E140-Une suite trentenaire MB
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Q1 A partir des relations f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n + 1) = 1 − f(n), déterminer f(2020).
Q2 Déterminer le nombre d’entiers n de 0 à 2020 tels que f(n) = 0 Q3 Soit N = (22020 – 1)2. Calculer f(N) .
Q1) f(2020) = f(1010) = f(505) = 1 – f(252) = 1 – f(126) = 1 – f(63) = f(31) = 1 – f(15) = f(7) = 1
Q2) f(2n) = f(n) et f(2n+1) = 1 – f(n)
Si f(n)=0, [f(2n),f(2n+1)] = [0,1] et si f(n) = 1, [f(2n),f(2n+1)] = [1,0]
Le nombre d'entiers n de [0,2k+1] tels que f(n)=0 est un de plus que le nombre d'entiers n de [0,2k – 1] tels que f(n)=0 .
Pour k=1 ce nombre est 2
Intervalle I [0,3] [0,5] [0,2019]
Nombre de 0 de f(I) 2 3 1010
f(2020) ≠ 0 donc le nombre de zéros dans f([0, 2020]) est aussi égal à 1010.
Q3) f[(22020 – 1)2]= f(24040 – 22021 + 1) = 1 – f(24039 – 22020 ) = 1 – f(22019 – 1) = f( 22018 – 1) (on a appliqué 2020 fois f(2k) = f(k) )
Ensuite 2x – 1 est impair, on retranche 1 et on divise par 2 :
f(2x – 1) = 1 – f(2x-1 – 1) = f(2x-2– 1) , f(2x – 1) = f(2x-2– 1) f( 22018 – 1) = f( 22016 – 1)= f( 22014 – 1) = ...= f( 22 – 1) = f(3) = 0 f[ (22020 – 1)2 ] = 0 .
D 4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [
*
*
* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é
