Master 2 EADM 2012 - 2013 Capes Externe
UE 17 Epreuve sur dossier
26/01/2013
DOSSIER Geo 8 Thème : Produit scalaire
Calculs de grandeurs dans le plan et l’espace
L’exercice
On considère un tétraèdre régulier ABCD.
On se propose de montrer que, quel que soit le point M du segment [BC] et quel que soit le point N du segment [BD], la mesure de l’angle MAN est inférieure ou égale à
3 . On pose x = BM et y = BN, et on désigne par a le côté du tétraèdre.
1) Évaluer, en fonction de a, x et y : AM 2, AN 2 et AM . AN .
2) Montrer que AM . AN a2 2.
3) En déduire une minoration de Cos MAN , puis conclure.
La réponse d’un élève à la question 2
AM . AN = a 2 – 1
2 a y – 1
2 a x + 1
2 x y = a2 – 1
2 a (x + y) + 1 2 x y.
Puisque M et N se déplacent sur ces côtés, x et y varient de 0 à a.
Pour x = 0 et y = 0, AM . AN =a 2 et donc AM . AN a2 2 . Pour x = a et y = a, AM . AN = a 2 – a2 + 1
2 a2 = 1
2 a2, donc AM . AN a2 2 .
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la production de l’élève en mettant en évidence la pertinence de sa démarche, l’origine de ses éventuelles erreurs de raisonnement et les moyens d’y remédier.
2. Illustrer cet exercice avec un logiciel de géométrie dans l’espace.
3. Proposer une correction de la question 1, comme vous le feriez devant une classe de Terminale scientifique.
4. On fixe N au milieu de [BD]. Rédiger un énoncé permettant aux élèves de déterminer pour quelle position de M sur [BC] la mesure de l’angle MAN est minimum.
5. Proposer deux exercices se rapportant au thème « Produit scalaire : Calculs de grandeurs dans le plan et l’espace ».
