Complexité de la déterminisation - Aepteurs nis déterministes

4.4 Aepteurs nis déterministes

4.4.2 Complexité de la déterminisation

Nousommençonsparanalyser laomplexitéde latransformationd'un auto-mate sur

Γ

k+1 en un automate déterministe et omplet sur

Γ

k+1 ave tests dans Ratk qui aété présentée dans le orollaire4.4.9.

Nousintroduisonspourelalanotiond'automateentièrement déterministeet omplet sur

Γ

k. Au niveau

1

, un automate entièrement déterministe et omplet sur

Γ

1 est simplement un automate déterministe et omplet sur

Γ

. Au niveau

k+ 1≥2

, un automate entièrement déterministeet omplet sur

Γ

k+1 est donné par un ouple

(A,(A

)

_i∈[1,n]

)

où

(A

)

_i∈[1,n] est une suite d'automates entièrement déterministeset omplets sur

Γ

k et où

A

est un automate réduitdéterministe et omplet sur

Γ

k+1 ave tests dans

{S(B

) | i ∈ [1,n]}

dont la dénition ne fait pas intervenir lafontion

µ

.Lelangageaepté par l'automateest simplementle langageaepté par

A

etla taillede l'automateest lasomme de lataillede

A

et de la tailledes

B

_i.

Auniveau

1

,latransformationd'unautomatesur

Γ

1 enunautomate détermi-nisteetompletsur

Γ

1est réalisableentemps

exp[1](|A|)

(f.théorème4.2.1etla méthode des sous-ensembles). Pour un automatealternantsur

Γ

1,la transforma-tionen unautomatedéterministeetompletsur

Γ

1 estdoublementexponentielle en le nombre d'états de l'automate alternant sur

Γ

1. Unepremière exponentielle vientde latransformationde l'automateen un automate réduitsur

Γ

(f. propo-sition 4.3.31)et ladeuxième vient de la déterminisationde l'automate sur

Γ

Auniveau

k+1≥2

,latransformationd'unautomatesur

Γ

_k₊₁enunautomate entièrementdéterministeetompletest réalisableen temps

exp[k+ 1](|A|)

.Pour lesautomatesalternantssur

Γ

k+1,ettetransformationpeut s'eetuer en temps

d'exponentiation 9

(f. théorème 4.4.15) et que ette omplexité est une borne inférieurepourlahauteur delatourd'exponentielle(f.proposition4.4.19).Pour ela,noustransformonsdiretementunautomatealternantsur

Γ

kenunautomate entièrementdéterministe etomplet sur

Γ

_k.

4.4.2.1 Au niveau 1

Nousdonnons une onstrutionpermettant de transformer un automate

A=

(Q

,I

,∆

)

alternant sur

Γ

1 en un automate déterministe et omplet sur

Γ

en temps

exp[1](|Q

|)

Sipourtoutepile

s∈Stacks

(Γ)

,nous notons

X

_s l'ensembledes états

q∈Q

tel qu'il existe un alul de

A

partant de la pile

s

dans l'état

q

(i.e.

X

= {q ∈

Q

| s ∈ S

(A)}

). Il est aisé de vérier que pour tout

γ ∈ Γ

et pour toute pile

s∈Stacks

(Γ)

X

_sγ est entièrement déterminépar

γ

X

_s.

Nous pouvons alors dénir un automate

B = (Q

,I

,F

,∆

)

déterministe et omplet en prenant

Q

= 2

I

= {X

_{[ ]}₁

}

F

={Q ⊆ Q

| Q∩I

6= ∅}

. L'ensembledes transitions

∆

B est déni par:

∆

={X

−→

^γ

X

_sγ

|s∈Stacks

(Γ)

γ ∈Γ}.

Il vient immédiatement que

B

aepte le même langage de piles que

A

. Cette onstrutionn'estependant pas eetive.Laproposition4.4.11établitque l'au-tomate

B

peut être onstruit à partir de

A

en temps

exp[1](|A|)

.Le pointlé de ette onstrutionest donnépar lelemme tehnique suivant.

