Geo 15 Produit scalaire

Master 1 MEEF 2013 - 2014 Capes Externe

UE 7 Epreuve sur dossier

24/01/2014

DOSSIER Geo 15

Thème :

L’exercice

Soit ABCD un carré de côté a.

PQRS est le quadrilatère obtenu en traçant les

segments [AK], [BL], [CI] et [DJ] où I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] du carré.

1) Montrer que PQRS est un parallélogramme.

2) Calculer le produit scalaire ^IC . BL . Qu’en ^

déduit – on pour le quadrilatère PQRS ? 3) a) Justifier que ^IA . BL = ^{ }PS . BL . ^

b) Calculer BL et en déduire PS.

4) Adapter la démarche de la question précédente pour calculer PQ.

5) En déduire la nature du quadrilatère PQRS.

6) Préciser le rapport existant entre les aires des quadrilatères ABCD et PQRS.

Les réponses de trois élèves de Première S à la question 2

Elève 1

IC . BL = 0 parce que les droites (IC) et (BL) forment un angle droit. ^

Elève 2

IC . BL =(^{ }IB + BC).^ BL avec Chasles. ^

IC .BL = ^{ }IB . BL + ^ BC . ^ BL = IB  BA + ^ BP . ^ BL = IB  BA + BI  BA = 0. ^

Elève 3

IC . BL = ^{ }IB .AL en appliquant la propriété du projeté orthogonal. Et comme les ^

droites IB et AL sont perpendiculaires car ce sont les côtés du carré, le produit donne 0.

Le travail à exposer devant le jury

1. Présenter la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie et utiliser celui – ci pour conjecturer les réponses aux questions 5 et 6 de l’exercice.

2. Analyser les productions des élèves, en mettant en évidence leurs réussites et l’origine de leurs éventuelles erreurs.

3. Proposer une correction de la question 3, comme vous la feriez devant une classe de Première scientifique.

4. Proposer un énoncé qui présente une autre méthode de résolution de cet exercice, accessible à des élèves de collège.

5. Présenter deux autres exercices sur le thème « Produit scalaire : applications ».