Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
11/11/2011
DOSSIER Geo 9
Thème : Emploi du produit scalaire dans l’étude de configurations
L’exercice
On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur a (a réel strictement positif).
Soit I le point d’intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
1) Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :
EA . AF , AB . AF , BC . AF .
2) En déduire que les vecteurs EC et AF
sont orthogonaux.
3) Montrer de même que les vecteurs EC et
AH sont orthogonaux.
4) En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH).
5) a) Justifier les résultats suivants : les droites (AF) et (EH) sont orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI).
b) En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).
c) Etablir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).
6) Que représente le point I pour le triangle AFH ?
La réponse d’un élève à la question 1
EA . AF = EA AF = a a 2 = a 2 2 AB . AF = AB AF = a a 2 = a 2 2 BC . AF = BB AF = 0
Le travail à exposer devant le jury
1. Indiquer les classes de lycée dans lesquelles on peut proposer cet exercice et les notions et outils mis en œuvre dans sa résolution.
2. Analyser la réponse de l’élève à la question 1 de l’exercice.
3. Proposez une méthode de résolution de la question 2 n’utilisant pas le produit scalaire.
4. Construire un énoncé de niveau Terminale S permettant de trouver le résultat établi dans cet exercice par une méthode analytique.
5. Proposer deux exercices sur le thème « Emploi du produit scalaire dans l’étude de configurations », dans le plan.