Lemme 4.4.10. Pour tout automate

A = (Q

,I

,∆

)

alternant sur

Γ

1, tout

γ ∈Γ

, tout

Q⊆Q

_A et pour tout

q∈Q

_A, on a:

soit pour tout

s∈Stacks

(Γ)

X

=Q

implique

q∈X

_sγ, soit pour tout

s∈Stacks

(Γ)

X

=Q

implique

q6∈X

_sγ. De plus, nous pouvons en déider en temps

exp[1](|A|)

Démonstration. Soient

A = (Q

,I

,∆

)

alternant sur

Γ

₁,

Q

₀

⊆Q

_A,

q

₀

∈ Q

_A et

γ

∈Γ

.Nous allonsadapter laonstrution de lapreuve de laproposition4.3.25 pour onstruire un automate

B

alternant réduit sur

Γ

1 tel que pour toute pile

s∈Stacks

₁

(Γ)

ave

X

=Q

₀,

sγ

₀

∈ S(B)⇔ q

₀

∈X

_sγ₀

.

Nous reprenons don la onstrution de l'automate alternant réduit

B =

(Q

,I

,∆

)

sur

Γ

1 orrespondant à l'automate

A

, présentée dans la proposi-tion 4.3.25. La seule variation onerne l'ensemble des états initiaux

I

_B. Nous 9.Exepté bien entendu la omplexité de la transformation d'un automate sur

Γ

₁ en un automatedéterministeetompletsur

Γ

.Ilestbienonnuqueladéterminisationdesautomates sur

Γ

estexponentielledanslepireas.

prenons:

I

={(γ

,f,∅,R

^↓

)|R

^↓

⊂Q

×Q

,q

∈

Dom

(f)

γ0

−→

(

Dom

(f))⊆Q

}.

Uneadaptationimmédiatede lapreuvede laproposition4.3.25 établitque

B

satisfait la propriété annonée. Comme nous ne nous intéressons qu'au ompor-tement de

B

sur des piles

s ∈ Stacks

₁

(Γ)

telles que Last

(s) = γ

₀, nous pouvons supprimer toutes les transitions de

B

ontenant une instrutiondans

Γ

ou l'ins-trution

⊥

₁.Il s'ensuitdonque

S(B)

est soitvide,ousoitégalà

Stacks

(Γ)

.De plus,nouspouvonstesterlevidedulangageaeptépar

B

O(|B|)

[CDG

℄.

Enutilisante lemme,nouspouvons onstruirel'automate

B

en temps expo-nentielpar rapportau nombre d'états de

A

Proposition 4.4.11. Pour tout automate

A

alternant sur

Γ

1, il existe un auto-mate

B

déterministe et omplet sur

Γ

tel que

S(A) =S(B)

. De plus, l'automate

B

peut être onstruit en temps

exp[1](|Q

|)

Démonstration. Par laproposition 4.3.55et par laproposition4.3.53, nous pou-vonsaluler

X

_{[ ]}₁ entemps

exp[1](|Q

|)

.Parlelemme4.4.10,nouspouvons,pour tout

Q ⊆ Q

_A et pour tout

γ ∈ Γ

, aluler en temps

exp[1](|Q

|)

l'ensemble

Q

_γ

des états

q

tels que pour toute pile

s ∈ Stacks

(Γ)

X

= Q

implique

q ∈ X

sγ . L'ensemble des transitions

∆

B est don égal à

∆

={(Q,γ,Q

_γ

)|Q⊆Q

_A et

γ ∈Γ}.

L'automate

B

est onstrutible en

exp[1](|Q

|)

et est par onstrution déter-ministe et omplet. Par réurrene sur la longueur de la pile en utilisant le lemme 4.4.10, nous établissons que, pour toute pile

s ∈ Stacks

(Γ)

, il existe un alulde

B

partant de lapilevide

[ ]

₁ dans l'étatinitialet arrivant

s

dans un état

Q

siet seulement si

X

=Q

. Il en déoule don que

S(A) =S(B)

4.4.2.2 Aux niveaux supérieurs

Nous allons adapter le prinipe de la preuve de la proposition 4.4.11 aux niveaux supérieurs.

Rappelons qu'au niveau 1,

X

_sγ ne dépend que de

X

_s et de

γ

pour

s ∈

Stacks

(Γ)

γ ∈Γ

. Auniveau

k+ 1 ≥2

,nous montrons, dans lelemme 4.4.12, quepour touteinstrution

γ ∈Γ

∪ {k}

etpour toutepile

s∈Stacks

k+1

(Γ)

telle que

γ¯ 6=

Last

(s)

,si lapile

s

^′

=R(γ)(s)

est dénie alors

X

_s′ ne dépend que de de

X

s, de

γ

et de

top

(s)

,. Cette dépendane est expliitée par lelemme tehnique suivant.

