Diophante G2965 – Les premiers en Pythagorie
On considère les triplets pythagoriciens (a,b,c) dont deux des trois termes sont des nombres premiers et auxquels on associe les triangles rectangles ABC de côtés a,b,c.
Recenser tous les triplets tels que le plus petit angle aigu du triangle ABC est supérieur à 2°.
Réponse :
Deux des trois termes étant des nombres premiers, les triplets considérés sont forcément primitifs, de la forme (u2 - v2, 2uv, u2 + v2) ou (2uv, u2 - v2, u2 + v2).
2uv n'étant pas premier, u2 - v2 = (u - v)(u + v) l'est et u - v = 1.
Sans perte de généralité, supposons a < b.
Les triplets sont de la forme (2v + 1, 2(v + 1)v, 2v2 + 2v + 1), où 2v + 1 et 2v2 + 2v + 1 sont des nombres premiers.
La contrainte sur l'angle se traduit par a/c > sin(2°) = 0,034...
v ne peut pas dépasser 28 (59/1741 = 0,033...)
Au delà de v = 1 (c = 5) puis de v = 2 (a = 5), le reste de v dans la division euclidienne par 5 doit être 0 ou 4, ce qui laisse dix triplets à tester.
2v + 1 n'est pas un nombre premier lorsque v = 4, 10, 19, 24 ou 25.
2v2 + 2v + 1 n'est pas un nombre premier lorsque v = 15 (481 = 13 x 37) ou 20 (841 = 292).
Les triplets demandés, au nombre de cinq, sont obtenus lorsque v = 1, 2, 5, 9 ou 14.
Ce sont respectivement (3, 4, 5), (5, 12, 13), (11, 60, 61), (19, 180, 181) et (29, 420, 421).
Les angles sont respectivement 36,869..., 22,619..., 10,388..., 6,025... et 3,949... degrés sexagésimaux.
