Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
10/11/2011
DOSSIER Geo 5
Thème : Outils en géométrie plane : les aires
L’exercice
Dans tout l’exercice, on note
A
(XYZ) l’aire du triangle XYZ.Partie A
Soit PQR un triangle, M un point du plan distinct de P et tel que la droite (MP) coupe la droite (QR) en un point M’.
1) Le théorème du chevron. Démontrer l’égalité :
A
(MPQ)A
(MPR) =QM’
RM’ .
2) Démontrer que le point M appartient à la médiane du triangle PQR issue de P si et seulement si les triangles MPQ et MPR ont la même aire.
Partie B
On considère un trapèze ABCD, tel que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On note O le point de concours des droites (AD) et (BC), et O’ le point d’intersection des droites (AC) et (BD).
Les milieux des segments [AB] et [CD] sont notés respectivement I et J.
1) Montrer que les triangles OIC et OID ont la même aire.
En déduire que les points O, I et J sont alignés.
2) Montrer que les triangles IAC et IBD ont la même aire.
En déduire que les triangles IO’C et IO’D ont la même aire, puis que les points I, O’ et J sont alignés.
3) Que peut – on dire des points O, O’, I et J ?
Une réponse d’élève à la question B 1
D’après ce qu’on a vu à la question 2 de la partie A, OIC et OID ont la même aire.
Puisque OIC et OID ont la même aire, alors OJA et OJB ont aussi la même aire, donc J appartient à la médiane du triangle OAB, comme le point I.
Le travail à exposer devant le jury
1. Préciser les connaissances et les compétences mises en œuvre dans l’exercice.
2. Présenter une animation, à l’aide d’un logiciel de géométrie, illustrant les propriétés démontrées dans la partie A de l’exercice.
3. Analyser la réponse de l’élève à la question B.1.
4. Proposer un énoncé utilisant un autre outil géométrique et permettant de démontrer la propriété vue à la question B.1.
5. Présenter deux autres exercices se rapportant au thème « Outils en géométrie : les aires», dont l’un propose la démonstration du théorème de Thalès.