Lemme 4.4.12. Pour tout automate

A

alternant sur

Γ

_k₊₁, tout

Q ⊆ Q

_A, pour tout

q ∈ Q

A et toute instrution

γ ∈ Γ

∪ {k}

, il existe un automate

A

^γ_Q,q

alternant sur

Γ

k tel que pour toute pile

s ∈ Stacks

k+1

(Γ)

ave Last

(s) 6= ¯γ

X

=Q

s

^′

=R(γ)(s)

dénie, nous avons:

q∈X

s′

⇔top

(s

^′

)∈ S(A

^γ_Q,q

).

De plus,

A

^γ_Q,q peut être onstruit en temps

exp[1](|Q

|)

Démonstration. Soient

A = (Q

,I

,∆

)

un automate alternant sur

Γ

k+1,

Q

⊆

Q

_A,

q

₀

∈Q

_A et

γ

₀

∈Γ

∪ {k}

Dans un premier temps, nous adaptons la onstrution de la preuve de la proposition 4.3.25 pour onstruire un automate

B

alternant réduit sur

Γ

_k₊₁ tel que pour toute pile

s ∈ Stacks

k+1

(Γ)

ayant Last

(s) 6= γ

X

= Q

0 et ave

s

^′

=R(γ)(s)

dénie,nous avons:

q

₀

∈X

_s′

⇔s

^′

∈ S(B).

Nous reprenons don la onstrution de l'automate alternant réduit

B =

(Q

,I

,∆

)

sur

Γ

k+1 orrespondant à l'automate

A

présentée dans la propo-sition 4.3.25. La seule variation onerne l'ensemble des états initiaux

I

B; nous prenons:

I

={(γ

₀

,f,∅,R

^↓

)|R

^↓

⊂Q

×Q

,q

₀

∈

Dom

(f)

γ0

−→

(

Dom

(f))⊆Q

₀

}.

Uneadaptationimmédiatede lapreuvede laproposition4.3.25établitque

B

satisfait la propriété annonée. Comme nous ne nous intéressons qu'au ompor-tementde

B

sur des piles

s ∈Stacks

_k₊₁

(Γ)

telles queLast

(s) = γ

₀,nouspouvons supprimer toutes lestransitions de

B

ontenant lesinstrutions

k

⊥

k+1.

L'automate

A

^γ0

Q0,q0 alternantsur

Γ

k est obtenuen remplaçantles ourrenes del'instrution

k

par

ε

dans

B

.Parlaproposition4.1.3,

S(A

^γ0

Q0,q0

) = top

(S(B))

. L'automate

A

^γ0

Q0,q0 satisfait don la propriété annonée.

Le lemme préédent traite le as des piles non-vides (i.e. Last

(s) 6= ε

). Le lemme suivant ouvre le as de la pilevide

[ ]

_k₊₁ et est obtenu en ombinant la proposition 4.3.25 etle lemme4.3.40.

Lemme 4.4.13. Pour tout automate

A

alternant sur

Γ

k+1 et pour tout

q ∈Q

_A, il existe un automate

A

q alternant sur

Γ

k tel que:

[ ]

_k₊₁

∈ S

(A) ⇔ [ ]

∈ S(A

^ε_q

).

En utilisantles deux lemmes préédents, nous pouvons onstruire, pour tout automate alternant sur

Γ

k+1, un automate déterministe et omplet ave tests dans Altk

∪

Alt

k aeptant lemême langage.

Proposition 4.4.14. Pour tout

k ≥ 1

et tout automate

A

alternant sur

Γ

k+1, il existe un automate

B

équivalent, déterministe et omplet sur

Γ

k+1 ave tests dans

L ∪ L

où

L

est un ensemble ni d'éléments de Altk

(Γ)

Deplus, lestaillesde

B

etde

L

sontbornées par

exp[1](|Q

|)

ethaque

L∈ L

est aepté par un automate

A

_L alternant sur

Γ

k de taille bornée par

exp[1](|Q

|)

. Tous es éléments sont onstrutibles en temps

exp[1](|Q

|)

Démonstration. Soit

A= (Q

,I

,∆

)

unautomatealternantsur

Γ

_k₊₁.Pourtout

Q⊆Q

q ∈Q

A et

γ ∈ Γ

∪ {k}

, nous noterons

A

^γ_Q,q l'automate satisfaisant la propriétéénonéeparlelemme4.4.12etnousnoterons

A

q l'automatesatisfaisant lapropriété énonée par le lemme4.4.13.

Nousprenons

L={S(A

^γ_Q,q

)|Q⊆Q

,q∈Q

Aet

γ ∈Γ

∪{k}}∪{S(A

^ε_q

)|q ∈

Q

}

.Nousdénissonsl'automate

B = (2

Q_A

×(Γ

∪{k,ε}),2

Q_A

×{ε},F

,µ

,∆

)

déterministe et omplet ave tests dans

L ∪ L

aeptant

S(A)

. L'ensemble des états naux

F

_B est égal à

{(P,γ) ⊆ 2

× (Γ

∪ {k,ε}) | P ∩I

6= ∅}

. L'ap-pliation

µ

_B est dénie pour tout

(Q,ε) ∈ I

_B par

µ((Q,ε)) = {T

_S^k₍⁺¹_Aε

| q ∈

Q} ∪ {T

_S^k₍⁺¹_Aε

|q 6∈Q}

. Enn, l'ensemble des transitions est déni par:

{(P,γ

^′

)−→

^γ

(Q,γ),T |P,Q⊆Q

,γ

^′

∈Γ

o k

∪ {k,ε},γ ∈Γ

o k

∪ {k},γ

^′

6= ¯γ,

T ={T

_S^k₍⁺¹_Aγ P,q)

|q ∈Q} ∪ {T

_S^k₍⁺¹_Aγ P,q)

|q6∈Q}}

Par onstrution, l'automate

B

est réduit,déterministe et ompletsur

Γ

k+1. En partiulier, il existe un unique état

(I

,ε) ∈ I

B tel que

[ ]

∈

Dom

(µ

((I

,ε)))

(i.e.

I

₀

= {q ∈ Q

| [ ]

∈ S(A

)}

par le lemme 4.4.13). Pour toute pile

s ∈

Stacks

k+1

(Γ)

,ilexiste un alulde

B

partantdelapilevide

[ ]

_k dans l'état

(I

,ε)

etarrivanten

s

dans l'état

(Q,γ)

sietseulementsi

X

=Q

etLast

(s) =γ

. Cette propriété est établie par une réurrene immédiate sur la longueur de la suite réduite de

s

. Nousavons don

S(A) =S(B)

Le théorème i-dessous donne une omplexité améliorée pour la transforma-tion des automatesalternantset non-alternantssur

Γ

k en des automates entière-ment déterministes et omplets sur

Γ

_k équivalents. Nous verrons dans la propo-sition 4.4.19 que ette omplexitéest minimalepour e qui est de lahauteur de latour d'exponentielles.

Théorème 4.4.15.

1. Au niveau

1

, pour tout automate

A

(resp. automate alternant) sur

Γ

1, on peut onstruire un automate entièrementdéterministeet ompletéquivalent à

A

en temps

exp[1]([A|)

(resp. en temps

exp[1](|Q

|)

2. Pour tout

k ≥ 1

et pour tout automate

A

(resp. automate alternant) sur

Γ

k+1, on peut onstruire un automate

B

entièrement déterministe et om-plet sur

Γ

k+1 équivalent à

A

en temps

exp[k](|A|)

(resp. en temps

exp[k+

1](|Q

|)

Démonstration. Au niveau 1, la proposition 4.4.11 établit la propriété pour les automatesalternantssur

Γ

1.Commeparlaproposition4.3.14,ilexiste une trans-formationpolynomialedes automates sur

Γ

1 en des automates alternants sur

Γ

équivalents, la propriété est aussi établie pour lesautomates sur

Γ

Nousallonsétablir,parréurrene surleniveau

k

,l'existene d'une onstru-tion prenant un automate alternant sur

Γ

k et donnant un automate équivalent entièrementdéterministeetompletsur

Γ

k etquitermineentemps

exp[k](|Q

|)

. Le as de base a été établi dans la proposition 4.4.11. Passons à l'étape de ré-urrene. Soit

A = (Q

,I

,∆

)

un automate alternant sur

Γ

k+1. Par la propo-sition 4.4.14, nous pouvons onstruire un automate équivalent

B

déterministe et omplet ave tests dans

L ∪ L

ave

L ⊂

Altk

(Γ)

et où

|L|

est borné par

exp[1](|Q

|)

et où haque

L

est aepté par un automate

A

L alternant sur

Γ

k. Lesautomates

B

A

_Lsontonstrutibles en temps

exp[1](|Q

|)

.Parhypothèse de réurrene,nouspouvons onstruire,pour haque

L∈ L

,un automate

B

_L en-tièrementdéterministeet ompletsur

Γ

k équivalentà

A

L en temps

exp[k](|A

|)

. Par la proposition 4.4.4, nous pouvons onstruire en temps linéaire par rapport àla taillede

B

_L un automate, noté

B

entièrement déterministeet ompletsur

Γ

k aeptant leomplémentaire du langageaepté par

B

L'automate

A

est don équivalent à l'automate entièrement déterministe et omplet

(B,(B

)

L∈L

∪(B

)

L∈L

)

onstrutibleen temps

exp[k+ 1](|Q

|)

Nousallonsmaintenantétablirque,pourtout

k ≥2

,ilexisteuneonstrution prenant un automate sur

Γ

k+1 et donnant un automate équivalent entièrement déterministeet ompletsur

Γ

k etterminant en

exp[k](|A|)

Soit

A

un automate sur

Γ

_k₊₁ pour

k ≥1

. Enombinantleproposition4.3.48 et la proposition 4.4.5, nous pouvons onstruire un automate

B

déterministe et omplet ave tests dans

L ∪ L

ave

L ⊂

Altk où la taille de

L

est bornée par

exp[0](|A|)

etoùhaque

L∈ L

est aepté par un automate

A

_L alternant sur

Γ

dont le nombre d'états est polynomial en la taillede

A

. De plus, les automates

B

A

_L peuvent être onstruits en temps

exp[1](|A|)

Parequipréède,nouspouvonsonstruire,pourhaque

L∈ L

,unautomate

B

L entièrement déterministeet ompletsur

Γ

k qui aepte lemême langage que

S(A

)

en temps

exp[k](|A|)

. Par la proposition 4.4.4, nous pouvons également onstruire un automate

B

entièrement déterministe et omplet sur

Γ

_k qui a-epte le omplémentaire de

S(B

)

en temps linéaire par rapport à la taille

B

L. Nous pouvons don onstruire l'automate

(B,(B

)

L∈L

∪(B

)

L∈L

)

entièrement déterministeet ompletsur

Γ

k+1 qui aepte

S(A)

en temps

exp[k](|A|)

Remarque 4.4.16. Lesautomatesentièrementdéterministesetompletssur

Γ

orrespondantauxautomates

A

(resp.automatesalternants

B

)sur

Γ

konstruits danslethéorèmepréédentsonttelsquelatailledetouslesensemblesdelangages de tests apparaissant dans es automates est bornée par

exp[k −2](|A|)

(resp.

exp[k−1](|Q

|)

Nous onluons e sous-paragraphe en donnant la omplexité des opérations booléennes sur lesensembles de Ratk

(Γ)

quand ilssont représentés pardes auto-mates entièrementdéterministes etomplets sur

Γ

Proposition 4.4.17. Pour tout automate

A

B

entièrement déterministes et omplets sur

Γ

k, les propositions suivantes sont satisfaites:

1. l'union des langages aeptés par

A

B

est aeptée par un automate

C

entièrement déterministe et omplet de taille

|A| · |B|

2. l'intersetiondeslangagesaeptés par

A

B

est aeptéepar unautomate

C

entièrement déterministe et omplet de taille

|A| · |B|

3. leomplémentairedu langageaepté par

A

est aepté par un automate

C

entièrement déterministe et omplet de taille

|A|

Démonstration. Lapreuveproèdepar réurrenesurleniveau

k

des automates. Cas

k = 1

. Ces propriétés sont bien onnues (voirpar exemple[HU79℄).

