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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Ducamp, A. (1965). Variables aléatoires à valeurs dans un espace métrisable (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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THESE ANNEXE DE MONSIEUR A. DUCAMP

FACULTE DES SCIENCES _{Bruxelles, le âéc«nbr«}

₁₉₆₅

Mon cher Collègue,

J*ai l'honneur de vous faire connaître qu'une thèse de doctorat à examiner par le Jury que

vous présidez à été déposée en Faculté :

Nom du récipiendaire : DDCANP* André

Date du dépôt : lO DSCENBRE

1965

Sujet : VARIABLES ALBA

70

Vous voudrez bien prendre les dispositions requises pour procéder à l'épreuve en question.

Veuillez agréer, mon cher Collègue, l'expression de mes sentiments les meilleurs.

LE PRESIDENT DE LA FACULTE,

Faculté des Sciences

VARIABLES ALEATOIRES A VA

DANS UN ESPACE METRISAB

Directeur de Thèse t P.P. Gillis

LEURS

L E

Dissertation présentée en vue de l'obtention du titre de Docteiar en Sciences (Grade légal)

l’ous tenons o exnriner notre '>ratitude à '"onsieur le Professeur P. P. ’PILLIS pour avoir accepté de diriger cette thèse. Fous lui sommes particulierenent reconnaissants pour les conditions de travail qu'il nous a offertes dans son service.

Il nous est impossible de citer tous ceux qui, d'une manière ou d'une autre, ont influencé ce travail, ais nous ne pouvons omettre de reconnaître l'importance de 1'enseipnement de Messieurs les Professeurs

G. CHOQUKT et ^OI’ÏEÏ de l'Université de ’^aris.

^'onsieur J. ÜEVEU, aître de Conférence a l'Université de Paris, a eu l'amabilité de nous consacrer plusieurs heures de discussion ; nous tenons à l'cn remercier très vivement.

Pendant l'élaboration de ce travail, nous avons été associés aux activités du Séminaire d'Analyse et de l'Institut de Statistique de l'Uni­ versité Libre de Bruxelles. Ces contacts ont permis de nombreuses discus­ sions et séances de travail communes dont nous avons tiré le plus prand profit.

§1. Introduction

(a) Sujet de ce travail 1

(b) Plan de ce travail 3

(c) Conventions et Notations 6

§2. Mesures bornées dans un espace métrisable

(a) Intégrale de Daniell 8

(b) Définition d'une mesure bornée sur un espace métrisable 9

(c) Topologie sur 16

§3. Variables aléatoires à valeurs dans un espace métrisable

(a) Définitions et propriétés fondamentales 34

(b) Convergence presque sûre 38

(c) Théorèmes d'approximation 41

(d) Loi de probabilité 44

(e) Un théorème statistique 46

§4. Convergence stochastique de V.A.D.

(a) Convergence en moyenne d'ordre o( 50

(b) Convergence en probabilité 55

§5. Moyennes de Fréchet

(a) Définitions générales 61

(b) Minima de fonctions numériques 64

(c) Une loi des grands nombres 70

(d) Remarques sur les moyennes de Fréchet 72

§6. La moyenne et la moyenne conditionnelle de Doss

(a) Définitions générales 75

(b) Une loi des grands nombres 78

§7. Appendice I : Espaces topologiques Espaces métrisables

-Espaces métriques B5

§8. Appendice II : Equi-intégrabilité 92

Dans la section (a) de cette introduction, nous tentons de sitier

ce

des probabilités. Dans la section (b), nous donnons le plan de ce mémoire, en précisant quelles parties constituent notre apport personnel. Enfin, dans la section (c), nous introduisons certains termes, notations et con­ ventions qui sont utilisés constamment dans les paragraphes ultérieurs.

(a) Sujet de ce

On peut distinguer dans le développement de la théorie des proba­ bilités — comme d'ailleurs dans celui de bien d'autres théories meth^- matiques — trois grandes phases : une phase intuitive, une phase axio- matique et une phase structurelle. En gros, ces trois phases se succèdent

chronologiquement dans l'ordre énoncé. Mais il est clair qu'elles peuvent coexister ou même être étroitement imbriquées. D'autre part, la question de savoir laquelle de ces phases est la plus importante ou la plus carac­ téristique dans le développement de la théorie peut être longuement débat­ tue. Nous n'aborderons pas ici ces problèmes de priorité.

Lévy—ainsi que dans l'approche de nombreux problèmes statistiques. ’L'îais, l'existence de paradoxes d'une part, et les perspectives offertes par l'introduction par Borel, en 1909, de l'axiome d'additivité complète d'autre part, font sentir la nécessité et l'utilité d'un traite­ ment axiomatique des probabilités. Le nom de Kolmogorov domine cette se­

conde phase avec la parution, en 1933, de son fameux ouvrage sur les fon­ dements de la théorie des probabilités (cf. [IZ]) .Le calcul des pro­ babilités a alors pu s'épanouir en une vaste théorie unifiée dont le déve­

loppement sera de plus en plus étroitement lié à celui de l'analyse fonc­ tionnelle. Notons aussi que l'axiomatique a permis de séparer radicalement les problèmes mathématiques propres à la théorie des probabilités des pro­ blèmes pratiques d'adéquation de cette théorie aux phénomènes. Pour ces deux raisons au moins, l'oxionatique a joué un rôle important dans le déve­ loppement de la théorie des probabilités ces trente dernières années. Une étape significative de cette seconde phase est certainement la parutiin, en 1953, du livre de Doob sur les processus stochastiques (cf. [?]); ce livre atteste l'unité que l'axiomatique de Kolmogorov peut donner à la théorie des probabilités.

Dans la troisième phase, les probabilistes s'efforcent d'étendre les théorèmes classiques concernant les variables aléatoires réelles à des variables aléatoires "abstraites", c'est-à-dire à des variables dont le domaine est un espace muni d'une structure algébrique et/ou topologi­ que. Plus simplement, on peut dire que l'on étudie les propriétés proba­ bilistes de cette structure. C'est encore à Kolmogorov que l'on doit le travail de pionnier de cette phase. En 1935, il publie la première étude probabiliste des espaces de Banach. En 1940, Ito et Kawada étudient les distributions de probabilité sur les groupes compacts. En 1948, Fréchet publie le résultat de ses études sur les espaces distanciés — ou métri­ ques. En 1953-56, Fortet et Mourier publient différents travaux sur les éléments aléatoires à valeurs dans un espace de Banach.A partir de cette date, la cadence des publications accélère . En 1963, Grenander publie le t

premier livre qui présente une synthèse de ces travaux. Sa bibliographie, qui comprend une centaine de références â des articles récents, montre que cette troisième phase est en pleine extension.

Nous voudrions, pour terminer cette section, exposer les raisons qui nous ont amenés à étudier plus particulièrement les espaces métri- sables. Notre projet initial était l'étude probabiliste des espaces de Banach et d'autres espaces fonctionnels. Il nous est apparu peu à peu que la structure faible d'espace métrisable permettait déjà d'énoncer un certain nombre de résultats non-triviaux. Depuis les recherches de Fréchet, aucune présentation systématique n'a, à notre connaissance, été publiée. Il nous a semblé intéressant de rassembler ces résultats dans un premier travail. Evidemment, nous espérons pouvoir les utiliser ulté­ rieurement dans l'étude de structures plus riches.

(b) Plan de ce travail

Comme dans le cas réel, l'étude d'un élément aléatoire abstrait commence par l'analyse de sa loi de probabilité. Dans le cadre de ce travail, nous sommes ainsi amenés à étudier les mesures de probabilité définies sur un espace métrisable (§2). Nous examinons ces mesures eous deux aspects : l'aspect "intégrale de Daniell" d'une part et l'aspect "mesure de Carathéodory" d'autre part. Ayant rappelé l'équivalence de ces deux conceptions (§2 (a), (b)), nous étudions assez longuement la convergence faible de ces mesures c'est-à-dire ce que l'on pourrait appe­ ler, en termes de probabilité, la convergence en loi (§2 (c)).

