Pour n∈N, on note [|0, n|] l’ensemble des entiers naturelsk tels que 06k6n

Les calculatrices sont autoris´ees.

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N.B. Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a la concision de la r´edaction.

Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e

amen´e `a prendre.

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Ce probl`eme porte sur l’´etude d’une suite double et de diff´erents contextes dans lesquels on retrouve cette suite.

On d´esigne par N l’ensemble des entiers naturels, par N^∗ l’ensemble N priv´e de 0, par Z l’ensemble des entiers relatifs et par Rl’ensemble des nombres r´eels.

Pour n∈N, on note [|0, n|] l’ensemble des entiers naturelsk tels que 06k6n.

On note M_n+1(Z) l’anneau des matrices carr´ees d’ordre n+ 1 `a coefficients dans Z.

PourM ∈ M_n+1(Z), on noteM = (m_p,q)(p,q)∈[|0,n|]² o`um_p,qest l’´el´ement de la lignepet de la colonne q. Par exemple M ∈ M₂(Z) sera not´e M =

m_0,0 m_0,1 m1,0 m1,1

.

Pour M ∈ M_n+1(Z), on note det (M) le d´eterminant deM etcom(M) la comatrice deM.

R[X] d´esigne l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels et, pour n∈N, Rn[X] d´esigne le sous-espace de R[X] des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an.

Les partiesII,III etIV de ce probl`eme sont ind´ependantes entre elles ; seule la suite ´etudi´ee dans la partie Iapparaˆıt dans une question de chacune de ces parties.

PARTIE I

On d´efinit la suite double de nombres r´eels (a_p,q)_(p,q)∈

N² par : (i) a_0,0= 1

(ii) pour tout p∈N^∗,a_p,0 = 0 (iii) pour tout q ∈N^∗,a0,q = 0

(iv) pour tout (p, q)∈N²,ap+1,q+1=ap,q+ (p+ 1)qp+1,q.

La consid´eration d’un tableau, dans lequel lesap,qsont dispos´es avecpindice de ligne etqindice de colonne, pourra se r´ev´eler d’une utilit´e certaine.

I.1. Pour q ∈N, calculera_1,q. I.2. Calculer a_2,1 eta_2,2.

I.3. Pour q>2, exprimer a_2,q en fonction de a2,q−1. En d´eduire la valeur de a_2,q. I.4. Pour p∈N, on consid`ere la propri´et´eP_p :«pour toutq∈N, on a a_p,q∈N».

Montrer que pour tout p∈N, la propri´et´eP_p est vraie.

I.5. Pour p > q, calculerap,q. I.6. Pour p∈N , calculera_p,p.

I.7. Pour n∈N, on d´esigne par A_n la matrice carr´ee d’ordre n+ 1 (c’est-`a-dire `a n+ 1 lignes et `a n+ 1 colonnes), dont le terme de la ligne p et de la colonne q est ap,q, pour tout (p, q)∈[|0, n|]².

Expliciter les matrices A2,A3,A4 etA5. 1

PARTIE II

Dans cette partie,n d´esigne un entier naturel.

II.1. Soit M = (m_p,q)∈ M_n+1(Z).

II.1.1. Montrer que det (M)∈Z.

II.1.2. Montrer quecom(M)∈ M_n+1(Z).

II.1.3. On rappelle qu’une matrice M est inversible dans M_n+1(Z) si et seulement si M⁻¹ existe et appartient `a M_n+1(Z). Montrer que M est inversible dans M_n+1(Z) si et seulement si det (M) = 1.

II.2. On d´efinit la suite (Bp)p∈N de polynˆomes de R[X] par :B0 = 1 et pour p∈N^∗, B_p=

p−1

Q

j=0

(X−j).

II.2.1. Montrer que (B0, B1, . . ., Bn) est une base de l’espace vectoriel Rn[X] ; on notera (B) cette base.

On note (X) la base canonique (1, X, . . ., Xⁿ) de Rn[X].

On note P_n la matrice de passage de la base (X) `a la base (B) et Q<sub>n</sub> la matrice de passage de la base (B) `a la base (X).

II.2.2. On prend n= 4, expliciter les matricesP4 etQ4.

II.2.3. Montrer queP_n est une matrice triangulaire sup´erieure `a coefficients dans Z. II.2.4. Calculer det (P_n).

II.2.5. Montrer queQn est une matrice triangulaire sup´erieure `a coefficients dans Z.

On note Q_n= (β_p,q)(p,q)∈[|0,n|]². Pour toutq∈[|0, n|], on a doncX^q=

q

P

p=0

β_p,qB_p. II.2.6. En donnant `aXdes valeurs particuli`eres, d´eterminer les coefficientsβ0,q,β1,q,β2,q pour

q∈[|0, n|].

II.2.7. Montrer queQ_n=A_n o`uA_nest la matrice d´efinie au I.7.

PARTIE III

On note F l’espace vectoriel r´eel des applications de classeC^∞ d´efinies sur ]0,+∞[ et `a valeurs dans R. On d´efinit l’applicationφ deF dansF par :

φ(f) =go`ug(x) =xf⁰(x).

Pour q ∈N^∗, on noteφ^q=φ◦φ^q−1; ainsi φ² =φ◦φ (par convention :φ⁰=id_F).

III.1. V´erifier queφest un endomorphisme deF. Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Pr´eciser le noyau de φ.

III.2. D´eterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de φ.

III.3. Pour f ∈F, expliciterφ²(f). D´eterminer le noyau de φ² et en donner une base.

III.4. Soit n ∈ N^∗. Montrer qu’il existe des entiers d_p,q tels que, pour tout q ∈ [|1, n|] et tout f ∈ F, on ait la relation : pour tout x dans ]0,+∞[,φ^q(f)(x) =

q

P

p=1

dp,qx^pf^(p)(x), o`u f<sup>(p)</sup> est la d´eriv´eep-i`eme de f.

On admet que cette d´ecomposition est unique.

III.5. On convient que d_0,0 = 1 et que, pourp∈N^∗ etq∈N^∗,d_p,0=d_0,q = 0 etd_p,q= 0 si p > q.

Montrer que pour tout (p, q)∈[|1, n|]², on ad_p,q =a_p,q, o`u les a_p,q sont les termes d´efinis dans la partie I.

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PARTIE IV

IV.1. Soit ϕ la fonction d´efinie sur R par ϕ(t) = exp ((expt)−1), o`u exp est la fonction expo- nentielle.

IV.1.1. D´eterminer le d´eveloppement limit´e deϕ `a l’ordre 4 ent= 0.

IV.1.2. Pour nvariant de 1 `a 4, en d´eduire la valeur de la d´eriv´een-i`eme deϕen 0.

Soit E un ensemble de cardinal n , n ∈N. On appelle partition de E , tout ensemble de parties non vides de E, deux `a deux disjointes, dont la r´eunion estE. Chaque partie de la partition s’appelle une classe.

IV.2. Pour tout entier j∈N^∗ , on notePn^j le nombre de partitions deE en j classes.

Par convention, on note P₀⁰ = 1 et, pour tout n∈N^∗ etj∈N^∗,P_n⁰ =P₀^j = 0.

IV.2.1. Pour j > n, calculerPn^j.

IV.2.2. Calculer P_n¹ etP_nⁿ pourn∈N^∗. IV.2.3. On suppose j>2 etn>1. Soit a∈E.

En distinguant parmi les partitions deE enjclasses, celles pour lesquelles le singleton {a}est une classe de la partition, justifier l’´egalit´e P_n^j =P_n−1^j−1+jP_n−1^j .

IV.2.4. En d´eduire que pour tout (j, n)∈ N², on a P_n^j =a_j,n, les a_j,n ´etant les termes d´efinis dans la partie I.

IV.3. On note Pnle nombre de partitions de E. Par conventionP0= 1.

IV.3.1. Pour n variant de 1 `a 4, calculer Pn et comparer Pn `a ϕ⁽ⁿ⁾(0) o`u ϕ est la fonction d´efinie en IV.1.

IV.3.2. Exprimer Pn `a l’aide des Pn^j . Dans la suite, on admettra la formule (1) Pn+1 =

n

P

k=0

C_n^kP_k o`u lesC_n^k sont les coefficients du binˆome.

IV.3.3. Montrer que pour toutn∈Non a P_n6n!.

IV.4. Pour x∈R, on notes(x) =

+∞

P

n=0

Pn

n!xⁿ lorsque la s´erie converge.

IV.4.1. D´eduire de IV.3.3. que le rayon de convergence de la s´erie est sup´erieur ou ´egal `a 1.

IV.4.2. Montrer `a l’aide de(1)que pour|x|<1, on as<sup>0</sup>(x) =s(x) expx(on pourra d´evelopper en s´erie enti`ere expx et utiliser le produit de Cauchy de deux s´eries enti`eres).

IV.4.3. En d´eduires(x).

IV.4.4. Montrer que pour toutn∈N, on aPn=ϕ⁽ⁿ⁾(0).

Fin de l’´enonc´e.

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