Etapederéurrene.Soit

(A,(A

)

i∈[1,n]

)

(B,(B

)

i∈[1,m]

)

deuxautomates entiè-rementdéterministesetompletssur

Γ

_k₊₁.Nousnoterons

A= (Q

,I

,F

,µ

,∆

)

B = (Q

,I

,F

,µ

,∆

)

.Nous allons dénir un automate

C = (C,(A

)

i∈[1,n]

∪

(B

)

i∈[1,m]

)

entièrementdéterministeetompletave

Γ

k+1 aeptant

S(A)∩S(B)

. Pour ela, nous dénissons l'automate

C= (Q

,I

,F

,µ

,∆

)

en prenant

Q

=

Q

×Q

I

=I

×I

B et

F

=F

×F

B.L'appliation

µ

C est déniepour tout

(i

,i

)∈I

_C par

µ

((i

,i

)) = µ

(i

)∪µ

(i

)

. Enn,l'ensembledes transitions

∆

C est dénipar:

{(p

,p

)−→

^γ

(q

,q

),T

∪T

|p

A γ

−→q

,T

∈∆

A et

p

B γ

−→q

,T

∈∆

}.

Il est aisé de montrer que omme

A

B

sont déterministes etomplets,

C

l'est aussi. De plus par onstrution,

C

aepte

S(A)∩ S(B)

Pour l'union,il sutde remplaer,dans laonstrutionpréédente, la déni-tion de

F

_C par

F

= (F

×Q

)∪(Q

×F

)

Pourleomplémentaire,ilsutommenousl'avons déjàvude omplémenter l'ensembledes états naux (f. proposition 4.4.4).

La proposition suivante étudie le problème de l'appartenane des automates entièrement déterministeset omplets.

Proposition4.4.18. Le problème del'appartenanepour lesautomates entièr e-ment déterministes et omplets sur

Γ

k+1 peut être résolu en temps polynomial.

Démonstration. Avant d'établir lapropriété, ommençons par montrer que nous pouvons déider si une séquene d'instrutions

ρ∈ (Γ

)

∗

est telle que

R(ρ)([ ]

)

soit dénie. Pour ela nous dénissons la fontion partielle

Suites

k de

Γ

^∗_k dans

Π

_ℓ∈[1,k]

Γ

∗

ℓ. Cettefontionpartielleest déniepar réurrene sur lalongueur de la suite

ρ

en prenant

Suites

(ε) = (ε, . . . ,ε)

etpour tout

ρ∈ Γ

∗

k et

γ ∈ Γ

k tels que

Suites

(ρ)

est dénie et est égale à

(ρ

^′₁

, . . . ,ρ

^′_k

)

, nous dénissons

Suites

(ργ)

par disjontionde as sur

γ

Cas

γ =⊥

_ℓ

∈Γ

k. Lafontion

Suites

(ργ)

est déniesi

ρ

^′_ℓ

=ε

etdans e as est égale à

Suites

(ρ)

Cas

γ = ¯γ

. La fontion

Suites

(ργ)

est dénie si

ρ

^′₁

(|ρ

^′₁

|) = ¯γ

et dans e as est égale à

(ρ

^′′₁

,ρ

^′₂

γ, . . . ,ρ

^′_k

γ)

où

ρ

^′′₁

=ρ

^′₁

(1)· · ·ρ

^′₁

(|ρ

^′₁

| −1)

Cas

γ = Γ

. La fontion

Suites

(ργ)

est dénie etest égale à

(ρ

^′₁

γ, . . . ,ρ

^′_k

γ)

. Cas

γ =ℓ∈[1,k−1]

. Lafontion

Suites

(ργ)

est dénie.Elleest égaleauuplet

(ρ

₁

, . . . ,ρ

)

où pour tout

i≤ℓ

ρ

=ρ

^′_i etpour tout

i > ℓ

ρ

=ρ

^′_i

ℓ

Cas

γ = ¯ℓ

pour

ℓ∈[1,k−1]

Suites

(ργ)

est dénie si

ρ

^′_ℓ₊₁

(|ρ

^′_ℓ₊₁

|) = ℓ

. Dans e as, elle est égale à

(ρ

₁

, . . . ,ρ

)

où pour tout

i ≤ ℓ

ρ

= ρ

^′_i,

ρ

_ℓ₊₁

=

ρ

^′_ℓ₊₁

(1), . . . ,ρ

^′_ℓ₊₁

(|ρ

^′_ℓ₊₁

| −1)

et oùpour tout

i > ℓ

ρ

=ρ

^′_i

γ

Une réurrene immédiate sur la longueur de

ρ

établit que pour toute suite d'instrutions

ρ ∈ Γ

∗

Suites

(ρ)

est dénie si et seulement si

R(ρ)([ ]

)

l'est. De plus, si

s = R(ρ)([ ]

)

alors

Suites

(ρ)

est égal à

(ρ

₁

, . . . ,ρ

)

où pour tout

ℓ ∈ [1,k]

ρ

_ℓ est la suite réduite de

top

_ℓ

(s)

. Il suit que nous pouvons déider en temps polynomialsi une suite

ρ∈Γ

∗

k est telle que

R(ρ)([ ]

)

soitdénie.

Nous allons maintenant démontrer la propriété annonée. Pour ela, nous proédonsenore une fois par réurrene sur le niveau

k

Cas

k = 1

.La propriété est triviale.

Etapederéurrene.Ilnousfautonstruireunalgorithmequiprenantenentrée une pile

s ∈ Stacks

k+1

(Γ)

(dérite par sa suite réduite d'instrutions

ρ

_s) et un automate

(A,(A

)

i∈[1,n]

)

entièrement déterministe et omplet sur

Γ

k+1 ave

A =

(Q

,I

,F

,µ

,∆

)

déidesi

s ∈ S(A)

.L'algorithmealulepar réurrene sur la longueurdelasuiteréduite

ρ

l'uniqueétat

q

ρtelque

A

admetteun alulpartant dansunétatinitialdelapilevidede niveau

k

etarrivanten

R(ρ)([ ]

)

dansl'état

q

ρ. Pour la suite vide

ε

, il sut de déider pour tout

i ∈ [1,k]

[ ]

_k appartient à

S(A

)

. Par hypothèse de réurrene, nous pouvons ainsi déterminer l'unique état

q

_ε tel que

[ ]

∈ S(A

)

pour tout

T

_S^k₍⁺¹_Ai₎

∈ µ(q

_ε

)

. Supposons que nous avons alulé

q

ρ, montrons omment aluler

q

γ

pour

γ ∈ Γ

k. Nous ommençons par aluler

Suites

(ργ) = (ρ

₁

, . . . ,ρ

_k₊₁

)

quiestnéessairementdéniear

R(ργ)([ ]

)

est dénie. L'état

q

_ργ est l'unique état telque

q

_ρ

−→

^γ

q

_ργ

,T ∈∆

_A et telque pour tout

T

_S^k₍⁺¹_Ai₎

∈T

,lapile

top

(R(ργ)([ ]

))

de suiteréduite

ρ

k appartienneà

S(A

)

. Par hypothèse de réurrene,

q

_ργ peut être alulé en temps polynomial. Nous pouvons don déideren temps polynomialsi

s∈ S(A)

Uneonséqueneimmédiatedelapropositionpréédenteestqueles omplexi-tés présentées dans lethéorème 4.4.15 sont minimalesen terme de la hauteur de latourd'exponentielles.Auniveau

1

,noussavonsdéjàquelepluspetitautomate déterministeetompletsur

Γ

équivalentàun automatesur

Γ

estdans lepireas exponentiellement plus grand que l'automate de départ. Comme les automates sur

Γ

sont des as partiuliers d'automatessur

Γ

1 et d'automatesalternants sur

Γ

₁ (f.proposition4.3.14),iln'existepasdetransformationpolynomialedes auto-matessur

Γ

1 (resp.desautomatesalternantssur

Γ

1)endesautomateséquivalents déterministeset ompletssur

Γ

Proposition 4.4.19. Pour tout

k ≥2

, il n'existe pas de proédure transformant les automates (resp. automates alternants) sur

Γ

k en des automates entièrement déterministesetompletssur

Γ

_kéquivalentsetterminantentemps

exp[k−2](|A|)

(resp.

exp[k−1](|Q

|)

Démonstration. Commençons par établir ette borne inférieure pour les auto-mates sur

Γ

k. Supposons par l'absurde qu'il existe un niveau

k

≥ 2

et une proéduretransformantlesautomates(resp.automates alternants)sur

Γ

k en des automatesentièrementdéterministesetompletssur

Γ

k équivalentsetterminant en temps

exp[k−2](|A|)

. Par la proposition 4.4.18, il existerait une proédure résolvantle problème de l'appartenane pour lesautomates sur

Γ

k terminant en temps

exp[k−2]

. Parla proposition4.3.55, ei ontredit lethéorème 4.3.54.

La preuve pour lesautomates alternantssur

Γ

k est une simpleadaptation du as préédent.

Nous venons de voir que le test d'appartenane peut être réalisé en temps polynomialpourlesautomatesentièrementdéterministesetompletsquelquesoit leurniveaualorsqu'ilest

(k−1)

foisexponentielpourlesautomatessur

Γ

k.Letest duvide,quidansleasdesautomatessur

Γ

k estaussidur(f.proposition4.3.55) queleproblèmede l'appartenane,reste oûteuxpour lesautomates entièrement déterministesetompletssur

Γ

k.Eneet, ommelemontrelapropriétésuivante, le test du vide des automates entièrement déterministes et omplets sur

Γ

k ne peut être réaliséen

exp[k−4](|A|)

Proposition 4.4.20. Pour

k ≥ 4

, il n'existe pas de proédure résolvant le pro-blème du test du vide des automates entièrement déterministes et omplets sur

Γ

k et terminant en temps

exp[k−4](|A|)

Démonstration. Pour établir ette borne inférieure, nous allons utiliser la borne inférieure sur la omplexitédu test du vide des automates sur

Γ

k rappelée dans le théorème 4.3.54.

Nous allonsonstruire pour toutautomate

A

sur

Γ

k, un automate

B

entière-mentdéterministeet ompletsur

Γ

k+1 ave

|B| ≤2

^|A|

telque

S(A)

est videsi et seulement si

S(B)

l'est.

L'automate

B

est obtenu en déterminisant et en omplétant l'automate

A

vu omme un automate sur le monoïde libre

Γ

k et en insérant une instrution

k

avant haque instrution de

A

. Ces insertions garantissent que l'automate sur

Γ

_k₊₁ obtenu est bien réduit. Comme

B

ne possède pas de langages de tests, la déterminisation et la omplétion dans le monoïde libre susent à garantir que l'automate

B

est entièrement déterministe et omplet. Par la proposition 4.1.3,

S(A) = top

(S(B))

Supposons par l'absurde que pour un ertain

k

≥4

, il existe une proédure déidant du vide des automates entièrementdéterministes et ompletssur

Γ

k et terminantentemps

exp[k

₀

−4](|A|)

Nouspouvonsdonenutilisantequipréède déiderdu vide des automate sur

Γ

k0−1 en temps

exp[k

−4](exp[1](|A|))

:e qui amènela ontradition ave le théorème 4.3.54.

Labornesupérieuresurlaomplexitéduvidedeesautomatesauniveau

k

est en

exp[k−1](|A|)

.Elleestdonnéeparlaproposition4.3.52etlaproposition4.3.53. Avantdeonlureesous-paragraphe,nousintroduisonsuneformenormalisée desautomatesentièrementdéterministesetompletssur

Γ

k.Cetteformevanous permettre de simplier les transformations présentées dans la suite et de nous permettre d'établirdes résultatsde omplexitéplus préis.

Dénition4.4.21. Unautomateentièrementdéterministeetompletsur

Γ

_k est ditnormalisésitoutautomate

(B,(B

)

i∈[1,n]

)

entièrementdéterministeetomplet sur

Γ

ℓ, ave

1 < ℓ ≤ k

B = (Q

,I

,F

,∆

)

, intervenant dans

A

est tel que pour tout

p,q ∈ Q

_B et tout

γ ∈ Γ

ℓ−1

∪ {ℓ |

}, il existe au plus une transition

p−→

^γ

q,T

_p,q appartenant à

∆

_B.

Tout automate entièrement déterministe et omplet sur

Γ

k est équivalent à un automate normalisé. Cei déoule immédiatement de la fermeture par union des Ratℓ pour

ℓ ≤ k

. Notons ependant que ette transformation est au moins exponentielle dans lepire as.

Remarque 4.4.22. Pour

k ≥ 1

, les automates entièrement déterministes et ompletssur

Γ

k orrespondants auxautomates alternantssur

Γ

k onstruits dans le théorème 4.4.15 sont normalisés. Remarquons que les automates entièrement déterministes et omplets sur

Γ

k pour

k ≥ 2

onstruits dans le théorème 4.4.15 ne sont pas normalisés.

Dans le document Automates infinis, logiques et langages (Page 149-158)