Soit une fonction f définie sur 0 ;1

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(1)

PanaMaths

[ 1 - 2 ]

Décembre 2013

Soit une fonction f définie sur 0 ;1

^⎡_⎣ ^⎤_⎦

, continue et telle que ^f ( ) ( ) ⁰ ⁼ ^f ¹ ^.

Montrer que : ⁿ

^, ^α

^⎡_⎣

^{0 ;1 /}

^⎤_⎦

^f

^⎛^⎜_⎜

^α ¹ _n

^⎞^⎟_⎟

^f ( ) ^α

⎝ ⎠

∀ ∈ ` ∃ ∈ + = .

Indication : considérer

^⎡^⎢_⎢

^f

^{⎛ ⎞}^{⎜ ⎟}_{⎜ ⎟}

¹ _n ^f ( ) ⁰

^{⎤ ⎡}^{⎥ ⎢}_{⎥ ⎢}

^f

^{⎛ ⎞}^{⎜ ⎟}_{⎜ ⎟}

² _n ^f

^{⎛ ⎞}^{⎜ ⎟}_{⎜ ⎟}

¹ _n

^⎤^⎥_⎥

^...

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− + − +

Analyse

Dans un premier temps, on évalue la somme, simple, donnée dans l’indication. La valeur obtenue et le terme général de la somme doivent conduire à l’introduction d’une fonction auxiliaire qui permettra de conclure.

Résolution

Soit n un entier naturel non nul.

Comme suggéré dans l’énoncé, nous considérons la somme :

( ) ( )

1 2 1 1 2 1

0 ... 1

n n n

S f f f f f f f f

n n n n n n

k k

f f

n n

−

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞⎤ ⎡ ⎛ − ⎤⎞

=⎢⎣ ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎥ ⎢⎦ ⎣+ ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎥⎦+ +⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜⎝ ⎟⎠⎥ ⎢⎦ ⎣+ − ⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦

⎡ ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞⎤

∑

⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎥⎦

La somme est télescopique et on a simplement : Sn= f

( )

¹ − f

( )

⁰ =⁰. Si tous les termes de la somme sont nuls, alors on a par exemple

( ) ( )

1 1

0 0 0 0

f f f f

n n

⎛ ⎞− = ⎛ + ⎞− =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et on peut prendre α=0.

(2)

PanaMaths

[ 2 - 2 ]

Décembre 2013

Supposons maintenant que les termes de la somme ne soient pas tous nuls.

Puisque S_n=0, la somme comporte nécessairement deux termes non nuls de signes contraires. Il existe donc deux entiers distincts k₋ et k₊ dans

a

^{0 ;}ⁿ⁻¹

b

^{tels que}

1 0

k k

f f

n n

−+ −

⎛ ⎞− ⎛ ⎞<

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et 1

k k 0

f f

n n

++ +

⎛ ⎞− ⎛ ⎞>

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

On considère alors la fonction ϕ définie sur k ;k

I n n

− +

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦ (si k₋ <k₊) ou sur k ;k

I n n

+ −

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦ (si k₊ <k₋) par ^:^x

( )

^x ^f ^x ¹ ^{f x}

( )

ϕ 6ϕ = ^⎛⎜⎝ +n^⎞⎟⎠− .

Comme ^I^⊂

[ ]

^{0 ; 1} et comme f est continue sur

[ ]

^{0 ; 1} , la fonction ϕ est continue sur I.

Par ailleurs, on a : 1

k k k 0

f f

n n n

ϕ^⎛⎜⎝ ⁻^⎞⎟⎠= ^⎛⎜⎝ ⁻⁺ ^⎞⎟⎠− ^⎛⎜⎝ ⁻^⎞⎟⎠< et 1

k k k 0

f f

n n n

ϕ^⎛⎜⎝ ⁺ ^⎞⎟⎠= ^⎛⎜⎝ ⁺⁺ ^⎞⎟⎠− ^⎛⎜⎝ ⁺^⎞⎟⎠> . Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de conclure qu’il existe un réel α dans I tel que

( )

⁰ ^f ¹ ^f

( )

ϕ α = = ^⎛⎜⎝α+n^⎞⎟⎠− α . Le résultat est établi.

Résultat final

Si une fonction f est définie et continue sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 1} et vérifie ^f

( )

⁰ ⁼ ^f

( )

¹ ^alors

Pour tout entier naturel n non nul, il existe un réel α tel que ^f ¹ ^f

( )

α n α

⎛ + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^.

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