TH ´EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN mardi 19 mai 

Paris 7 PH042

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN

mardi 19 mai , 8 h 30

∆t= 4 h

Les exercices I `a III sont des applications directes du cours. Leur traitement est n´ecessaire et suffisant pour obtenir la moyenne. Le probl`eme IV est pour adultes avertis.

I. TRANSFORMATION DE LORENTZ (4 points ?)

Le but de cet exercice est de trouver l’expression g´en´erale du champ ´electromagn´etique cr´e´e par une charge ponctuelle inerte, connaissant ce champ dans un rep`ere o`u la charge a une vitesse nulle. Vous pouvez proc´eder `a votre id´ee ou alors ex´ecuter les instructions suivantes.

1. i) R´etablissez le tableau des composantes Fµν et F^µν du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique.

ii) R´etablissez les formules des transformations de Lorentz des composantes longitudinales et trans- verses des champs ´electrique et magn´etique.

2. i) Rappelez les expressions des champs ´electrique et magn´etique cr´e´es en un point par une charge ponctuelle, inerte, dans un rep`ere o`u elle est immobile.

ii) En d´eduire les expressions des composantes du champ ´electrique en un point de coordonn´ees (x, y, z) dont l’origine a ´et´e prise en la charge.

iii) Qu’en est-il des composantes du champ en un ´ev´enement (t, x, y, z) ?

3. On consid`ere cette situation depuis un rep`ere de vitesse β, coordonn´ees (t~ ⁰, x⁰, y⁰, z⁰) obtenues par transformation sp´eciale de Lorentz en configuration standard.

i) Calculez les valeurs des composantesE_x⁰,E⁰_y etE_z⁰ du champ ´electrique en l’´ev´enement pr´ecit´e.

ii) En d´eduire les expressions des composantesE_x⁰(t⁰, x⁰, y⁰, z⁰),E_y⁰... en un ´ev´enement (t⁰, x⁰, y⁰, z⁰).

4. i) Quelles sont les valeurs des composantesv⁰_x,v⁰_y etv_z⁰ de la vitesse de la charge ?

ii) En d´eduire les expressions des composantesE_x⁰(t⁰, x⁰, y⁰, z⁰),E_y⁰... du champ en fonction des com- posantes de la vitesse de la charge.

5. i) En d´eduire enfin une expression vectorielle du champ −→E(~r, t) cr´e´e en~r `at par une charge dont le mouvement est~r_q(t) =~vt.

ii) Mˆeme question pour le champ magn´etique.

II. CONVECTION ET RAYONNEMENT (4 points ?)

Une particule inerte, de charge positive, se meut `a 1,5×10<sup>8</sup>m s<sup>−1</sup>. Elle subit un choc qui la r´efl´echit dans la direction oppos´ee avec la mˆeme vitesse. Repr´esentez l’allure, 10<sup>−9</sup>s apr`es le choc, du champ

´electrique et du champ magn´etique cr´e´es par la charge.

2 Champs classiques, PH042 Paris 7

III. RAYONNEMENT `A BASSE VITESSE (4 points ?)

1. Rappelez et commentez bri`evement, mais avec pr´ecision (signification des symboles, caract´eristiques, petits dessins), les expressions du champ ´electrique et du champ magn´etique de rayonnement cr´e´es par une charge ponctuelle `abasse vitesse.

2. Calculez le vecteur de Poynting, la puissance rayonn´ee dans un angle solide, la puissance totale rayonn´ee (taux de Larmor R).

3. En guise de mod`ele le plus simple pour un atome, on consid`ere un ´electron li´e par une force de rappel du type oscillateur, de pulsation ω₀. L’atome est baign´e dans une onde ´electromagn´etique incidente que l’on prend plane, monochromatique et polaris´ee rectiligne. Dans cette repr´esentation tr`es stylis´ee, on suppose de plus que l’oscillateur est amorti, suffisamment pour atteindre un r´egime permanent, mais assez faiblement pour n’avoir pas `a en tenir compte dans les ´equations du mouvement.

i) R´esoudre les ´equations du mouvement de l’´electron, enr´egime permanent, sous l’effet de la force d’oscillateur et du champ ´electrique incident, en n´egligeant la force magn´etique et en supposant que le mouvement reste dans le domaine dit non-relativiste (dans quelle mesure est-ce valide ?).

ii) Calculez la puissance totale Pray rayonn´ee par l’´electron.