Fréchet (cf.[2S3) et Gnedenko-Kolmogorov (cf. [9^ ) ont proposé deux géné­ ralisations apparemment différentes de la convergence légale. Nous avons montré leur équivalence (Proposition 2G). Nous avons appris par la suite que cette équivalence avait été montrée par Billingsley (cf. [22^); néan­ moins, notre résultat est plus complet. Dans le cas où l'espace est loca­

œnvergence vague. C’est pour pouvoir traiter de la convergence vague que nous avons dû considérer les mesures bornées et non seulement les mesures de probabilité. Mous énonçons un critère de convergence vague (Proposi­ tion 2G') et un critère de compacité (Proposition 21) qui sont probable­ ment connus mais que nous n'avons pas rencontré dans la littérature. Notons, pour terminer ce commentaire du §2, que la proposition 2B(iv) et sa principale conséquence (corol. de la proposition 2G), qui sont dues à Varadarajan (cf. [29]), montrent l'intérêt qu'il y a de traiter le cas des espaces métrisables sans imposer §_Eriori une métrique.

Suivant 1'axiomatique de Kolmogorov, nous définissons, dans le §3, les variables aléatoires à valeurs dans un espace métrisable — en abré­ gé, V.A.D. — comme dcr. applications mesurables d'un espace de probabilité dans un espace métrisable. Mais, pour pouvoir établir un certain nombre de lemmes indispensables dans la suite, nous avons dû ajouter une hypothèse de séparabilité. Une hypothèse analogue se trouve déjà dans les travaux de Pettis sur l'intégration dans les espaces de Banach. Sous cette hypo­ thèse, nous avons pu généraliser sans grandes difficultés plusieurs théo­ rèmes classiques et, en particulier, des théorèmes d'approximation utili­ sés dans la théorie de l'intégrale de Bochner (cf. §3(c)). A la section (e), nous rappelons un théorème statistique de Varadarajan pour lequel l'hypothèse de séparabilité est une condition nécessaire. Nous montrons enfin que ce théorème peut être étendu à des processus stationnaires mé- triquement transitifs.

choisie, nous en déduisons facilement que la convergence en probabilité dérive d'une distance pour laquelle l'espace des V.A.D. est complet. Plusieurs résultats de ce paragraphe ont des applications importantes lorsque D est un espace de Banach.

Le §5 est consacré aux moyennes de Fréchet. Généralisant un résul­ tat de Kemeny (cf.[27]), nous établissons une loi des grands nombres pour ces moyennes. La généralisation porte sur deux points : les variables con­ sidérées ne sont plus nécessairement élémentaires; l'ordre des moyennes est quelconque. Ce théorème est basé essentiellement sur des lemmes concernant les minima des fonctions numériques que nous énonçons séparé­ ment dans la section (b). Dans la section (d), nous donnons des exemples qui mettent en évidence certains aspects "pathologiques" des moyennes de Fréchet. Il semble que, malgré les résultats établis, les moyennes de Fréchet restent un instrument peu maniable.

Dans le §6, nous étudions un autre type de moyenne : la moyenne de Doss (cf.[24]). Après avoir rappelé et généralisé légèrement une loi des grands nombres établie par cet auteur, nous étudions, après Benës (cf.[2lj), les martingales sur les espaces métriques. Il apparaît que l'on peut géné­ raliser plusieurs résultats de Doob concernant la convergence de martinga­

les et de martingales renversées. Malgré la restriction qu'apporte une hypothèse de compacité, il paraît vraisemblable que ces propositions pour­ raient être utilisées dans l'étude des martingales dans les espaces de Banach.

(c) Conventions at Notations

Comme nous l'avons déjà laissé entendre, la présentation suit dans son ensemble l'axiomatique de Kolmogorov. Cela veut dire que nous suppose­ rons toujours donné un espace de probabilité, c'est-à-dire un triplet

P) où ; Q désigne un espace abstrait dont les points w sont appelés

réalisations ; Cl désigne un a-corps de parties de ^ (cCtest donc une classe

de parties de Çi stable pour la réunion dénombrable et le passage au complé­ mentaire); P est une mesure de probabilité définie sur CL(P est donc une

fonction d'ensembles, complètement additive et telle que P(f^) = 1). Nous supposerons en outre que P est une mesure complète (toute- oartie d'un en­ semble négligeable (= de probabilité nulle) est mesurable). Cette hypothèse de commodité est parfois utile (cf. Proposition 3A).

Une variable aléatoire — en abrégé V.A.R. — est une application X(m) mesurable de (fi,fcL) dans JR = [-», -t-œj . Son espérance mathématique, désignée par E(X), est définie par

E(X) = /x"^ dP - /X~ dP,

pourvu que cette expression ne soit pas de la forme <» - <» ^ Nous utilise­ rons, sans référence explicite, la théorie de l'intégration telle qu'elle est développée dans Halmos (cf.[ll]) ou dans Loève (cf.[l3]). L'espérance mathématique conditionnelle d'une V.A.IR. X étant donné un sous-a-corps (S

(®C(3.) sera désignée par

E(x|dâ

connus concernant l'équi-intégrabilité sont rappelés au §8.

En dehors des notations généralement acceptées de la théorie des ensembles, nous utiliserons certaines conventions particulières. Nous représenterons toujours par A' le complémentaire d'un ensemble A. La réu­ nion de deux ensembles A et B ne sera notée A B que si ces deux ensem­ bles sont disjoints. D'autre part, si P(x) désigne une propriété d'un élé­ ment générique x d'un ensemble A, nous désignerons par {xe^A; p(x)}l'en-

La flèche simple désigne une convergence dont la nature sera précisée

par le contexte; les flèches f et t désignent des convergences monotones.

Les autres conventions topologiques sont précisées au §7.

Les abréviations logiques ont généralement été évitées. La seule exception étant l’usage de la double flèche => pour l’implication et du

symbole pour la double implication.

Dans la rédaction, il nous a semble commode d’utiliser le "resp." de Bourbaki et de marquer par le signe // la fin d’une démonstration.

Dans ce paragraphe, nous commençons par rappeler un théorème fonda­ mental de Stone qui généralise une proposition fameuse de F. Riesz (sec­

tion (a)). Nous particularisons ensuite ce théorème au cas des espaces mé- trisables et à certains espaces localement compacts (section (b)). Enfin, dans la section (c), nous énonçons certains résultats nouveaux (ou peu connus) concernant les topologies faibles et vagues sur des ensembles de mesures bornées. En particulier, nous établissons des critères de conver­

gence et un critère de compacité.

(a) Intégrale de Daniell

Nous désignons par B(fi) l'ensemble des fonctions réelles, définies et bornées sur un ensemble abstrait Q. On sait que B (SI) est un espace de Banach pour la norme de convergence uniforme.

Il

II

(to)

Un espace vectoriel réticulé de fonctions réelles définies sur SI est un sous-espace vectoriel L(fi) de B(S1) qui jouit de la propriété sui­ vante : si f et g appartiennent à L(S2), alors sup(f, g) et inf(f, g) appar­

tiennent également à L(S1) .

Une intégrale de Daniell sur l'espace réticulé L(S1) est une forme E définie, linéaire et positive sur L(Q) qui esf continue pour les limites monotones. Plus explicitement, les conditions sur E sont les suivantes :

E(f + g) = E(f) + E(g), (1)

(3) (4) f à 0 E(f) ^ 0,

f + 0 E(f ) 4- 0.

n n

Dans (4), 4 0 signifie que la suite {f^j n = 1» 2, ... } est

décroissante et tend simplement vers 0 lorsque n -> «>. Nous avons la proposition fondamentale suivante.

