Q2 Déterminer le nombre d’entiers n de 0 à 2020 tels que f(n

E140-Une suite trentenaire E1. Suites logiques

Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Q1 A partir des relations f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n + 1) = 1 − f(n), déterminer f(2020).

Q2 Déterminer le nombre d’entiers n de 0 à 2020 tels que f(n) = 0 Q3 Soit N = (2²⁰²⁰ – 1)². Calculer f(N)

source : concours général de mathématiques 1990

Solution de Paul Voyer

Q1

On peut dire aussi f(2n+1) = 1-f(2n) = f(2n)+1 modulo 2 puisque f(2n) = f(n).

f(n) est la parité du nombre de "1" de n exprimé en binaire.

https://oeis.org/A268411

f(2020) = f($7E4) = f(111110001002) = 6 modulo 2 = 0

Q2

Il y a 1010 entiers de 0 à 2020 dont le f vaut 0. (comptage EXCEL) Q3

2²⁰²⁰-1 s'écrit avec 505 fois F en hexadécimal.

Son carré s'écrit en hexa FFFF…E0000…1, avec 504 fois F et 504 fois 0.

f(N) = 0.