iii) Calculez la section efficace de diffusion,σ^df=Pray/(Pinc/S), o`uPinc est la puissance v´ehicul´ee par l’onde incidente `a travers une section S. Tracez l’allure de σ en fonction de la pulsation de l’onde incidente. D´eterminez les comportements asymptotiques de σ `a haute (diffusion Thomson) et basse (diffusion Rayleigh) fr´equences.

iv) Quelle expression et quelle valeur en d´eduisez-vous pour la section efficace de diffusion par un

´electron libre ?

v) Dans quelle mesure le bleu du ciel est-il explicable par ce mod`ele ?

vi) Dans quelle r´egion ce mod`ele souffre t-il d’incoh´erence ? Comment pourrait-on commencer par l’am´eliorer ? Pourquoi n’´eprouve t-on pas le besoin d’envisager le rayonnement du noyau ?

IV. PR´ECESSION DE THOMAS (8 points ?)

On se propose d’´etudier l’´evolution du moment cin´etique propre d’un petit gyroscope emport´e par un mobile acc´el´er´e dont la ligne d’univers est donn´ee. En un ´ev´enement 1 donn´e du mobile (temps propre τ₁) on se place, pour d´efinir les caract´eristiques du syst`eme, dans un rep`ere inertiel R₁ o`u la vitesse du mobile est alors nulle. Le gyroscope est assujetti au mobile en sorte que leurs centres de masse respectifs (dans ce rep`ere o`u tout est “classique”) co¨ıncident, et on consid`ere le cas o`u, dans ce rep`ere toujours, aucun couple n’agit sur le gyroscope (grˆace `a une suspension de Cardan par exemple), alors que le mobile lui-mˆeme est soumis aux forces qui d´eterminent sa ligne d’univers.

Soit~sle moment cin´etique du gyroscope. Pour effectuer commod´ement les changements de rep`ere, on d´efinit un quadrivecteur S

e (dit de Pauli-Lubanski si on veut faire bien) par ses composantes dans le rep`ere R1 :S^{00 df}= 0 et−→S^{0 df}=~s.

1. i) Quelle est l’´equation du mouvementd−→S⁰/dt⁰ du moment cin´etique du gyroscope dans R1, valide au voisinage de l’´ev´enement 1 ?

ii) La m´ecanique (classique dans R1 au voisinage de l’´ev´enement 1) a-t-elle quelque chose `a dire surdS⁰⁰/dt⁰?

iii) Quelles sont les valeurs des composantesU⁰⁰(τ1) et−→U⁰(τ1) de la quadrivitesse du mobile dans R1

en l’´ev´enement 1 ?

iv) En d´eduire la forme d’une relation entre dS^α/dτ et U^α valide dans tout rep`ere inertiel `a tout instant.

v) Consid´erant les valeurs deU e·S

e et de (d/dτ)(U e·S

e), achevez la d´etermination de cette relation, et montrez que finalement dS

e/dτ peut s’exprimer en termes de U e, S

e, et A

e (la quadri-acc´el´eration du mobile). Vous avez ainsi obtenu l’´equation de la pr´ecession de Thomas.

2. Pour illustrer les implications de la pr´ecession de Thomas, on consid`ere d´esormais le cas simple d’un mobile en mouvement circulaire uniforme, rayonr, pulsationω, dans le laboratoire (coordonn´eest,x, y et z, que l’on peut choisir en sorte que l’orbite soit dans le planz= 0 et centr´ee `a l’origine, avec la particule en x=r,y= 0 `at= 0).

Champs classiques, PH042 Paris 7 3

i) Calculer, en fonction du tempst, les composantes de la vitesse, le facteurγ, les composantes de la quadrivitesse et de la quadri-acc´el´eration.

ii) En d´eduire les ´equations du mouvement dS^µ/dt de chacune des composantes du quadrivecteur moment cin´etique propre dans le laboratoire, en fonctions deω, r,tet du scalaireA

e·S e. iii) ExpliciterA

e·S

e en termes deS^x,S^y,t,etc.

