Jeux de parité

Dans e paragraphe, nous introduisons les jeux de parité (f. sous-paragra-phe1.4.5.1)etleurliens avelesautomatesd'arbresàparité(f.sous-paragraphe 1.4.5.2).Nousonluonsen rappelantquelques résultatsliantlasolutiondesjeux de parité et lalogique monadique(f. sous-paragraphe 1.4.5.3).

1.4.5.1 Dénition et propriétés

Unjeu deparité est ungraphe

G

sur

(Σ,{0,1,p

₀

, . . . ,p

_N

})

pour

N ≥0

telque pour tout

u ∈ V

G,

Θ

G

(u) = {i

u

,p

u

}

ave

i

u

∈ {0,1}

et

p

u

∈ {p

0

, . . . ,p

N

}

. Le

joueur

0

(resp. joueur

1

)jouesur les sommetsoloréspar

0

(resp.olorés par

1

). Nousnoterons

V

i l'ensemble des sommets oloréspar

i

pour

i ∈ {0,1}

. De plus, noussupposeronstoujoursque

G

estunsous-ensemblede

V

₀

×Λ×V

₁

∪V

₁

×Λ×V

₀. Remarquons que les étiquettes ne jouent auun rle dans le jeu mais elles nous serontutilespourexprimerdespropriétésdesesjeuxenlogiquemonadiquedans lesous-paragraphe 1.4.5.3.

Une partie est un hemin ni ouinni dans legraphe

G

.Une partienie

π

à partird'un sommet

u∈V

G jusqu'à un sommet

v ∈V

G est gagnée par lejoueur

i

si

v

appartient à

V

_1−i et si le degré sortant de

v

est égal à

0

. Une partie innie

(u

_j

a

_j

)

j∈_N est gagné par le joueur

0

(resp. le joueur

1

) si le plus petit nombre apparaissant innimentsouvent dans

(p

uj

)

j≥N est pair (resp. impair).

Une stratégie

Φ

pour le joueur

i

est une fontion partielle de l'ensemble des hemins nis sur

G

terminant dans

V

_i et à valeur dans

V

_1−i telle que pour tout hemin ni

π

terminant en

v ∈ V

_i appartenant à Dom

(Φ)

,

(v,a,Φ(π)) ∈G

pour unertain

a∈Λ

G.Unepartienie

u

0

a

1

u

1

. . . a

n

u

n suitlastratégie

Φ

sipourtout

j ∈[1,n]

,

v

_j

∈ V

_i−1 implique

v

_j

= Φ(π

_j

)

où

π

_j

=u

₀

a

₁

. . . u

_j−1. Unepartie innie suit la stratégie

Φ

si tous ses préxes nis suivent

Φ

.

Une stratégie

Φ

pour le joueur

i

est positionnelle si elle ne dépend que du dernier sommet du hemin (i.e. pour tous hemins nis

π

et

π

^′ terminant en

v ∈V

_i,

Φ(π) = Φ(π

^′

)

).Unestratégiepositionnellepourlejoueur

i

est entièrement déritepar une fontionpartielle de

V

i dans

V

i−1.

Une stratégie

Φ

pour le joueur

i

est gagnante à partir de

u ∈ V

G si toute partieommençant en

u

etsuivant

Φ

est gagnéepar le joueur

i

. Nousdirons que lejoueur

i

gagne

G

depuis

u

s'ilexiste une stratégiegagnante pour

i

à partir de

u

. Larégion gagnante du joueur

i

, notée

W

i,est l'ensembledes sommetsde

G

à partirdesquelslejoueur

i

gagnelejeu.D'après[Mar75℄,nous savonsquelesjeux de parité sont déterminés(i.e.

V

_G

=W

₀

∪W

₁).

Lapropriétéfondamentaledes jeuxde paritéest qu'ilspeuventêtregagnésen utilisant uniquement des stratégies positionnelles. Ce résultat a été obtenu par Mostowskidans [Mos91℄ et par Emmerson et Julta dans [EJ91℄.

Théorème 1.4.5. Pour tout jeude parité

G

et pourtout

u∈V

G, le joueur

0

ou le joueur

1

possède une stratégie positionnelle gagnante à partir de

u

.

1.4.5.2 Lien ave les automates d'arbres à parité

Ce sous-paragraphe est adapté de [Wal02℄. À partir d'un automate d'arbres à parité

A

et d'un arbre déterministe

t

, nous onstruisons un jeu de parité

G

t

A

tel que le joueur

0

gagne le jeu à partir du sommet

u

₀ si et seulement si

A

aepte

t

. Considérons un automate d'arbres à parité

A = (Q,I,∆,Ω)

sur les

(Σ,C)

-arbres déterministes et un arbre déterministe

t

sur

(Σ,C)

. Soit

N ≥ 0

tel que

Ω(Q)⊆[0,N]

.

Considérons le jeu de parité

G

^t_A étiqueté par l'ensemble

Σ∪∆

et oloré par

{0,1,p

0

, . . . ,p

N

}

.

G

^t_A

= {((q,u),δ,(δ,u))∈V

0

×∆×V

1

|δ= (q,f)}

∪ {((δ,u),a,(q,ua))∈V

₁

×Σ×V

₀

|δ= (p,f),a∈

Dom

(f)

et

q=f(a)}

∪ {(p

_i

,v),(0,v)|v = (q,u)∈V

₀

∩V

_Gt A et

i= Ω(q)}

∪ {(p

i

,v),(1,v)|v = ((q,f),u)∈V

1

∩V

_Gt A et

i= Ω(q)}

où

V

₀

= Q×

Dom

(t)

et

V

₁

= {(δ,u) | δ = (q,f),∀aΣ,ua ∈

Dom

(t) ⇔ a ∈

Dom

(f)} ⊆

Dom

(t)×∆

.

Par onstrution, le joueur

0

gagne

G

^t_A depuis

(q

0

,ε) ∈ V

G si et seulement si

A

aepte

t

. Plus préisément, toute stratégie positionnelle

Φ

pour le joueur

0

depuis

(q,ε)

(resp. depuis

(δ,ε)

) induit une exéution aeptante de

A

sur

t

ommençant par

q

(resp. par

δ

) telle

Φ(ρ(u),u) = (Φ

ρ

(u),u)

et vie-versa.

Une onséquene du théorème 1.4.5 est que nous pouvons restreindre notre attentionauxexéutionsrégulièresdesautomatesd'arbresàparité.Uneexéution

ρ

d'unautomate

A

surunarbre

t

estrégulière sipourtousn÷uds

u

et

v

diérents de la raine

ε

,

t

_/u

≈ t

_/v et

ρ(u) =ρ(v)

implique

Φ

ρ

(u) = Φ

ρ

(v)

. La proposition suivanteest tirée de [Wal02℄.

Lemme 1.4.6 ([Wal02℄). Si un automate d'arbres à parité aepte un arbre

t

alors il existe une exéution aeptante régulière de

A = (Q,I,∆,Ω)

sur

t

. Plus préisément,pourtoutetransition

δ∈∆

,s'ilexisteuneexéutionaeptantede

A

ommençant par

δ

alors il existe une exéution aeptante régulière ommençant par

δ

.

Démonstration. Considéronsla relationd'équivalene

R

surDom

(t)

déniepour tout

u,v ∈

Dom

(t)

par

(u,v) ∈ R

si et seulement si

t

_/u

≈ t

_/v. Pour tout

v =

(q,u) ∈ V

0, nous noterons

[v]

R

= (q,[u]

R

)

et pour tout

v = (δ,u) ∈ V

1, nous noterons

[v]

R

= (δ,[u]

R

)

.

Le quotient de

G

t

A par

R

est lejeu

G

t A.

G

^t_A

= {([u]

R

,a,[v]

R

)|(u,a,v)∈G

^t_A

}

∪ {(c,[u]

R

)|(c,u)∈G}

Pour tout

v ∈V

_Gt A

, le joueur 0 gagne

G

^t_A depuis

v

si etseulement si il gagne

G

t

A depuis

[v]

R. En eet, le dépliage de

G

t

A depuis

v

est isomorphe au dépliage de

G

^t_A depuis

[v]

R.

Supposons qu'il existe une exéution aeptante de

A

sur

t

depuis

δ

₀. Le joueur

0

gagne

G

^t_A depuis

(δ

₀

,ε)

et donil gagne

G

t

A depuis

(δ

₀

,[ε]

_R

)

. Soit

Φ

une stratégiegagnante positionnelle sur

G

t

A pour lejoueur

0

à partir de

(δ

₀

,[ε]

R

)

(f. théorème 1.4.5).Cettestratégieinduitune exéutionaeptanterégulière

ρ

de

A

sur

t

quisatisfait

Φ

ρ

(ε) = δ

0 etpour tout

u6=ε

,

Φ

ρ

(u) =δ

ave

Φ((ρ(u),[u]

R

)) =

(δ,[u]

R

)

. Par dénition de

R

,

ρ

est une exéutionrégulière.

1.4.5.3 Lien ave MSO

Dans [Wal02℄,l'auteur établit quela région gagnante pour le joueur

i

sur un jeu

G

est dénissable en logique monadique.

Proposition 1.4.7. Pour tout jeu

G

, la région gagnante du joueur

0

(resp. joueur

1

) est dénissable en logique monadique.

Si legraphe dénissant le jeuest déterministe,nous pouvons aner e résul-taten donnant une formulequi exprime l'existene d'une stratégie positionnelle gagnante. Comme

G

estdéterministe,une stratégiepositionnellepour lejoueur

i

est déritepar une fontion de

V

i dans

Λ

G

={a

1

, . . . ,a

n

}

.Une famille

(U

j

)

j∈[1,n]

de sous-ensembles deux à deux disjointsde

V

_G dénit une stratégiepositionnelle pour le joueur

i

si l'union des

U

j est égale à

V

i et si pour tout

u ∈ U

j, il existe

v

u

∈V

G telque

(u,a

j

,v

u

)∈G

.Lastratégiepositionnelleassoiée

Φ

estdéniepar

Φ(u) = v

_u. Comme

G

est déterministe, la logique monadique est équivalente à lalogique monadique gardée:un enrihissement de lalogique monadique oùl'on autoriselaquantiationsurlesensemblesd'ars[Cou03℄.Uneonséquenede e résultat est que nous pouvons exprimer en logique monadique l'existene d'une stratégie positionnelle gagnante à partir d'un sommet donné. Un onstrution expliite de ette formuleest donnée dans [Ca03a, p. 17℄.

Proposition1.4.8. Pourtoutjeu déterministe

G

étiquetépar

Λ

G

={a

1

, . . . ,a

n

}

et oloré

Θ

G

= {0,1,p

0

, . . . ,p

N

}

et pour tout

i ∈ {0,1}

, il existe une formule monadique

Ψ

i

(x,X

₁

, . . . ,X

_n

)

telle quepour tout

u∈V

_G et pour tout

U

₁

, . . . ,U

_n

⊆

V

G,

G |= Ψ

i

[u,U

1

, . . . ,U

n

]

si et seulement si les ensembles

U

1

, . . . ,U

n dénissent une stratégie positionnelle

Φ

pour le joueur

i

gagnante à partir de

u

.

Dans le document Automates infinis, logiques et langages (Page 33-36)