Automates normalisés

Dans e sous-paragraphe, nous présentons une notion d'aepteurs nis pour leslangagesdeRatk+1

(Γ)

baséesurlesrelationsdePRk

(Γ)

.Cesautomatesseront appelés automates normalisés de niveau

k+ 1

. Nous verrons que es automates admettent une notion naturelle de déterminisme et de omplétude et qu'ils per-mettent don de réobtenir les propriétés de lture de Ratk+1

(Γ)

. L'avantage de ettenotionest que,ontrairementàlanotion d'automatesréduitssur

Γ

k+1,elle ne fait pas apparaître expliitement les suites réduites des piles de niveau

k+ 1

.

Intuitivement,aulieude onstruire lespilesde niveau

k+ 1

en suivant leursuite réduite, es automates les onstruisent la suite de leurs piles de niveau

k

de la première à ladernière.

Dans le théorème 4.3.50, nous avons établi que les langages de Ratk+1

(Γ)

peuventêtredéritspardesensemblesrationnelsdesuitesd'instrutionsne onte-nantpasl'instrution

_k¯

sinousajoutonslesinstrutionsdetestsdansleslangages de Ratk

(Γ)

. Nousavons pour tout niveau

k ≥1

que:

Ratk+1

(Γ) = [

nie

Ratk

(Γ)·

Rat

(k·

Rat

(Γ

k

∪ T

Ratk(Γ)

)

^∗

)

^∗

.

Par leorollaire

S(

Rat

(Γ

k

∪ T

_Ratk(Γ)

)

^∗

) =

Ratk

(Γ)

,nous obtenons don

Ratk+1

(Γ) = [

nie

Rat

((copy

_k

·

PRk

)

^∗

)(

Ratk

(Γ)).

Nous en déduisons une notion d'automate ni étiqueté par Ratk

(Γ)

et par

copy

_k

·

PRk aeptant leslangagesde Ratk+1

(Γ)

. Au niveau

1

,un automate nor-malisé est simplementun automate étiqueté par

push

_Γ.

Dénition4.5.17. Pour toutniveau

k ≥1

,unautomate

A

normaliséde niveau

k+ 1

est unautomateni

(Q,I,F,∆)

étiquetéparRatk

(Γ)∪(k·

Rewk

(Γ))

telque:

lesétats initiaux

I

n'apparaissent pas omme but d'une transitionde

∆

, pour toute transition

p−→

^R

q∈∆

,

R∈

Ratk

(Γ)⇔p∈I

.

Unepile

s∈Stacks

k+1

(Γ)

estaeptéepar

A

s'ilexisteunaluldel'automate

A

de la forme:

i−→

^R

p

1 copy_k·P1

−→ p

2

. . . p

n−1 copy_k·Pn−1

−→ p

n

où

n≥1

,

i∈I

,

p

_n

∈F

,

i−→

^R

p

₁

∈∆

etpourtout

i∈[1,n−1]

,

p

_i ^copyk·Pi

−→ p

_i+1

∈∆

et que la pile

s

appartient à

(copy

_k

·P1·. . .copy

_k

P

_n−1

)(R)

. Le langage de piles de niveau

k+ 1

aepté par

A

sera noté

S(A)

.

Exemple 4.5.18. Considérons l'automate normalisé de niveau

2

sur

Γ = {a}

représenté dans la gure 4.9. Le langage de piles de niveau

2

aepté par

A

est l'ensemble:

S(A) = {[ [a

^p1

]. . .[a

^pn

] ]

₂

|n≥2, p

1

>· · ·> p

n

,

∀i∈[1,n−1],p

i

6=p

i+1

mod 2

et

p

n

= 0 mod 2}.

Remarque 4.5.19. Pour manipulersymboliquementun automate normaliséde niveau

k

, il nous fautxer une représentation pour les ensembles et lesrelations apparaissant dans sa dénition. Au niveau

1

, nous représenterons naturellement

i

p

q

a(aa)

^∗

(aa)

∗

1·R

₁

1·R

₂

Fig.4.9 Unautomate normalisédeniveau

2

où

R

₁ et

R

₂ appartiennentà Rew1

et sont respetivement égaux à

¯a

⁺

·T

_(aa)∗ et

¯a

⁺

·T

_a(aa)∗.

un automatenormaliséde niveau

1

par un automate niétiqueté par

Γ

. Pour un automatenormaliséde niveau

k ≥2

, lesensembles de Ratk−1

(Γ)

sontdonnéspar des automates réduits sur

Γ

_k−1 ave tests dans

T

Ratk−1(Γ) et les relations PRk−1

sont données par des unions nies d'éléments de Rewk−1 (f. théorème 4.5.12). Unélémentde Rewk−1 est représenté parun triplet

(A,B,C)

d'automatesréduits sur

Γ

_k−1 ave tests dans Ratk−1

(Γ)

quidénit l'élément

L(A)·TS

_(B)

· L(C)

.

Il est bien entendu possible de donnerune représentation symboliquedes au-tomatesnormalisésde niveau

k+ 1≥2

sansfaireintervenirlesautomatesréduits sur

Γ

_k ave tests dans Ratk

(Γ)

en le remplaçant par des automates normalisés de niveau

k

. Il faut ependant adapter légèrement la dénition des automates normaliséspour pouvoirdérireles ensembles deNormk apparaissantdans la dé-nition des éléments de Rewk. Pour ela, il sut de onsidérer dans e as des automates normalisésnon plus étiquetés par Ratk

(Γ)

et

copy

_k

·

PRk

(Γ)

mais par PRk

(Γ)

et

copy

_k

·

PRk

(Γ)

. Nous n'adoptons toutefois pas ette représentation pour simplierles preuves qui vont suivre.

Théorème 4.5.20. Pour tout automate

A

sur

Γ

k, il existe un automate nor-malisé

B

de niveau

k

aeptant

S(A)

. De plus, la taille de

B

est bornée par

exp[k−1](|A|)

.

Démonstration. Auniveau

1

,lapropriétéestimmédiate.Considéronsmaintenant un automate sur

Γ

_k pour un niveau

k ≥ 2

. Nous avons établi dans la proposi-tion 4.3.48 et dans le théorème 4.4.15, qu'il existe un automate réduit

B

sur

Γ

k

ave des tests dans un ensemble ni

L ⊂

Ratk−1

(Γ)

équivalent à

A

. De plus

|B|

et

|L|

sont bornés par

exp[0](|A|)

et haque langage

L ∈ L

est aepté par un automate

A

L entièrement déterministe et omplet sur

Γ

k−1 de taillebornée par

normalisé

C

de niveau

k

aeptant

S(A)

etde taille

exp[k−1](|A|)

.

Pour lesautomatesnormalisés de niveau

1

,les notionsde déterminismeetde omplétudeont déjàété présentées. Nousdirons qu'un automate

A= (Q,I,F,∆)

normaliséde niveau

k+ 1≥2

est ditdéterministe sil'ensembledesétatsinitiaux est réduit à un singleton et si pour tous états

p,q

₁

,q

₂

∈ Q

ave

q

₁

6= q

₂, tout

N

₁

,N

₂

∈

Ratk

(Γ)

etpour tout

P

₁

,P

₂

∈

PRk

(Γ)

,

(

p−→

^N1

q

1

∈∆

et

p−→

^N2

q

2

∈∆ ⇒ R

1

∩R

2

=∅

p

^copy

−→

^k·P1

q

₁

∈∆

et

p

^copy

−→

^k·P2

q

₂

∈∆ ⇒ P

₁

∩P

₂

=∅.

De même, nous dironsque

A

est omplet si pour tout

q∈Q\I

et

i∈I

,

( S

i−→^N p∈∆

N = Stacks

k

(Γ),

S

q^copy−→^k·Pp∈∆

P = Stacks

k

(Γ)×Stacks

k

(Γ).

En utilisant les propriétés de lture des relations PRk

(Γ)

et de Ratk

(Γ)

, nous obtenons par la méthode lassique des sous-ensembles la déterminisation des automates normalisés.

Proposition 4.5.21. Pour tout automate

A

normaliséde niveau

k

, il existe un automate

B

normalisé déterministe et omplet de même niveau aeptant

S(B)

. Démonstration. Au niveau

1

, la propriété est déjà bien onnue. Considérons un automate

A= (Q

A

,I

A

,F

A

,∆

A

)

normalisédeniveau

k+1≥2

.Commelesrelations dePRk sontlosespar union,nouspouvonssansperte degénéralitésupposer que pourtousétats

p

et

q∈Q

_A,ilexisteauplusunetransition

p−→

^Np,q

q

ou

p

^copy

−→

^k·Pp,q

q

dans

∆

A.S'iln'existepas detelle transition,nousprendrons

N

p,q

=∅

et

P

p,q

=∅

. Nous onstruisons un automate

B = (Q

_B

,I

_B

,F

_B

,∆

B

)

normalisé et détermi-niste de niveau

k

aeptant

S(A)

. L'ensembledes états

Q

B est égal à

2

Q_A

. L'en-semble des états initiaux

I

B est réduit au singleton

{I

A

}

. L'ensemble des états naux

F

_B est égal à

{Q ⊆ Q

_A

| Q∩F

_A

= ∅}

. Enn, l'ensemble des transitions

∆

B est déni i-dessous.

Pour tout

Q⊆Q

A,une transitionde la forme:

I

A NQ

−→Q∈∆

où

N

Q

=T

p∈Q

(S

i∈IA

N

i,p

) ∩ S

p∈(QA\Q)

(T

i∈IA

(N

i,p

)

)

. Pour tout

Q,Q

^′

⊆Q

_A,une transitionde laforme:

Q

^copy

−→

^k·NQ,Q′

Q

^′

∈∆

où

N

Q,Q′

=T

q∈Q

(S

q′∈Q′

P

q,q′

) ∩ S

q∈(QA\Q)

(T

q′∈Q′

(P

q,q′

)

)

.

CommePRk

(Γ)

etRatk

(Γ)

sontdes algèbredeBoole,

B

est bienunautomate normalisé. De plus par onstrution,

B

est déterministe et omplet. On vérie aisément que

S(B) =S(A)

.

Les automates normalisés de niveau

k

permettent de réobtenir au moyen de onstrutions naturelles les propriétés de lture des langages de Ratk

(Γ)

. En partiulier, le omplémentaire du langage aepté par un automate normalisé déterministe et omplet est obtenu en prenant le omplémentaire de l'ensemble des états naux.

Nousonluons e paragrapheen donnant laomplexitéde latransformation d'unautomatesur

Γ

_kenunautomatenormalisédéterministeetompletdeniveau

k

.

Théorème 4.5.22. Pour tout automate

A

sur

Γ

k, il existeun automate norma-lisé

B

déterministe et omplet de niveau

k

aeptant

S(A)

. De plus, la taille de l'automate

B

est bornée par

exp[k](|A|)

.

Dans le document Automates infinis, logiques et langages (Page 174-178)