Proposition 2A (Riesz-Stone). - Soit L(0) un espace vectoriel réticulé de fonctions définies et bornées sur un espace abstrait fi. Supposons que L(fi) satisfait en outre à la condition

fe L(fi) inf(f, 1) e: L(fi).

Désignons par C2^1e plus petit a-corps de parties de fi qui rend les fonc­ tions de L(fi) mesurables. Dans ces conditions, la formule

E(f) = /f du établit une correspondance biunivoque entre

(i) les intégrales de Daniell E définies et bornées sur L(fi); (ii) les mesures u définies et bornées sur (fi,(5L).

Ce théorème résulte immédiatement de considérations développées dans Loomis, [l4], Ch. III, §13 ou dans Zaanen, [l6] Ch. IV, §17. Le cas particulier des mesures de probabilité est traité dans Neveu, [15], Ch.II, §7.

(b) Définition d'une mesure bornée sur un espace métrisable

t

unifomément continues et bornées sur D. Les propriétés essentielles de ces ensembles sont rassemblées dans la

Proposition 2B. - (i) C(D)et U(D,d) sont des espnces vectoriels réticulés. (ii) C(iD) et Ü(ID, d) sont des espaces de.Banach _£our_la noimie de la con- vergence uniforme.

(iii) Si D est compact, C(D) est un espace de Banach séparable. (iv) Si D est séparable, il existe une distance d telle que l'espace U(D, d) soit un espace de Banach séparable.

Démonstration : La vérification de (i) ne présente aucune difficulté. Pour démontrer que le supremum de deux fonctions (uniforaément) con­ tinues est une fonction (uniformément)continue, on se servira de l'iné­ galité élémentaire

|sup(f(x),g(x)) - 3up(f(x'),g(x'))I ^ max(If(x)-f(x')j,|g(x)-g(x')I).

On a évidemment une inégalité analogue pour l'infimûm.

Pour démontrer (ii), on démontre d'abord que toute limite uni­ forme de fonctions (uniformément) continues est (uniformément) continue. Cela résulte facilement de l'inégalité

|f(x) - f(x')| ^ |g(x) - g(x')| + 2||f - g||.

On en déduit que C(D) et U(D, d) sont des sous-espaces vectoriels fermés de l'espace de Banach B(D) des fonctions réelles, définies et bornées sur D.

La partie (iii) de l'énoncé est bien connue. Nous en donnons une démonstration d'après Bourbaki (cf.[4]. Ch.10, §3, n°3) et nous montrons que cette démonstration contient en fait une démonstration du (iv).

S1 l'espace mêcrlsable D est compact, toute distance d compatible avec sa topologie est telle que : a) l'espace métrique (D, d) est précom­ pact; b) toute fonction continue sur D est uniformément continue sur (D, d). Les énoncés (iii) et (iv) peuvent donc se ramener à un énoncé unique ;

l'ensemble U(0, d) des fonctions uniformément continues sur un espace mé­ trique précompact (D, d) est un espace de Banach séparable.

Désignons par G l'ensemble des fonctions f ez U(D, d) telles que mn

d(x, x') < l/m entraîne |f(x) - f(x')| < 1/n, Il est clair que, pour tout

n fixé,

U

mn m

L'espace métrique (D, d) étant précompact, il existe, pour tout m fixé, un sous-ensemble fini A = {a,, a», ..., a , .} de D tel que les boules de centre a^ et de rayon l/m recouvrent l'espace D. Soit ili une fonction définie sur l'ensemble fini A et prenant ses valeurs dans l'en­ semble Q des rationnels. L'ensemble des fonctions f e; G telles que

mn

1 f (a^) - <Ka^) I 1/n, 1 i ^p(m), (1)

peut être vide. S'il est non vide, choisissons un élément g dans cet •P

ensemble. Désignons par L la partie de G constituée par les fonctions

mn ton

g^ ((J) parcourant l'ensemble dénombrable QP(™' des applications de A dans Q). L'ensemble L est tel que pour toute fonction f^ G ,11 existe une

mn mn

fonction g e: L vérifiant la relation llf - g|| ^ 4/n. En effet, nous avons mn

pour tout X ^ D,

|f(x) - g(x)| |f(x) - f(a.)| + |f(a^) - g(a^)| + |g(a^) - g(x)|

^ 1/n + 2/n + 1/n

si d(x, a^) < l/m et si f et g vérifient simultanément (1),

Finalement, on en déduit que l'ensemble dénombrable L * L m,n mn est dense dans U(D, d). En effet, pour toute fonction f e:ü(D, d) et pour tout n, il existe un entier m tel que f

g e: L telle que j|f - g|l — 4/n,

mn Il existe donc une fonction

On peut remarquer avec Varadarajan (cf. [29]) que (iv) peut aussi être déduit directement de (iii). En effet, si l'espace (D, d) est précom­ pact, son complété (O, d) est compact; en outre, les espaces U(D, d) et U(D, d) sont isomorphes.

Définition 2A. - Etant donné un espace raétrisable D, on appelle ensembles boréliens de D les_ensembles_a££artenant au £lus petit o-corps <2i contenant

les ouverts de D.

Cè> est évidemment aussi le plus petit o~corps contenant les fermés de D.

Proposition 2C. - Etant donné un es£ace métrisable_D(res£. un es£ace métri­ que (D, d)), S) est le plus £etit (r-corps rendant mesurables_les fonctions ap£artenant à C(D) (resp. U(D,d)).

Dëmonstration : Désignons par S(resp. paril) le plus petit a-corps rendant mesurables les fonctions de C(D) (resp. de U(ID, d)). Comme toute fonction uniformément continue est continue et comme toute fonction continue est

-mesurable, il est clair que 'IL C. <z. Sh.

Pour démontrer que ©cli,, il nous suffit de montrer que tout fermé F appartient à “LL . Or, la fonction inf(d(x, F), 1) appartient à U(D, d)

(cf. §7 (g)) et nous avons

F = {X e D; inf(d(x, F),l) = 0} .

Finalement,= S =(quelle que soit la distance d). //

Corollaire. - Etant donné un espace métrisable D(resp. un es£ace métrique (D, d)), la formule

E(f) = /f du, f e C(D) (resp. f €. U(D, d)), établit une correspondance biunivoque entre

(i) les_mesures bornées U sur (D, (Ê) );

Démonstration : Cela résulte immédiatement des propositions 2A, 2B et IC.II

Dans la suite de ce mémoire, les mesures que nous introduirons sur des espaces métriques ou métrisables seront toujours définies sur le cr-corps

Ch des ensembles boréliens. Nous désignerons par Cè>) (resp.W> (D,<£>)) l'ensemble des mesures bornées (resp. des mesures de probabilité) sur l'es­ pace D.

La théorie de la mesure dans les espaces métrisables — ou, plus généralement, dans les espaces topologiques — est particulièrement riche lorsque l'espace est localement compact. Le livre de Bourbaki est, par exemple, entièrement consacré à ce cas particulier. La théorie de la mesure dans les espaces localement compacts a naturellement servi souvent de guide dans l'étude de cas plus généraux. Nous terminons cette section par deux propositions qui mettent en évidence les particularités de cette théorie.

Considérons un espace D métrisable et localement compact. Pour éviter certaines difficultés techniques, nous supposerons en outre que D est dénombrable à l'infini; D est donc une réunion dénombrable de compacts. Dans ces conditions, D est séparable.

Désignons par K(D) l'ensemble des fonctions définies et continues sur D et à support compact (nulles en dehors d'un compact). K(D) est un espace vectoriel réticulé. On déduit facilement de la proposition 2B que K(D) est un espace normé séparable (pour la norme de la convergence uni­

forme) . Si D n'est pas compact, K(D) n'est pas un espace de Banach. L'analogue de la proposition 2C est la

Démonstration : Désignons par üi le plus petit a-corps rendant mesurables les fonctions de K(D). Comme toute fonction continue est 6â-mesurable, il est clair que Oiicdà.

