Première partie

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/24

X Maths PC 2009 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de l’ensembleM_n⁺des matrices inversibles deM_n(R)dont tous les déterminants extraits en position symétrique sont strictement positifs. En particulier, on établit le théorème suivant :

Pour toute matrice P ∈M_n⁺, il existe un vecteur X, dont tous les coefficients sont strictement positifs, tel que les coefficients de PX soient eux aussi tous strictement positifs.

Le sujet est constitué de quatre parties, qui sont indépendantes à l’exception de la dernière question du sujet. Les questions étant très liées les unes aux autres au sein de chaque partie, il faut les traiter dans l’ordre.

• La première partie établit quelques résultats simples surM_n⁺; en particulier, on démontre le théorème ci-dessus dans le casn= 2. Elle permet de se familia- riser avec les matrices deM_n⁺et avec la manipulation des vecteurs à coefficients positifs ou strictement positifs.

• La deuxième partie est totalement déconnectée du reste du sujet et permet de tester ses connaissances sur les séries entières et les fonctions à plusieurs variables.

• La troisième partie démontre que pour toute matrice P de M_n⁺, il n’existe aucun vecteur X non nul à coefficients positifs tel que les coefficients de PX soient négatifs.

• Enfin, dans la dernière partie, on démontre le théorème annoncé en étudiant les équations du typeMX = DXd’inconnuesDet X, oùDest une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans{−1,1}etXun vecteur ;Mest une matrice orthogonale donnée. En particulier, on montre que ces équations admettent toujours une solution pour laquelle le vecteur X est à coefficients strictement positifs.

C’est un sujet de difficulté moyenne pour l’École Polytechnique. Comme souvent, il ne fait appel qu’à très peu de théorèmes du cours. Cependant, il nécessite d’être à l’aise en algèbre linéaire et dans la manipulation des matrices, tout particulièrement dans l’usage des matrices par bloc. Toutes les questions sont faisables ; la difficulté est essentiellement de toutes les traiter, ou du moins le plus possible, dans le temps imparti.

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Indications

1.a Comparer ^t(M^(Σ))et(^tM)^(Σ).

1.c Utiliser les résultats des questions 1.a et 1.b.

2 Exprimer les coefficients de DX en fonction de ceux de X et des éléments diagonaux deD. Choisir ensuite convenablement les coefficients de la matriceD.

3.a Exprimer les conditionsM∈M_n⁺,X≻0et0<MXsous forme d’inégalités sur des réels.

3.b Raisonner par l’absurde et reprendre les calculs de la question 3.a pour obtenir M6∈M_n⁺.

3.c Chercher X sous la forme ^t( 1, y). Dans le cas b < 0, utiliser le fait que M appartient àM_n⁺.

4 Utiliser la règle de d’Alembert.

5.a Montrer queuetv admettent des dérivées partielles en déterminant les limites des taux d’accroissement.

5.b Comparer Reζ et|ζ|.

6.a Quel est le rapport entre les solutions d’un système linéaire et les déterminants ? 6.b Que vautPC?

6.c Utiliser la question 6.b.

6.d Que vaut lej-ième coefficient de Y? 6.e Utiliser la question 6.d.

6.f Utiliser les questions 6.d et 6.e.

7 Interpréter géométriquement la propriété(Pⁿ).

8 Calculer explicitement ^tX₂X1−^tX₂DX1.

Pour la deuxième question, commencer par montrer queD1D2= Iⁿ. 9.a Que peut-on dire du signe de ^tU U?

9.b Utiliser les relations obtenues à la question précédente pour montrer queUetV sont nuls. En déduire queW est orthogonale. Que vaut alorsM?

10 Calculer ^tM₁M1 et ^tM−2M−2avec les relations obtenues à la question 9.a.

11.a Calculer ^tM₂M1. Quelle est la taille de la matrice ^tX₂V? et de ^tV X1? 11.b Utiliser la question précédente.

11.c Que vaut D1D2?

11.d Quelle autre décomposition deMaurait-on pu considérer ? 12.a Calculer de deux façons différentes le produit ^tX^′ ^tM MX.

13.a Calculer de deux façons différentes ^tX NX, oùXest un vecteur propre.

Que sait-on deλsiN−λIⁿ n’est pas inversible ? et réciproquement ? 13.b Il existe plusieurs caractérisations des matrices orthogonales.

13.c Calculer la matriceNY en faisant apparaître la matriceM.

14 Se servir du résultat de la question 13.c et « découper » le vecteur obtenu de taille2nen deux vecteurs de taillen. Que vérifient ces deux vecteurs ?

15 Utiliser la question précédente et le résultat de la troisième partie.

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Première partie

1.a Commençons par remarquer que pour toute matrice A ∈ Mn et pour toute partieΣ⊆[[ 1 ;n]], on a

(^tA)^(Σ)= ^t( A^(Σ))

En effet, siA∈MnetΣ⊆[[ 1 ; n]], la matrice(^tA)^(Σ)est la sous-matrice obtenue en supprimant lai-ème ligne et lai-ème colonne de ^tApour touti∈Σ,ie la transposée de la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème colonne et la i-ème ligne de A pour touti∈Σ. On en déduit l’égalité(^tA)^(Σ)= ^t( A^(Σ)).

