Master MEEF Maths Capes Externe
UE 8 ORAL 2
2015-2016
Dossier Geo 13 Thème : Produit scalaire
L’exercice :
Soit un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 𝑎 . 𝑀, 𝑁, 𝑅 et 𝑆 sont les milieux des côtés de ce carré. Le quadrilatère 𝐸𝐹𝐺𝐻 est obtenu en traçant les segments
[𝑆𝐷], [𝐵𝑁], [𝐴𝑅] et [𝑀𝐶].
1. Montrer que 𝐸𝐹𝐺𝐻 est un parallélogramme.
2. Calculer le produit scalaire 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 𝐸𝐹𝐺𝐻 ?
3. a) Montrer que 𝑅𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . b) Calculer 𝐵𝑁 et en déduire 𝐻𝐺 .
4. Utiliser la même démarche que la question précédente pour calculer 𝐸𝐻.
5. En déduire la nature du quadrilatère 𝐸𝐹𝐺𝐻 .
6. Préciser le rapport existant entre les aires des quadrilatères 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐸𝐹𝐺𝐻.
Les réponses de quatre élèves de première S à la question 2.
Elève 1.
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ car les droites (BN) et (CM) sont perpendiculaires
Elève 2
Par projection orthogonale : 𝐵 𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐵𝐶 × 𝐶𝑅 = −𝑎 × 𝑎
2 = −𝑎2
2 . Elève 3
J’utilise la définition du produit scalaire avec les projetés orthogonaux :
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ or les droites (𝐶𝑁) et (𝐶𝑅) sont perpendiculaires puisque 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré donc 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 0. J’en déduis que 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 et donc les droites (𝐵𝑁) et (𝐶𝑀) sont perpendiculaires.
𝐸𝐹𝐺𝐻 est un rectangle car c’est un parallélogramme qui a un angle droit.
Elève 4.
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝑁 × 𝐶𝐷 + 𝐵𝐶 × 𝐶𝑅 d’où : 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 × 𝑎
2 + 𝑎 × (− 𝑎
2) = 0 EFGH est donc un rectangle.
Le travail à exposer devant le jury
1. Présentez la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique et conjecturer ainsi les réponses aux questions 5 et 6 de l’exercice.
2. Analysez les productions des élèves en mettant en évidence leurs réussites et l’origine de leurs erreurs éventuelles.
3. Proposez une correction de la question 3 comme vous l’exposeriez devant une classe de première scientifique..
4. Proposez un énoncé qui présente une autre méthode de résolution de cet exercice accessible à des élèves de collège (quatrième ou troisième).
5. Présentez deux ou trois exercices sur le thème Produit Scalaire. Vous prendrez soin de motiver vos choix.