Pour démontrer que , il nous suffit de montrer que tout

fermé F de D appartient à CKj . Comme l'espace est dénombrable à l'infini,

tout fermé est une réunion dénombrable de compacts. Il nous suffit donc de montrer que tout compact C appartient à S-G. Soient 0 un ouvert relati­ vement compact (0 compact) contenant C et f une fonction continue sur D, à valeurs dans [O, l], égale à 1 en tout point de C et égale à 0 en tout point complémentaire 0' de 0. Le fait que l'ensemble 0 et la fonction f existent résulte de propriétés bien connues des espaces localement com­ pacts. D'autre part, la fonction

g(x) = ---1 + d(x, C)

est définie et continue sur D, prend ses valeurs dans [O, l] et égale à 1 sur et uniquement sur C. Finalement, fg £ K(D) et

C = {X c D; f(x) g(x) = 1}

Ce qui montre que C doit appartenir à . //

Cette proposition montre que, lorsque D est localement compact, on peut étudier les mesures bornées sur D en ne considérant que le sous- espace K(D) de C(D). La proposition suivante montre l'utilité de cette modification. Ce résultat est bien connu; on le trouve, par exemple, dans Loomis, [14], §16. (L'introduction de K(D) permet également l'étude de mesures non bornées mais nous ne nous intéressons pas ici à cette généralisation).

Proposition 2D. - Soient D un espace localement compact, K(D) l^en- semble des fonctions définies et continues sur D, à supgorts_comgacts.

Autrement dit, dans le cas des espaces localement compacts, la condition (4) de la section (a) résulte des conditions (l)-(3). Ce résul­ tat est d'autant plus précieux que la condition de continuité pour les limites monotones est la plus difficile à vérifier. La démonstration est basée sur le

Lemme de Dini. Si f^ ^ K(D) et si f^ + 0, alors f^ converge uniformément vers 0.

(En effet, posons, pour tout e > 0 fixé,

C = {x e D; f (x)^ e}.

n n

Les C sont compacts et | iC =0, donc C =0 pour un n au moins.

Finalement, ||f^|| < e pour un n et, suite à l'hypothèse de décroissance, pour tous ceux qui le suivent)

Démonstration ; Soit {f^î n = 1, 2, ... } une suite dans K(D) telle que f^ 4- 0. Suite à l'hypothèse de décroissance, les supports des f^ sont tous contenus dans un compact C. Soit g une fonction de K(D) valant 1 sur C. Nous avons

E(f^) = E(f^g)^ ||fjE(g) + 0

puisque, d'après le lemme de Dini, |lf^|l + 0* //

Corollaire. - Etant_donné un espace raétrisable D, localement compact et dénombrable à l'infini, la formule

E(f) = /f dp, f e K(D),

établit une correspondance biunivoque entre (i) les mesures bornées u sur (D,(2>);

(c) Topologies sur )

Dans cette section, nous étudions la convergence vague et la convergence faible de mesures définies sur un espace métrique ]D. Les résultats que nous exposons tendent à généraliser des théorèmes bien connus lorsque l'espace métrique D est la droite réelle IR. Nous com­ mençons donc par rappeler brièvement ces résultats.

On sait que la formule

p[a, b) = <()(b) - (|,(a) établit une correspondance biunivoque entre

(i) les mesures bornées p définies sur (IR,(3b);

(ii) une classe d'équivalence de fonctions de répartition (jj, définies à une constante additive près.

Par fonction de répartition, nous entendons une fonction (j) définie et croissante sur R, continue à gauche et bornée. En formules

a b =* (j)(a) ^ (()(b) ; lim (j)(b) = <j)(a) ; bf a

(j)(_oo) = lim (x) > -oo ; (j)(+a>) = lim ij)(x) < +<».

X-)~co x->^

Soient = 1» 2, .,..),p des mesures bornées sur (R,(è ) et

è ,(n = 1, 2, é des fonctions de répartition de ces mesures. Si 6 (x)

n n

converge vers <!)(x) en tout point de continuité de <(), on dit que les mesu­ res convergent vaguement vers la mesure p. Si, en outre, on a

4>n(-") <)>(+")»

on dit que les mesures convergent faiblement vers la mesure p-.

de mesures bornées sur (R, ) converge vaguement (resp. faiblement) vers la mesure bornée y si, et seulement si,

/ f dy^--- >-/ f dp , (n oo) ,

pour toute fonction f appartenant à K(R)(resp. appartenant à C(1R)).

Rappelons aussi que P. Lévy a introduit une distance L sur 1 ’espace^, (R,(!b) b

telle que ; (i) une suite {y^î n = 1, 2, de mesures bornées sur (IR,(à)

converge faiblement vers la mesure bornée y si, et seulement si, L(y ,y) ->0; (ii) l'espace (R, £) ) muni de la distance L est complet. Rappelons enfin qu'un ensemble de mesures uniformément bornées est séquentiellement compact pour la topologie vague. Tous ces résultats sont démontrés soit dans Loève

([l3]. Ch,4), soit dans Gnedenko et Kolmogorov ([9], Ch. 2)^. Cette introduction justifie la

Définition 2B. - Etant donné un espace métrisable D, une_suite {y^^j n = 1» 2, ... } de mesures bornées définies sur (D,Cè ) converge_faiblement vers la_mesure y définie sur (D,(Ô) si^ £Our toute fonction f «: C(1D), on_a

/f dy^-^ /f dy, (n (1)

Si D est localement_compact et si la condition (1) est vérifiée

pour toutes les fonctions f K(0), on dit gue la_suite {y^5 2, ...}

converge vaguement vers y.

Notons qu'une mesure bornée y définie sur (D,C2>) est une forme linéaire continue sur C(D). En effet, nous avons

l/f dy| ^ /|f |dy ||f I .y(D) .

Otb^(D,(S) ) est donc une partie du dual topologique [C(D)]' de C(1D). De plus.

la notion de convergence introduite dans la définition 2B dérive de la

restriction de la topologie faible de [C(D)]' ).

Si 0 est localement compact, on constate de la mime manière que

) c: [k(0)]’. Dans ce cas, la proposition 2D permet mime de

préciser que (D, ) est identique au cône positif de |^K(D)J'.

Finalement, la convergence vague dérive de la topologie faible de [k(D)]'.

En général, la topologie faible est plus fine que la topologie vague. Ces deux topologies sont identiques si, et seulement si, 0 est compact.

Nous avons rappelé à la section (b) de ce paragraphe le double aspect de la notion de mesure : l'aspect "intégrale de Daniell" d'une part et l'aspect "fonction complètement additive d'ensemble" d'autre part. La définition 2B est formulée en termes d'intégrales. En théorie des probabilités, il est souvent utile de connaître la contre-partie de ces notions de convergence en termes de fonction d'ensembles. La suite de cette section est principalement consacrée à cette transposition. Dans cette perspective, il est commode d'introduire la

Définition 2C. - Etant_donnees une mesure bornée y définie sur (D,(ü) ) et une partie A de D, on dit que U est continue en A si y(Â) = 0.

Dans cet énoncé, A désigne la frontière de A(cf. §7 (b)). Pour toute partie A de D, A est un fermé; l'expression P(70 est donc toujours définie. Dans la suite, nous désignerons par la classe des ensembles boréliens où la mesure y est continue.

Démonstration : Pour démontrer que est un corps, il suffit de montrer y

que :

a) 0 €1 b)(2)^ est stable pour la réunion; ®st stable pour le

passage au complémentaire, a) est immédiat, b) résulte de y(rn^)^H(A U 1) ^ y(A) + p (B) ,

où la première inégalité est une conséquence de la formule U B C Â U B (cf. §7(b)).

c) résulte immédiatement de l'égalité A' = Â (cf. §7(b)).

Démontrons maintenant que le corps d'ensembles vérifie la con-y

dition de densité (A) . Soient F un fermé et 0 un ouvert contenant F. Nous savons qu'il existe une fonction f, définie et continue sur ü, prenant ses

valeurs dans

[o,

0

F

1

0'

de

0.

(J)(u) = y{x e D; f (x) < u}

(j) est donc la fonction de répartition associée à la mesure image de pi par f, Soit a un point de (0, 1) où (j> est continue. Posons

A = {x e D; f(x) < a} . (2)

Il est clair que A est un ensemble fermé tel que F C A c 0. D'autre part, P est continue en A. En effet,

A C {x e D; 'f(x> = a} et

y{x e D; f (x) = a} = lim 4>(u) - <))(a) = 0 u+a

puisque (f) est continue en a. Mous avons donc y(Â) = 0. Si, au lieu de (2), on avait posé

A = {x e D; f(x) < a} ,

Proposition 2F ; Soit S un_cor£s d^ensembles boréliens de l'espace mêtri- sable D. Les deux_conditions suivantes sont équivalentes :

(A) Quels que_soient_le_femé F et l^ouvert 0 contenant F, il existe un ensemble Ee S tel que F C E C 0.

(B) ^2lle_2ue_soit_la_fonction f e C(D), il existe une suite = 1»

2, ...} de_fonctions S-étagées_2ui_converge uniformément vers f.

La_condition (A) fou (B)) iro£lioue gue le corps S engendre le ar-cor£s C© .

Rappelons qu’une fonction (numérique) est S -étagée s'il existe

une partition de D, D = + A^ + et une suite de nombre réels,

a , a , ... , a telles que : a) les ensembles A. appartiennent à 6 ;

i- / n 1 ■

b) on a la relation

* ■ ? b b. >

1 1

OÙ, comme d'habitude, désigne la fonction caractéristique de A^.

’i

Démonstration : Démontrons que (A) implique (B), Soient f €1 C(D), m et M deux nombres tels que m < f < H. Pour tout £ > 0 fixé, il existe une sub­ division

m=a <a,<a„< ... <a <a.^=H

O 1 2 n n+1

du segment [m, IJ] telle que < i < n).

Posons

0. = {x e D;f(x) < a.}, F. = {x £ D; f(x) < a.} , i = 0, 1, ... , n+1.

1 il 1

Les ensembles 0. sont des ouverts, les ensembles F. sont des fermés. De plus, nous avons

0 = 0 = F CO. c F c O c F C...C0 cF C0 =F =D.

oo 1 122 nn n+1 n+1

Par hypothèse, il existe des ensembles E^ appartenant à S tels que F. ,C E. C 0.,

Posons

A. _{1 1+1 1 > 7 .} ••• , n •_,

Comme S est un corps, les ensembles appartiennent à S. D'autre part, comme E , = D, ces ensembles fondent une partition de D. Enfin, nous

n+1 avons

A.^ C i 1» 2, 3, ... ,

On en déduit que, pour tout x e A_, on a ^i-i < ' '>1*1 ou encore

If(x) — a^I < e, f ~ 1» 2, 3, ••• , n .

Finalement, on voit que la fonction n

g(x) = ^ a^

i=l 1

est 5-étagée et telle que

If(x) - g(x)I < e

sur D. Ceci achève la première partie de la démonstration.

Inversement, pour démontrer nue (B) implique (A), considérons un ensemble fermé F et un ensemble ouvert 0 contenant F, Nous savons qu'il existe une fonction f, définie et continue sur D, prenant ses

valeurs dans

[o,

0' de 0. D'autre part, il existe, par hypothèse, une fonction g, G-étagée, telle que

|f(x) - g(x)I < 1/2 sur D. Posons

On montre facilement que E est un ensemble de S tel que Oc E c F, Enfin, désignons par ^ le plus petit o-corps contenante. Comme

Sc(B, il est clair que . Pour démontrer l'inclusion inverse,

rappelons que toute limite simple — et, a_fi>rtiori, toute limite uni­ forme — de fonctions ^-mesurables est ^-mesurable. La condition (B) implique donc que toute fonction continue est «^-mesurable. En vertu de

la proposition 2C, ceci entraîne que Obc(^. //

Nous pouvons maintenant démontrer la

Proposition 2G (Critère de convergence faible). - Soient y et y^(n=l,2,...) des mesures bornées^_définies sur l'espace (D,®). Les conditions suivantes

sont équivalentes :

(i) converge faiblement vers y.

(ii) Pour toute_fonction f appartenant à U(D, d), on a

jf dy^ —>- |f d|i, (n ^ oo) .

(iii) tend vers y(D) et_pour tout ensemble fermé F, on_a

y (F) ^ lim^ sup •

(iii') tend_vers_y(D) et pour tout_ensemble_ouvert 0, on a

y(0) ^ lim inf y (0) . Il n (iv) Pour tout ensemble AeÜb^,

Mn^^) --- y (A), . (n ->■ “) .

(v) Pour tout ensemble_ouvert_où y est continue,_on a_(4).

(v') Pour tout ensemble_fermé_oü y est continue^ (^)•

(vi) Pour tout_ensemble E appartenant_a_un_cor£s_d'ensemble'S. vérifiant la condition de densité (A), on a (4).

(3)

(3')

Notons que la condition (ii) suppose que l'on ait choisi une distance d sur D.

Fréchet introduit la convergence faible par la condition (iv) (cf. [25] , p. 275) .

Démonstration : Nous allons démontrer les implications (i) => (ii) => (iii) <=> (iii') —> (iv) ==> (v) <=> (v') —> (vi) => (i).

(i) ==> (ii). Immédiat puisque U(D, d) c C(D). (ii) ==> (iii). Soit F un fermé de D. Les ensembles

0^ = {x e D; d(x, F) < 1/i} (i = 1, 2, 3, ...)

sont tels que 0^ -l- F lorsque i Pour tout e > 0 fixé, il existe un

entier j tel que

P(Oj) < P (F) + e .

Comme la distance d(F, 0^) de F au complémentaire 0^ de 0^ est supérieure ou égale à l/j > 0, il existe une fonction f <=: U(D, d), prenant ses valeurs

dans

[o,

/f dp^ /f dp, nous avons, pour n suffisamment grand

P (F) ^ /f dp ^ /f dp + e ^ -^(0.) + e ^ p(F) + 2e ,

Il en résulte que

lim sup P (F) — F(F) + 2e n

Comme e est arbitraire, (3) est démontré. Enfin, nour démontrer que p (0) n tend vers U(D), il suffit de poser f identique à 1 dans la condition (ii).

(iii) ==>(iii’). En effet, nous avons, si 0 désigne un ouvert et 0* son complémentaire,

p(0) = p(D - 0') ^ lim P (D) - lim sup p (0')

n n n n

= lim inf p (D - 0’)

n n

= lim inf p (0),

oü l'inégalité résulte de l'hypothèse (iii) et du fait que 0' est un fermé. D'une manière analogue, on montre que (iii') ==> (iii).

(iii) (et (iii')) ==> (iv). Soit A un ensemble borélien où y est continue (A £ <3)^). Nous avons

lim sup y (À) — lim sup U (A) (puisque A c A)

n n n 'n

Dans cette expression, térieur de A (cfr. §7

^ y (A) = y (A)

O — lim inf y (A)

n n

— lim inf y (A)

n n (d'après (iii)) (continuité de ^ en A) (d'après (iii')) O (puisque A C A)

A et A désignent respectivement la fermeture et 1'in-(b)). Finalement, nous avons

lim y .(A) = y (A.) . n- n

(iv) ==> (v). Immédiat.

(v) <==> (v'). Remarquons que si 0 est un ouvert ou y est continue, 0' est

un fermé où y est continue. On voit alors que la démonstration de cette équivalence est analogue à la démonstration de (iii)<==> (iii').

(v') ==> (vi). Soit A^(i = 1, 2) deux ensembles tels que

y^(Ai) -s- y (A,), (n -> “) .

Si A^n A^ = 0, il est clair que

yn(AiU A2) —^ y(A^U A2), (n ^ “). (5)

Si, d'autre part, A^3 A2, on vérifie immédiatement que

y^(A^ - —»■ y(A^ - A^), (n -»■ °°). (6)

Notons d'autre part, que les ensembles fermés de D où y est con­ tinue forment un treillis d'ensembles (classe d'ensembles stable pour la réunion et l'intersection) (cf. la démonstration de la proposition 2E). Le corps d'ensemble 'Ç, engendré par ces fermés est donc constitué des réunions disjointes de différences propres de fermés où y est continue

(cf., par exemple, [il] , ex. 2 et 3, pp. 25-26). Ln vertu de (5) et de (6), tous les éléments de ^ vérifient la condition (4). La proposition 2E montre enfin que ce corps vérifie la condition de densité (A).

(vi) ==> (i). Soit f une fonction de C(D). D'après la proposition 2F, il

existe une fonction Ç-étagée

g = I a. , (A.e e),

i i

telle que [| f - g| < e.., (e>0, arbitrairement fixé). Nous avons

l/f 4y^ - /f dy| ^ l/f dy^ - /g dy^l

+ l/g dy^ - /g dy|

+ l/g dy - Jf dy| . (7)

La suite y (D) converge par hypothèse vers y(D); les nombres y (ID)

n n

(n = 1, 2, O..), y(Œ)) sont donc bornés par^ disons, M. Le premier et

le troisième terme du second membre de (7) sont, quel que soit n, infé­ rieurs à eH. D'autre part,

/g dP^ = I l ^ (A.) = /g dy

i i

lorsque n puisque, par hypothèse, ^ p(A^). Le premier

membre de (7) peut donc être rendu arbitrairement petit pour n suffisa-

ment grand. //

Corollaire. - Si 0 est un espace métrisable et séparable, il existe un de fonctions continues tel } de mesures bornées sur ©, ensemble dénombrable {f,J k = 1, 2, 3, ...} de fonctions continues tel

les_conditlons suivantes sont équivalentes

(i) i£_suite n = 1, 2, 3, ... } converge faiblement vers y ;

(ii) pour tout k = 1, 2, 3, ...

^>^n — ^^o

lorsque n ->■ Cû O

Démonstration : Munissons l’espace D d’une distance d compatible avec sa topologie et telle que l'espace de Banach U(D, d) soit séparable (cf.

proposition 2B), Désignons par k = 1, 2, 3, ... } un ensemble de

fonctions (uniformément) continues, dense dans U(1D, d). Si une suite n = 1, 2, 3, ...} de mesures bornées vérifie la condition (i), il est clair qu'elle vérifie la condition (ii). Inversement, supposons que cette suite vérifie la condition (ii). Pour toute fonction f e U(D, d), nous avons

I /f - /f dpj l/f - /f^ d„J

* ‘“'‘n - Pk ‘'"ol

* l/^k '**‘0 ' Comme

l/f dy^ - Jf^ dy^l ^ /|f - î^\ dy^^ || f - fi,|lu^(D), n = 0, 1, 2, ...,

on peut prendre k de telle manière que le premier et le troisième terme de (8) soient inférieurs à e/3. L’hypothèse (ii) implique que le second terme du second membre de l’inégalité (8) est inférieur à e/3 dès que n est suffisamment grand. Finalement, on voit que

/f ^^o’ (n -^ “),

pour toute fonction f ei U(D, d). Ceci entraîne (i) en vertu de la propo­

La proposition 2G possède un équivalent partiel lorsque ü est localement compact et lorsque la convergence considérée est la conver­ gence vague.

Proposition 2G' (Critère de convergence vague). - Soit D un_espace_mé- trisable, localement compact et dénombrable à l’infini. Une suite

n = 1, 2, 3, ...} de_raesures bornées^_définies sur (1D,(2)) converge

vaguement vers_la mesure bornée p définie sur si, et seulement si,

pour_tout ensemble compact C ou la mesure p est continue, on a

lim p^(C) = p(C). (9)

Démonstration ; Démontrons d'abord que la condition (9) est nécessaire. Pour cela, considérons un ensemble compact C de D; Comme ID est métrisable et localement compact, il existe une suite décroissante {O^î = 1» 2,

3, d’ouverts relativement compacts (0^ com.pact) telle que

C = n

n=l

(cf. §7 (£/). Pour tout e > 0, il existe donc un ouvert relativement com­ pact 0 tel que

C C 0, p(0) < p(C) + E

Soit alors f une fonction définie et continue sur (D, prenant ses valeurs

dans

[o,

vement compact, nous avons f e K(D). Comme p converge vaguement vers p, n

il vient

b (C) — /f dp — /f dp + E ^ p(0) + E ^ p(C) + 2e,

n ' n

pour n suffisamment grand. Il en résulte que

lim sup p (C) — P(C) + 2e .

n n

Comme e est arbitraire, nous avons finalement lim sup b (C) — p(C).

Notons que dans ce raisonnement la continuité de y en C n’est pas inter­ venue. Autrement dit, la relation (10) est valable pour n'importe quel ensemble compact.

O

Supposons maintenant que y est continue en C : y(C) = y(C).

Comme D est métrisable, tout ouvert est la réunion d’une suite croissante de fermés. Pour tout e > 0, il existe donc un fermé F tel que

O O

F c C, y(F) > y(C) - e = y(C) - e.

Soit f une fonction définie et continue sur D, à valeurs dans

[o,

,

valant 1 sur F et 0 à l’extérieur de C. Visiblement f e K(D) et nous avons, pour n suffisamment grand,

y (C) ^ /f dy > /f dy - e > y (F) - e > y (C) - 2e .

n n

Il en résulte que

lira inf y (C) > M(C) - 2e

n n

et finalement, comme e est arbitraire,

lim inf y (C) — y(C). (11)

n n

(9) résulte alors de (10) et de (11). Ceci achève la démonstration de la nécessité de la condition (9).

Démontrons maintenant que la condition est suffisante. Pour cela, considérons une fonction f e K(D). Soit C le support de f et 0 un ouvert relativement compact contenant C. En vertu de 1.. proposition 2E, il existe un fermé F tel que a) y est continue en F; b) C C F c 0. Evidemment, F est compact. Considérons les restrictions y', y’ des mesures y et y à

n n

l’espace F. Ces mesures sont donc définies sur le o-corps Ûà’ = (Jb H F. Il est facile de voir que la suite {y^; n = 1, 2, ...} et la mesure y’ vérifient la condition (iii)(ou la condition (v’)) de la proposition 2G. Comme f est une fonction continue sur F, nous avons

Lorsque D est un espace métrisable, localement compact (mais non compact), dénombrable à l'infini, on peut considérer simultanément la con­ vergence vague et la convergence faible d'une suite de mesures bornées. Dans le but de préciser le rapport qui existe entre ces deux notions de con­ vergence, nous introduirons la

Définition 2D. - Une_mesure_bornée p sur un espace métrisable ID est dite étanche^ si, pour tout e > C, il_existe un compact_C tel que p(C') < e.

Une famille i e 1} de mesures bornées sur un_espace_métrisable

® e > c> compact C tel £ue y^(C')<e,

pour tout i e I.

Il est clair que dans un espace métrisable, localement compact et dénombrable à l'infini, toute mesure est étanche. D'autre part, on voit facilement que toute réunion finie de familles étanches est une famille étanche.

Proposition 2H. - Soit ED un espace métrisable, localement compact et dénom- brable_à_lHnfini._Pour toute suite {y^; n = C, 1, 2, ...} de mesures bornées, définies sur (0, ® ), les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) la suite {y^} converge faiblement vers y^;

(ii) f^i^e {y^} £2’^Y2E^2 Y2£^2™22£_Y^££ -- 222*^ Y®£® Uq(!î^)s

(iii) l£_suite{y^}converge vaguement_vers y^ et avilis{y^î n = 1, 2,...} est étanche.

Démonstration : Nous allons démontrer les implications (i) ==> (ii) => (iii) => (i).

(i) ==> (ii). Evident.

(ii) ==> (iii). y^ étant étanche, il existe un compact C tel que y^(C')<£/2, (e > 0, arbitrairement fixé). Soit 0 un ouvert relativement compact contenant C. D'après la proposition 2E, il existe un fermé F tel cme : a) y soit

t

continue en F; b) C C F c 0. L'ensemble F est donc compact et nous avons

Uo^^') e/2. Comme est continue en F, nous avons, d'après la

proposition 2G', ^ l'hypothèse (ü) , nous avons aussi

y^(F') —> p^(F'). Finalement, on volt que pour n suffisamment grand, disons n > N, on a

„ (F') ^ y (F' + e/2 < e .

^n o

Comme la famille finie de mesures 1 — n — N} est étanche, on montre

facilement que l'on peut "agrandir” le compact F en un compact E de telle manière que y^(E') < ^ pour n = 1, 2, ... .

(iii) =rf> (i). Nous devons montrer que, pour toute fonction f g:C(D),

on a

jf dy^ Jf dy^, (n ^ oo). (12)

Pour tout compact C de O, il existe une fonction g de K(D) valant 1 sur C. llous avons l'inégalité

l/f dy^ - /f dyj ^ /|f - fg| dy^

+ l/fg dy^ - /fg dy^l

+ /Ifg - f| dy^. (13)

(12) sera démontré si on montre que le second membre de (13) peut être

rendu arbitrairement petit. Cela résultera des deux remarques suivantes. D'une part, nous avons, pour n=0, 1, 2, ... ,

/|f - fg| dy^ = l^,\f - fg|dy^^ ||f|| Mj^(C'),

et par hypothèse, nous pouvons choisir C de telle manière que y (C) soit n

arbitrairement petit. D'autre part, fg ç: K(D) et, par hypothèse, nous avons

Rappelons qu’une partie A d’un espace topologique T est séquentiel­ lement compacte si toute suite dans A possède une sous-suite convergente (cf. §8 (k)). La notion de famille étanche nous permet d’énoncer le critère de compacité séquentielle suivant.

Proposition 21. - Soient D un espace métrisable, localement compact et dénombrable à l’infini» {y^; ie 1} une famille de mesures bornées, définies sur (D,db).

(i) La famille {y^; i e: 1} est séquentiellement vaguement compacte si elle est_uniformément bornée (|i^(D) - H).

(ii) La famille {y^; i e: I} est séquentiellement faiblement compacte si, et seulement si, elle est uniformément bornée et étanche.

Démonstration : (i) Cette partie de la proposition 21 est bien connue.

Elle résulte d’un théorème plus général (cf. Bourbaki,[5], Ch. III, §2,n°7). Nous en donnons une démonstration directe.

II résulte des hypothèses que l’espace K(D) est séparable (cf. pro­ position 2B). Soit {f, 5 k = 1, 2, ... } une suite dense dans K(D). Par le procédé diagonal, on peut extraire de la famille{yi e: 1} une suite

{y^ ; n = 1, 2, ... } telle que, pour tout k, la suite numérique

n

converge lorsque n ®. Désignons par E(f^ ) sa limite. La fonction E définie

sur la partie dense k = 1, 2, 3, ...} de K(D) est uniformément continue.

En effet, nous avons

|E(y -E(f^)|i iim||f^-q|d„. n

- Il A -

positive et bornée. Or, nous savons (cf. Cor. Prop. 2D') que toute forme linéaire positive et bornée sur K(ü) détemine une mesure bornée y sur (D,(jà). On montre enfin facilement que

/f dy^ ---► /f dy, (f e K(D)) , (n .

Ceci achève la démonstration de la partie (i).

(ii). Le fait que les conditions soient suffisantes résulte immédiatement de la proposition 2H et de la partie (i). Démontrons que les conditions sont nécessaires. Si la famille {y^(D) ; i £ 1} n'était pas bornée, on

pourrait en extraire une suite {y^ (D); n = 1, 2, 3, telle que

(D) —. Il est clair que la suite de mesures {y^ ; n = 1, 2, ... } n'admet aucune sous-suite faiblement convergente vers une mesure bornée. Ceci montre, par l'absurde, que la famille {y^; i e: 1} doit être unifor­ mément bornée. Pour démontrer que cette famille est étanche, considérons une suite {C ; k = 1, 2, ... } d'ensembles compacts de D telle que

° ^ Il +

a) C, c C ; b) U C, = D. Si la famille{y.; i e 1} n'était pas étanche,

K J. rC 1.

il existerait un e > 0 et une suite d'indices {i.; k= 1, 2, ...} telle K

que

V. (C,') i £ (k = 1, 2, ... ) (14)

Comme la famille {y^; i e 1} est séquentiellement compacte, nous pouvons supposer que la suite de mesures {y^ ; k = 1, 2, ... } converge faible­ ment vers une mesure bornée y (En eflet, il en est ainsi en passant à une

sous-suite et toutes les propriétés que nous considérons ici sont main­ tenues par passage à une sous-suite; nous pouvons donc omettre cette opération pour alléger les notations). D'après la proposition 2E, il

O existe des ensembles fermés F, oü y est continue et tels que C, cF, -CC,

k k k+1 k+1

Il est clair que les F sont compacts et que L_j F = D. De plus, (14) k

implique que y, (F') ^ e , (k = 1, 2, ... ) ou encore ^k ^

u. (FJ) ^ e , (k,!l = 1, 2, ...) (15) k

dès que i ^ k, puisque sous cette condition c; En passant à la limite sur k dans (15) et en utilisant la proposition 2G', on obtient }i(Fp > s, (H = 1, 2J ... ). Mais ceci est absurde puisque p(F|) < “ et que 1 0

lorsque 2. Il s’en suit que la famille i e: 1} doit être étanche.

//

Remarques ; 1. La condition de la partie (i) n’est pas nécessaire comme le montre l'exemple suivant. Prenons D = P. et désignons par 6(x) la masse unité placée au point d'abscisse x. La suite de mesures bornées

{n 6 (n); n = 1, 2, ... } converge vers 0 sans être uniformément bornée. 2. Un énoncé analogue à la partie (ii) de la proposition 21 a été démontré par Prohorov (cf. [28]) dans le cas ou D est un espace métrique séparable et complet.

3. On sait que les notions de compacité et de compacité sé­ quentielle coïncident dans un espace métrisable. Il est donc intéressant de savoir sous quelles conditions les topologies vague et/ou faible sont métrisables. Varadarajan a montré que la topologie faible de JIL (D,05 )

b

est métrisable si D est un espace métrisable séparable (cf. [29]), Sa tech­ nique consiste à établir un homomorphisme entre 31^, (D, (S) ) muni de la

b

Dans la section (a), nous donnons la définition des variables aléatoires que nous étudions dans la suite de ce mémoire. A c3té d’une hypothèse naturelle de mesurabilité, nous imposons une hypothèse plus discutable de séparabilité. Mais on remarquera que : (i) la démonstra­ tion de tous les lemmes fondamentaux des sections (a), (b) et (c) dépend de cette hypothèse; (ii) l'hypothèse de séparabilité apparaît comme une condition nécessaire dans le théorème statistique de

Varadarajan (section (e)). Les théorèmes d'approximation de la section (c), quoiqu'ils puissent constituer une approche utile de certains pro­ blèmes, ne seront pas employés dans la suite.

(a) Définitions et propriétés fondamentales

Définition 3A. - Une application X(üj) d^un espace de probabilité (n><3-jP) dans un espace métrisable D est une variable aléatoire à valeurs dans D

(en abrégé, V.A.D.), si elle vérifie les conditions suivantes :

(i) l'image inverse de tout ouvert 0 de D est un ensemble 6t-mesurable; (ii) il existe une partie séparable D^ de D telle que

P[X(ü)) e D^] = 1 . (1)

La condition (i) implique évidemment que l'image inverse de tout ensemble borélien de D est un ensemble GL-mesurable. On exprime parfois la condition (ii) en disant que X est à valeurs séparables.

Proposition 3A. - Soient X(o)) une_a££lication_d^un_espace_de_£robabilité

est une V.A.D. si, et seulement si,

(i’) l_|^image_ inver se de tout ouvert 0 de est un ensemble <St-mesurab le; (ii) X(w) est_à_valeurs_séparables.

Démonstration : Les conditions sont manifestement nécessaires.

Pour démontrer qu'elles sont suffisantes, soient 0 un ouvert de D et D une partie de D vérifiant (1).

A

Il existe, par hypothèse, une famille {G^; i s: 1} d'ouverts dans telle que 0=0 G^. Nous avons donc

0 n = (

U

J

n

X il X 1 X

^ 1

Comme D est séparable, il existe d'autre part une famille dénombrable A

{0 ; n ^ 1} d'ouverts de D telle oue leurs traces, 0 D D„, sur forme une base pour la topologie relative de D . Désignons par {n ; k =1, 2,.

A

la sous-suite d'indices satisfaisant la condition

0 n D^ C G. n D^,

n, X 1 X ^ k

pour un indice i au moins. Montrons que

(3)

0 n . y (0 n D^) .

k

(A)

Par construction, 0^^ D^ c 0 n D^,. Le premier membre de (4) contient donc le second. Pour démontrer l'inclusion inverse, considérons un point

X appartenant à OO D . D'après (2), il existe un indice i' tel que

x£ G.,n D . Comme G.,D D est un ouvert pour la topologie relative

1 X L X

de D , il existe un indice n' tel que xe 0 ,D D C G.,n D,^. n' est_{X t-> Y T \}

n X

donc un élément de la suite ce qui achève de démontrer (4).

Désignons par i(k) un indice i associé à n^ par la condition (3) Les relations (2), (3) et (4) impliquent que

Nous avons alors, à des ensembles de mesure nulle près, x“^(0) = X ^(On K (en vertu de (1)) (en vertu de (5)) (en vertu de (1)) ,-l

Par hypothèse, chacun des ensembles X ^(G. . .) est Q,-mesurable. 1 (k)

X (0) diffère donc d'un ensemble de mesure nulle de l'ensemble «^.-mesurable

V='‘'<=i(k)> •

Ceci achève la démonstration puisque nous supposons la mesure de probabi­

lité P complète (cf. §1 (c)). //

Corollaire 1« - Une application X(uj) d'un espace de probabilité (îî,C3,P) dans un espace métrique D est une V.A.D. si,et seulement si,

(i") Pour tout a e d(a, X) est une variable aléatoire réelle (en abrégé, V.A.R.).

(ii) X(cü) est à valeurs séparables.

Démonstration : La condition (i") est nécessaire, an effet, pour tout nombre réel r > 0, l'ensemble {x e. D; d(a, x) < r} est un ouvert de D. L'ensemble

{ü) e: n ; d(a, X(m)) < r} = X ^{x e H ; d(a, x) < r} (6)

est donc CL-mesurable. Ceci montre que d(a, X(cü)) est une V.A.E..

Pour montrer que les conditions sont suffisantes, notons que, compte tenu de la relation (6), la condition (i") implique que l'image inverse de toute boule ouverte est un ensemble SL-mesurable. La proposi­ tion 3A permet alors de conclure puisque les boules ouvertes forment une

Corollaire 2. - Soit {X^(w); n = 1, 2, ...} une suite de V.A.D. prenant respectivement leurs valeurs dans les espaces métrisables D .

L'apolica-n ---

---ÎÎ95 Cl, iP) dans le produit cartésien D = 1 Fd , définie par

- --- ^ ---

—---0)--- - T(tü) = (X^(w)), est une V.A.D.

Démonstration ; Rappelons qu'un gros cylindre ouvert de D est un

sous-ensemble de la forme C

=ITc

n n n n ’

n , n_, ..., n, pour lesquels C est un ouvert de D . Ces gros cylindres

J- i k n n

ouverts forment une base pour la topologie de D. Comme k

n

n

on voit que T satisfait la condition (i') de la proposition 3A.

Pour démontrer que T est à valeurs séparables, désignons par D X une partie séparable de X^ telle que

P[X^(ü)) e: Dy ] = 1, n = 1, 2, 3...

Î1

Posons D„ = TTd„ . D_ est séparable et nous avons

T n X T n

P[T(u) eDj < ^ P[X^(m) eD^ ] = 0 . //

n n

Proposition 3B. - Etant donné un espace métrisable D, si X^(w) et X^Cto) sont deux V.A.D., d(X^, X^) est_une V.A.R.

2

Démonstration : Soit T l'application de ü dans D définie par to --- ^ T(to) = (X^(cü), X^Ccü)).

Nous savons que T est une V.A.D. La fonction d(x^, x^) est continue donc mesurable sur D^. Finalement, d(X^^, X^) est mesurable comme fonction com­

P.emarque : La proposition 3B peut être établie plus directement de la manière suivante. On peut, sans se restreindre, supposer ID séparable

Soit a,- a„, ... , a , ... une suite partout dense dans D. On sait

12 n

que (cf. §7 (f))

d(x. , X.,) = inf rd(x , a ) + d (x , a )1 .

ie n‘^in zn-'

Il en résulte que

X^(o))) = inf j^d(X^(to) ,a^)+d(X^(üj) ,a^)] «

On en conclut que la fonction d(X^(üj), X^Cu)) est mesurable puisqu'elle est égale à la borne inférieure d'une infinité dénombrable de fonctions mesurables.

(b) Convergence presque sûre

Etant donné un espace métrisable D, deux V.A.iD. X et X’ sont dites presque sûrement (= presque partout) égales si

P[X i X'j = P[d(X, X') > 0] = 0 . (1)

Comme d(X, X’) est une V.A.IR. (cf. Proposition 3B), la condition (1) a un sens pour tout couple (X, X') de V.A.OD. La relation "X est presque

sûrement égale X' " se note X x'; on vérifie facilement que c'est

une relation d’équivalence sur l'ensemble des V.A.ID.

Définition 3B. - Etant donné un espace métrisable D, une_suite {X^;n>l} de (classes d'équivalences de2_V.A.D^ converge presque sGrement_si

(i) L'ensemble C des réalisations w telles_que X^(<jd) converge_dans ID

Proposition 3C. - Soit fX ; n— 1} une suite de V.A.D. presque sûrement

—— --- n ---

---convergente._Si C est l^ensemble_introduit dans la_définition 3B et si a est un élément quelconque de D, posons

lim X (co), n ' X(m) = <

pour ü)e,C,

pour üj^C.

Dans ces est une V.A.D.

Démonstration : Soit d une distance compatible avec la topologie de D. Nous allons montrer que X vérifie les conditions (i") et (ii) du corol­ laire 1 de la proposition 3A.

Pour tout a s: D, nous avons

d(a, X) Ê=Ia üto d(a, X ).

n n

d(a, X) est donc une V.A.E. et X vérifie (i").

Soient, d'autre part, D des parties séparables de D telles que

A n p[x^U)eD^] = 1, n n- “ 1, 2, 3, . < Posons ■ U Bx n n

On montre facilement que D est séparable et que X

p[x(m) e

d

J =

1

.

Proposltion 3D.- