6. 1 P ro duit scala ire de de ux v ecteurs 6. 1. 1 P ro je ct io n or tho go nale

52Produitscalaire

6 .2 .2 P ro pri étés al gébri ques

Propriété6.3 Soit~u,~vet~wtroisvecteursduplan.Soitk∈R.Ona: ~u·~v=~v·~u;(~u+~v)·~w=~u·~w+~v·~w;(k~u)·~v=k(~u·~v) Démonstration: –lespremièreettroisièmeégalitéssedémontrentaisémentaveclapropriété6.2carcos(θ)= cos(−θ); –pourladeuxième:soitOunpointduplan,onnoteA,BetClespointstelsque−→ OA=~u, −→ AB=~vet−→ OC=~w. ~w

~u

~v ~vO

A C HKB Enutilisantlaremarque6.3,onadanslecasdelafigureci-dessus: −−→ OB·−→ OC=OK×OCet: −→ OA·−→ OC+−→ AB·−→ OC=OH×OC+HK×OC=(OH+HK)×OC=OK×OC. Donc:−−→ OB·−→ OC=−→ OA·−→ OC+−→ AB·−→ OC.

6 .2 .3 Dans un rep èr e o rt hono rm al

Propriété6.4 Soit~u(x;y)et~v(x0;y0)dansunrepèreorthonormal(O;~ i,~ j).Alors: ~u·~v=xx0+yy0 Démonstration: Onutiliselapropriété6.3. Ona~u=x~i+y~jet~v=x0~ i+y0~ j.Ainsi: ~u·~v=(x~i+y~j)·(x0~ i+y0~ j) =(x~i)·(x0~ i)+(x~i)·(y0~ j)+(y~j)·(x0~ j)+(y~j)·(y0~ j) =xx0~ i·~ i+(xy0+x0y)~ i·~ j+yy0~ j·~ j

=xx0+yy0 Eneffet,enappliquantlapropriété6.2,lerepèreétantorthonormal,ona:

~ i·

~ i=||

2~ i||cos(0)=1et

~ i·

~ j=||

~ i||×||

~ j||cos

π 2

=0 T.Rey-CoursdepremièreS8janvier2009

Cha pit re 6 Pr o dui t sca lai re

Leproduitscalaire1(vientdulatinscolaris:escalier,échelle)estuneopérations’appliquant àdeuxvecteurs.IlaétéinventépardeuxphysiciensGrassmannetGibbsetaétébaptisé ainsiparlemathématicienirlandaisHamilton(1805-1865). Enmathématiques,ilpermetd’utiliserlesnotionseuclidiennesdedistances,angles,orthogo- nalitédansdesespacesdedimensionquelconque.Ilestaussiutilisédansdesnotionsbeaucoup pluscomplexesqu’onnedétaillerapasici. Enphysique,ilcaractériselanotiondetravaild’uneforcesurundéplacementmaisestaussi utileenhydrodynamique,électromagnétisme,.... Lesvecteurspouvantêtrevussousplusieurs«aspects»(géométriqueetalgébrique),onretrouve plusieursdéfinitionséquivalentesduproduitscalaire.Nousallonslesétudierdanscechapitre etnousreviendronssursesapplicationsdanslechapitre8.

6. 1 P ro duit scala ire de de ux v ecteurs 6. 1. 1 P ro je ct io n or tho go nale

Définition6.1 SoitO,AetBtroispointsnon-alignésduplan.LeprojetéorthogonaldeBsurladroite(OA) estlepieddelahauteurissuedeBdansletriangleOAB.Surlesfiguresci-dessous,Hestle projetéorthogonaldeBsur(OA): O

B A HO

B A H

6. 1. 2 P ro duit scala ir e

Définition6.2 Soit~uet~vdeuxvecteursduplan.SoitOunpointduplan. OnnoteAetBlespointsduplantelsque−→ OA=~uet−−→ OB=~v. Onappelleproduitscalairede~upar~vleréelnoté~u·~vtelque: 1Unscalaireestun«numérique»doncunnombreréelpournous.C’estaussiunpoisson,maislà,çan’a plusrienàvoiraveclesmaths;pourplusdedétails,parlez-enàvotreprofdeSVTpréféré... T.Rey-CoursdepremièreS8janvier2009