3. La solution des ´equations du mouvement dS^µ/dt n’apparaˆıt pas imm´ediate, `a cause du facteur variable A

e·S

e. Au vu de ce dernier, on essaye le changement de variables (S^x, S^y)−→(S^r, S^θ) correspondant `a une rotation d’angle θ = ωt autour de l’axe ˆz. (Bien sˆur, ce nouveau point de vue n’est pas physiquement ´equivalent, mais il va s’av´erer tr`es commode pour la suite des calculs.) i) Quelles sont les expressions deS^r etS^θ en fonctions deS^x,S^y etωt?

ii) En d´eduire les ´equations du mouvement pour dS^t/dt,dS^r/dtetdS^θ/dt.

iii) En d´eduire d’abord la solution g´en´erale S^r(t) (deux constantes d’int´egration, par exemple une amplitude et une phase), puis S^θ(t), S^t(t) (une constante d’int´egration suppl´ementaire), S^z(t) (une constante suppl´ementaire).

iv) En d´eduire la solution g´en´erale S^t(t),S^x(t),S^y(t),S^z(t).

4. Puisque le mouvement du mobile porteur est circulaire uniforme, on peut sans restreindre la g´en´eralit´e adopter la condition initialeS^y(t= 0) = 0.

i) Ecrire les expressions deS^t(t),S^x(t),S^y(t) etS^z(t) correspondantes.

ii) Cette solution d´epend encore de trois constantes d’int´egration, mais celles-ci ne sont pas ind´ependantes. A l’aide des valeurs des composantes de U

e et S

e dans le rep`ere du laboratoire `a l’instant t = 0, et compte tenu des valeurs des invariants U

e ·S e et S

e

2 en tous temps, exprimer fi- nalement chacune de ces constantes d’int´egration en termes de~s²et S^z(0).

iii) CalculezS^x(t) +iS^y(t) et discutez en le comportement. (Pour cela il peut ˆetre utile d’en mettre l’expression sous forme d’une somme de deux contributions, l’une dont la limite est finie et l’autre qui tend vers z´ero lorsque la vitesse du mobile tend vers z´ero.)

5. Si le moment cin´etique propre~s, dans un rep`ere R_τ, est une grandeur dont le rˆole physique est bien connu, il n’en va absolument pas de mˆeme pour le quadrivecteurS

e, d´efini pour les besoins de la cause, et en particulier pour ses composantes S^µ dans le laboratoire. On va voir que celles-ci permettent de calculer commod´ement des effets observables. Par exemple, une physicienne, emport´ee avec son gyroscope par le mobile, mesure l’angleθ⁰ entre la direction du moment cin´etique−→S⁰ et la direction ˆu⁰ d’o`u lui provient la lumi`ere d’une ´etoile lointaine.

i) Quelle est l’expression de cosθ⁰?

ii) Montrez que cosθ⁰ peut s’´ecrire sous forme scalaire en fonction deS

e, de la quadri-impulsionW e de la lumi`ere re¸cue, et de~s².

iii) Vue du laboratoire, l’´etoile est dans la direction fixe ˆx. Quelles sont les valeurs des com- posantesW^µ? En d´eduire l’expression de cosθ⁰ en fonction du temps t.

iv) Discuter le comportement de cosθ⁰ au cours du temps. (Pour cela on peut, par exemple, l’´ecrire comme une somme de contributions se distinguant par leurs comportements `a basse vitesse.)

v) Etablir l’expression de cosθ⁰ telle que l’observe la physicienne embarqu´ee, c’est-`a-dire en fonction de son temps propre τ.

6. On peut imaginer un autre effet observable, depuis le laboratoire cette fois : le gyroscope est une collection de particules ´el´ementaires identiques polaris´ees (spins ~s classiques, tous dans la mˆeme direction), suppos´ees affranchies de tout couple (c’est plutˆot acad´emique `a premi`ere vue, mais n´eanmoins utile), et instables, ´emettant des photons d’´energie ε0 dans la direction de ~s. Reste `a d´eterminer dans quelles directions ces photons seront d´etect´es dans le laboratoire.

i) Calculer les composantesW⁰⁰ et −W→⁰ de la quadri-impulsion d’un photon ´emis par le spin~s, dans le rep`ere R_τ.

ii) En d´eduire queW

e peut s’exprimer comme une combinaison deS

e et de U e.

iii) En d´eduire l’expression du vecteur unitaire ˆw dans la direction des photons dans le laboratoire en fonction des composantes spatiales U,Set des.

iv) En d´eduire le comportement limite `a basse vitesse des composantesw<sub>x</sub>(t) etw<sub>y</sub>(t). (Refrain : faire apparaˆıtre une somme de contributions se distinguant par leurs comportements `a basse vitesse.)