+ + + + + + + = + + + + + + + = = G140. Interruption de partie

G140. Interruption de partie

Zig et Puce jouent à pile ou face. Si la pièce tombe sur pile, Zig marque un point et si elle tombe sur face, c'est Puce qui marque le point. Au début de la partie, chacun mise la même somme au pot et ils conviennent que le premier des deux qui atteint le score S gagne la partie et récupère la totalité du pot de 102,40 €. Après 16 lancers de la pièce, le jeu est interrompu et ils décident de partager le pot. Comme ils ont quelques réminiscences du calcul des probabilités, ils se mettent d'accord pour que Zig qui a deux points de plus que Puce empoche 72,65€ tandis que Puce récupère le reste.

Retrouver leur mode de raisonnement avant de déterminer S.

Le raisonnement de Zig est le suivant :

• Si face sort, à chaque fois, dans les S-9 coups qui viennent, je gagne. La probabilité d’un tel évènement est :

݌଴= 1 2ൗ ^ௌିଽ

• Sinon, je gagne encore si un seul pile sort dans les S-9 coups suivants, et que le coup S-8 sort face : la probabilité en est

݌ଵ= ܥ^ௌିଽଵ ൗ2^ௌି଼

• Sinon, je gagne toujours si pile sort deux fois dans les S-8 premiers coups, et que le coup S-7 sort face : la probabilité est

݌ଶ= ܥ^ௌି଼ଶ ൗ2^ௌି଻

• Etc... jusqu’à ݌ௌି଼ ,car, à ce stade, il est sorti S-8 pile plus les 7 d’origine soit S-1, et S-1 face, donc ce coup est le dernier

݌ௌି଼= ܥ^{ଶௌିଵ଼ௌି଼} ൗ2^{ଶௌିଵ଻}

La probabilité totale de gain de Zig est donc

݌ = ෍ ݌௜= ෍ܥ_{ௌିଵ଴ା௜}^௜ 2^{ௌିଽା௜}

ௌି଼

଴

Zig a empoché 72.65 €, soit ^{଻ଶ.଺ହ}

ଵ଴ଶ.ସ଴

=

Si on identifie les dénominateurs 2048=2¹³ et 2^2S-17 (et pourquoi pas après tout) on peut présumer que ܵ = 15 Il ne reste plus qu’à vérifier :

ଵ

ଶ^ల

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

Le score a atteindre est donc ܵ = 15