Soit M ∈ M_n⁺. Montrons que ^tM ∈ M_n⁺. Fixons donc Σ ⊆ [[ 1 ;n]] et montrons que le déterminant de (^tM)^(Σ) est strictement positif. On vient de voir que (^tM)^(Σ) = ^t( M^(Σ)). Comme le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de la transposée et queMest dansM_n⁺, on obtientdet(^tM)^(Σ)>0. Ceci étant vrai pour tout sous-ensembleΣde[[ 1 ; n]], on conclut que

tM∈M_n⁺

L’énoncé n’est pas parfaitement clair sur la définition des matrices deM_n⁺. En effet, s’il précise que dans le casΣ =∅, on poseM^(∅)= M, que se passe- t-il siΣ = [[ 1 ;n]]? La matriceM^{([[ 1 ;}ⁿ^]])est la matrice sans ligne ni colonne.

Que vaut son déterminant ? Nous passerons donc sur ce détail dans tout ce corrigé.

1.b Soient M∈M_n, D∈ Dⁿ etΣ⊆[[ 1 ; n]]. Les matricesM^(Σ), D^(Σ) et (MD)^(Σ) sont des matrices carrées de taillen−Card Σ.

Notons (C1, . . . ,Cⁿ) les colonnes deMet (Ce1, . . . ,Ceⁿ)les colonnes obtenues en supprimant les coefficients d’indice i de toutes les colonnes de Mpour tout i ∈Σ.

Les colonnes deM^(Σ) sont alors lesCe^k pour k∈[[ 1 ; n]]etk6∈Σ.

Notons maintenant(d1, . . . , dⁿ)les coefficients diagonaux de D. La matriceD^(Σ) est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont lesd^k pour k∈[[ 1 ;n]]

etk6∈Σ. Calculons le produitMDavec ces notations : MD =



C1 · · · Cⁿ



×





d1 0

. ..

0 dⁿ



=



d1C1 · · · dⁿCⁿ





En effectuant le produitM^(Σ)D^(Σ) de la même manière, on constate que les colonnes deM^(Σ)D^(Σ) sont lesd^kCe^k pourk∈[[ 1 ; n]]et k6∈Σ. Ce sont les mêmes colonnes que si l’on supprime lesi-ème lignes eti-ème colonnes deMDpour touti∈Σ.

Conclusion :

M^(Σ)D^(Σ)= (MD)^(Σ)

Il est important de savoir interpréter le produit de deux matrices carrées en fonction des lignes et colonnes de celles-ci. En particulier, étant donné deux matrices carréesAetBde taillen, si on note(C1, . . . ,Cⁿ)les colonnes deB, alors le produitABvaut

AB = A×



C₁ · · · Cⁿ



=



AC₁ · · · ACⁿ





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De plus, si on note (E1, . . . ,Eⁿ) la base canonique de Rⁿ, on obtient pour tout i∈[[ 1 ; n]]

BEⁱ=



C₁ · · · Cⁿ



×Eⁱ= Cⁱ

Ce sont ces deux résultats qui permettent d’obtenir l’égalité précédente.

1.c SoientM∈M_n⁺etD∈ Dⁿ. FixonsΣ⊆[[ 1 ; n]]et montrons que le déterminant de(DMD)^(Σ)est strictement positif. En appliquant le résultat de la question 1.b aux matricesDM∈M_n et D∈ Dⁿ, on obtient l’égalité

((DM)D)^(Σ)= (DM)^(Σ)D^(Σ)

Montrons maintenant que (DM)^(Σ) = D^(Σ)M^(Σ) en utilisant la transposée pour se ramener au résultat de la question 1.b. On a établi à la question 1.a l’identité

t( A^(Σ)) = (^tA)^(Σ)pour toute matrice A∈M_n. On en déduit

t((DM)^(Σ)) = (^t( DM))^(Σ)= (^tM^tD)^(Σ)= (^tM D)^(Σ) Le résultat de la question 1.b donne alors

t((DM)^(Σ)) = (^tM)^(Σ)D^(Σ) soit (DM)^(Σ) = ^t( D^(Σ))^t((^tM)^(Σ))

Comme D est diagonale, D^(Σ) l’est aussi et ^t( D^(Σ)) = D^(Σ). De plus, d’après le résultat de la question 1.a, ^t((^tM)^(Σ)) = M^(Σ). Il vient

(DM)^(Σ) = D^(Σ)M^(Σ) et finalement (DMD)^(Σ) = D^(Σ)M^(Σ)D^(Σ)

Comme le déterminant d’un produit de matrices carrées est égal au produit de leurs déterminants,

det((DMD)^(Σ)) = det(D^(Σ)M^(Σ)D^(Σ))

= det D^(Σ) det M^(Σ) det D^(Σ) det((DMD)^(Σ)) = det M^(Σ)(det D^(Σ))²

CommeD^(Σ) est une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans l’ensemble {−1; 1}, son déterminant est non nul. De plus, comme M∈M_n⁺, le déterminant de M^(Σ) est strictement positif. On en déduit l’inégalité

det((DMD)^(Σ))>0

Conclusion : DMD∈M_n⁺

Pour montrer quedet((DMD)^(Σ))>0, on peut aussi dire que le déterminant deD^(Σ)vaut1ou−1, ce qui entraîne

det((DMD)^(Σ)) = det M^(Σ)(det D^(Σ))²= det M^(Σ)>0