Proposition #8 Dans tout triangle, les trois médianes concourent en un même point situé aux deux tiers de chacune à partir du sommet.
Hypothèse:
- ABC est un triangle quelconque.
-
BE AF et DC ,
sont les médianes du triangle ABC.À démontrer:
- Les trois médianes concourent en un même point.
- Le point G est situé au 2/3 de chacune des médianes à partir du sommet Démonstration:
- Coordonnées du point E
E b c , 2 2
- Coordonnées du point F
- Coordonnées du point D
D a ,0 2
- Équation du segment AF:
pente 2
2
car variation direct c
c a b a b y a b c x Vi y c x
a b
= + = +
⇒ = + +
⇒ = +
-Équation du segment BE:
0
2 2
pente
2 2
2 2
2
en remplacant les coordonnées de B on trouve:
0 .
2 0
2 2
2 2
c c
c
b a b a b
a
y c Vi
a b
c a Vi a b
ac Vi a b Vi a ac b
c ac
y x
a b a b
− − −
= = =
− −
−
⇒ = − +
−
⇒ = − +
−
⇒ = − +
−
⇒ =
−
⇒ = − +
− −
-Équation du segment DC
0 - - -2
pente
- 2 - 2 -
2 2
-2 - 2
en remplacant les coordonnées du point D on trouve:
0= -2 . - 2 2
0 2
2 -2
-2 2
c c c
a a b a b
b
y c x Vi a b
c a V i a b
ac V i a b V ac
i a b
c ac
y x
a b a b
= = =
⇒ = +
⇒ +
⇒ = − − +
⇒ = −
⇒ = + −
- Coordonnées du point d’intersection entre les segments AF et DC
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
( )( 2 ) 2
( )( 2 ) ( )
2 2 2 ( 2 ) 2 ( )
( )
y c x
a b
c ac
y x
a b a b
c c ac
x x
a b a b a b
c c ac
x
a b a b a b
c a b c a b ac
x
a b a b a b
ac a b a b ac a b
x
a b c a b c a b c a b c a b
ac a b
= +
= − +
− −
⇒ = − +
+ − −
⇒ + =
+ − −
− + +
⇒ =
+ − −
+ − +
⇒ = ⋅ =
− − + + − + +
+
( )
ac a + b
En remplaçant les coordonnées de x dans:
on trouve
3
c a b
y a b
= ⋅ +
+ 3
y = c
Les coordonnées du point d’intersection des segments AF et DC sont:
,
3 3
a + b c
- Coordonnées du point d’intersection entre les segments AF et BE
2 2
2 2
2 2
(2 ) ( )
2 ( )(2 )
( )(2 )
2 (2 ) ( )
( ) ( )
(2 ) ( ) 2
c ac
y x
a b a b
y c x
a b
cx ac cx
a b a b a b
ac cx cx
a b a b a b
ac c a b c a b
x
a b a b a b
ac a b a b
x
a b c a b c a b
ac a b ac a b ac
x
c a b c a b ac bc ac bc
= − +
− −
= +
⇒ − + =
− − +
⇒ = +
− + −
− + +
⇒ =
− + −
+ −
⇒ = ⋅
− − + +
+ +
⇒ = = =
− + + − + +
( )
3
3
a b ac a b
x
+
⇒ = +
En remplaçant les coordonnées de x dans:
On trouve :
3
c a b
y a b
= ⋅ +
+ 3
y = c
Les coordonnées du point d’intersection des segments AF et BE sont:
,
3 3
a + b c
- Coordonnées du point d’intersection entre les segments DC et BE
( )( ) ( )( )
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 4 2
2 3
2 ( )
3 3
3
c ac
y x
a b a b
c ac
y x
a b a b
cx ac ac c
a b a b
cx ac a b ac c a b
acx bcx a c abc a c abc acx bcx a c abc acx
a c abc ac a b x
ac ac
a b x
= − +
− −
= − +
− −
− + −
⇒ =
− −
⇒ − + − = − −
⇒ − + + − = − − +
⇒ + =
+ +
⇒ = =
⇒ = +
En remplaçant les coordonnées de x dans:
2 3 2
( ) 3 3 2
3(2 ) 3(2 ) 3(2 )
(2 )
3(2 )
c a b ac
y
a b a b
c a b ac ac bc ac ac bc y
a b a b a b
c a b y
a b
− +
= ⋅ +
− −
− + + − − + −
⇒ = = =
− − −
⇒ = −
−
On trouve:
3 y = c
Les coordonnées du point d’intersection des segments DC et BE sont:
,
3 3
a + b c
Toutes les médiatrices concourent en un même point de coordonnées:
a + b c
-Montrons que le point G est situé au 2/3 du segment AF à partir du sommet A.
( )
0 0
3 2
( )
3 2
2 CQFD 3
x G x A R x F x A
a b a b
R a b R a b
R
= + −
+ +
⇒ = + −
+ +
⇒ =
⇒ =
- Montrons que le point G est situé au 2/3 de segment BE à partir du sommet B.
( )
3 2
2
3 2
3 2
2 2
3 3
2 2 3 2
2 2
2 CQFD 3
x G x B R x E x B
a b b
a R a
a b b a
a R
a b a b a
b a
R b a b a b a
R
= + −
⇒ + = + −
+ −
⇒ − =
+ − −
⇒ = = = − ⋅
− − −
⇒ =
- Montrons que le point G est situé au 2/3 de segment CD à partir du sommet C.
( )
3 2
2
3 2
2
3 2
3 2
3 2
2 2
3 2
2
2 2
3
2 3 2
2
2 CQFD 3
x G x C R x D x C
a b a
b R b
a b a b
b R
a b a b
b R
a b b a b
R
a b a b
R
a b
a b
R a b a b
R
= + −
⇒ + = + −
+ −
⇒ = +
+ −
⇒ − =
+ − −
⇒ =
− −
⇒ =
−
⇒ = = − ⋅
− −
⇒ =
Conclusion:
La proposition #8 est donc vraie.
