TS : Evaluation de début d’année CORRECTION

TS : Evaluation de début d’année CORRECTION

1 I.

f définie par f(x) = f dérivable sur fonction dérivée : f’(x) =

m x p (fonction affine) m

x +* 1

2 x

x ⁿ , n ϵ . _nx ^{n  1}

1

x * ¹ ₂

 x

uv uv’+u’v

ku où k est un réel ku’

1

u ²

' u

 u u

v ²

' '

u v v u v



II. 1 2 3 ... n  ¹ 

2 n n 

et q étant un réel différent de 1 : 1 q q ² ... q ⁿ 1 1

1 q n

q

 

 III. Une variable aléatoire X suite la loi binomiale de paramètres n et p. k est un entier compris entre 0 et n. P( X k) ^{n p k}  ^{1 p}  ^{n k}

k

   

    IV. a, b et t sont des réels.

sin  

  π

3 = ³

2 cos  

  π 4 = ²

2 cos  

  π

2 =0 sin  

  π 6 = ¹

2 cos(−t)= cos(t) sin(π+t)= -sin(t) cos(π-t)= -cos(t) sin  

  π

2 +t = cos(t) cos(a+b) = cos a cos b – sina sinb V. ( ) ^u n est une suite géométrique de premier terme u ₀ 2 et de raison 3.

1) u ₁ = 3×2 = 6 et u ₂ = 3×6 = 18 2) u _n   2 3 ⁿ

VI. f est la fonction définie sur par f (x ) 3x² 3x 6.

1. 3 x² 3x 6 0. On peut repérer qu il y a deux racines évidentes : 1 et 2.

Sinon :

On cherche le discriminant.

3² 4 ( 3) 6 81 0 donc le trinôme a deux racines : x 1

3 81

2 ( 3) 2 et x 2

3 81

2 ( 3) 1

f (x ) 0 a pour ensemble de solutions : S {2 1}

2. Le trinôme f( x) est du signe de a 3 sauf entre ses racines qui sont 1 et 2. On a donc le tableau de signes suivant :

x 1 2 +

f( x) +

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2 3. Le coefficient de x ² est a 3 0 donc la fonction f est croissante puis décroissante. Elle atteint son maximum pour x b

2a

3 2 ( 3)

1

2 . Ce maximum est f

 

  1

2 3

 

  1 2

2

3 1

2 6 27

4 . On a donc le tableau de variation suivant :

x 1

2 +

f( x) 27

4

Remarque : On peut aussi dériver f et arriver au même résultat.

VII. f est la fonction définie sur \

 



 

1 

4 par f (x) 2x 3 4 x 1 .

1) : f est une fonction homographique donc elle est dérivable sur son ensemble de définition

     

 

'

2

2 4 1 4 2 3 1 ,

4 4 1

x x

x f x

x

  

       

   donc  

 

'

2

1 14

, 0

4 4 1

x f x

x

  

      

  

2) Compte tenu du calcul précédent on obtient le tableau de variation suivant : x - ¹

4 +

f’(x) < 0 < 0 f(x)

3) On sait qu’au point d’abscisse x ₀ la tangente à la courbe de f a pour équation :

    

'

0 0 0

y  f x x  x  f x et donc ici on obtient ²  ²  ¹

y   7 x   et donc ^{2 11}

7 7

y   x 

VIII. On lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On définit le jeu suivant : le joueur mise 1,50 €, lance les deux dés et gagne un montant en Euro égal à la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de ces deux dés.

1) Avec les données ci-dessus on obtient les tableaux ci-contre et ci-dessous :

Gain g -1.5 -0.5 0.5 1.5

P(X=g) ¹

4

3

8 ¹

4 ¹

8

1 2 3 4

1 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2 -0.5 -1.5 -0.5 0.5 3 -0.5 -0.5 -1.5 -0.5 4 1.5 0.5 -0.5 -1.5

2)   ^{1.5 1 0.5 3 0.5 1 1.5 1 0.25 0}

4 8 4 8

E X             Le gain moyen qu’on peut espérer à ce jeu est de 0.25€

3) L’espérance étant négative, le jeu est défavorable au joueur.