A)

Par le théorème 4.8.2 et omme les langages de

L

2 sont aeptés par des automatesentièrementdéterministesetompletsdetaillepolynomialeenlataille de

Γ

, nous réobtenons le résultatde [She59 ℄.

Proposition 4.8.5 ([She59 ℄). Pour tout automate

A

bidiretionnel sur

Γ

∗

, il existeun automate

B

ni déterministeet ompletde taillebornée par

exp[1](|A|)

et aeptant

L(A)

Nous onsidérons naturellement la version alternantedes automates bidire-tionnelsennousbasantsurladénitionde[CKS81℄.Ilestimportantderemarquer queettenotiond'alternaneestplusfaiblequeelleonsidéréeparexempledans [LLS84,GGK91,GH96,EH99℄. Eneet, nousn'autorisonsquedes exéutions -nies alors que es auteurs autorisent des exéutions aeptantes innies. Pour pouvoirsimulerettenotionplusgénéraled'alternane, ilfaudraitdénirune no-tion d'alternane plus générale pour les automates sur

Γ

k (f.remarque 4.3.17). Dénition4.8.6 ([CKS81℄). Unautomatebidiretionnelalternantsur

Γ

∗

estun uplet

(Q,I,F,∆)

où

Q

estunensemblenid'états,

I

F ⊆Q

sontrespetivement l'ensemble des états initiaux et naux et où l'ensemble des transitions

∆

est un sous-ensemble de

Q×2

Γ×Q×I

Les notions d'exéution etd'aeptation sont dénies de manièreanalogue à ellesdesautomatesalternantssur

Γ

k.Enutilisantl'enodageprésenté

préédem-ment,nouspouvons onstruirepourtoutautomate

A

bidiretionnelalternantsur

Γ

∗

unautomate

B

alternantsur

Γ

2 detaillepolynomialeenlataillede

A

ettelque

M(B) = L(A)

. Remarquons que omme lemontre la proposition 4.3.38,il n'est pas néessaire de faire apparaître expliitement les tests de

L

₂ dans l'automate

B

. Par lethéorème 4.8.2, nous obtenons le résultatsuivant.

Proposition4.8.7 ([CKS81℄). Pourtout automate

A

bidiretionneletalternant sur

Γ

^∗, il existe un automate

B

ni déterministe et omplet de taille bornée par

exp[2](|Q

|)

et aeptant

L(A)

Dans le document Automates infinis, logiques et langages (Page 195-198)