6.2Autresexpressionsduproduitscalaire51 –Soit~uet~vdeuxvecteurstelsque~u·~v=0.Pardéfinition,ona~u·~v=±OA×OH.Onadeuxcaspossibles:–soitOA=0c’est-à-direque~u=~0donc~uet~vsontorthogonaux;–soitOH=0c’est-à-direque~v=~0ouBappartientàlaperpendiculaireà(OA)passantparOdoncdanslesdeuxcas,lesvecteurs~uet~vsontorthogonaux.

6. 2 A ut res expressi ons du pro dui t s calai re

6. 2. 1 Géom é tri quemen t

Propriété6.2Soit~uet~vdeuxvecteursnonnulsduplan.Onnoteθl’angle(géométrique)forméparcesvecteurs.Alors:

~u·~v=||~u||×||~v||×cos(θ)

Démonstration:SoitOunpointduplan.OnnoteAetBlespointsduplantelsque −→OA=~uet −−→OB=~v.SoitHleprojetéorthogonaldeBsur(OA).Onnoteθl’anglegéométriqueforméparlesvecteurs

~uet~v:θ=[AOB. Premiercas:θ∈[0;π2].

~u ~v

O B

AH

~u·~v=OA×OH θ

DansletriangleOBHrectangleenHonaOH=OBcos(θ).Donc:

~u·~v=OA×OBcos(θ)=||~u||×||~v||cos(θ)

Deuxièmecas:θ∈[π2;π].

~u ~v

O B

AH

~u·~v=−OA×OH θ

DansletriangleOBHrectangleenHonaOH=OBcos(π−θ)=−OBcos(θ).Donc:

~u·~v=−OA×(−OBcos(θ))=||~u||×||~v||cos(θ)

T.Rey-CoursdepremièreS8janvier2009 50Produitscalaire

–si~u=~0ou~v=~0alors~u·~v=0;–si~u6=0et~v6=0alors,ennotantHleprojetéorthogonaldeBsur(OA), –si −→OAet −−→OHsontdemêmesens,~u·~v=OA×OH; –si −→OAet −−→OHsontdesenscontraire,~u·~v=−OA×OH.

~u ~v

O B

AH

~u·~v=OA×OH θ

~u ~v

O B

AH

~u·~v=−OA×OH θ

Remarque6.1Ennotantθl’angle(géométrique)forméparlesvecteurs~uet~v,onremarquequesiθestaigu,leproduitscalairede~upar~vestpositifetsiθestobtu,leproduitscalaireestnégatif.

Remarque6.2Leproduitscalaired’unvecteur~uparlui-mêmeestnoté~u2.Ilestégalà||~u||2etonl’appellecarréscalairede~u.

Remarque6.3Surlafigureci-contre,enappliquantladéfi-nition,onobtientfacilementleségalitéssui-vantes:

−→OA

· −−OB=OA →−→

· −OC=OA →−→

· −OD=OA×OHO −→ B

C D

AH

6. 1. 3 V e ct e ur s o rt hog onaux

Définition6.3Soit~uet~vdeuxvecteursduplan.SoitOunpointduplanetsoitAetBlespointstelsque−→OA=~uet −−→OB=~v.Lesvecteurs~uet~vsontditsorthogonauxsil’unedesdeuxsituationssuivantesestréalisée:–~u=~0ou~v=~0;–lesdroites(OA)et(OB)sontperpendiculaires.

Propriété6.1Soit~uet~vdeuxvecteursduplan.Lesvecteurs~uet~vsontorthogonauxsietseulementsi~u·~v=0.

Démonstration:–Soit~uet~vdeuxvecteursorthogonaux,onadeuxcas:–si~u=~0ou~v=~0,alorsleproduitscalaireestévidemmentnul;–si~uet~vsontnon-nuls,aveclesnotationsdeladéfinition6.2,ona(OA)⊥(OB),leprojetéorthogonaldeBsur(OA)estOdonc~u·~v=OA×OO=0.

T.Rey-CoursdepremièreS8janvier2009