Master 2 EADM 2013-2014 Capes Externe
UE 11 Epreuve sur dossier
DOSSIER AN 8
Thème : Fonctions - Convexité
L’exercice proposé au candidat
On a tracé en rouge la représentation graphique Cf de la fonction f définie sur ]0;+∞[ et en vert sa tangente T au point d’abscisse 1.
Partie A. Étude graphique
1. Déterminer graphiquement f (1) et f’(1).
2. Déterminer graphiquement l’intervalle sur lequel la fonction f est convexe, et l’intervalle sur lequel la fonction f est concave.
3. La courbe Cf a-t-elle un point d’inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
Partie B. Étude mathématique
f est définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x3 + 3x − 1 x2 . 1. Montrer que f’(x) = (x−1)2(x+2)
x3 et déterminer les variations de f.
2. On donne la dérivée seconde de f : 6(x−1) x4 . a) Étudier les variations de f’.
b) En déduire l’intervalle sur lequel f est convexe et l’intervalle sur lequel f est concave.
c) Justifier l’existence d’un point d’inflexion de la courbe Cf.
La solution proposée par un élève aux questions A2 et B2a)
A2
La courbe est sous la tangente pour x ≤ 1 et au dessus pour x ≥ 1.
Ainsi la fonction f est concave sur ]−∞ ; 1[ et convexe sur ]1 ; +∞[
B2a)
La fonction g(x) = (x−1) est une fonction affine croissante sur R.
La fonction h(x) = x3 est croissante sur ]0 ; +∞[.
La fonction k(x) = (x−1)2 est : croissante si x−1 ≥ 0, donc si x ≥ 1
décroissante si x−1 ≤ 0, donc si x ≤ 1.
Ainsi, la fonction f’(x) = (x−1)2(x+2)
x3 est croissante si x ≥ 1 et décroissante si x ≤ 1.
Master 2 EADM 2013-2014 Capes Externe
UE 11 Epreuve sur dossier
Le travail à exposer devant le jury
1. Indiquer les compétences, les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.
2. Analyser la réponse proposée par l’élève.
3. Rédiger une réponse aux questions A2 et B2, comme vous le feriez devant une classe de terminale.
4. Proposer plusieurs problèmes sur le thème « Fonctions convexité » dont un nécessitant l’utilisation d’outils TICE.
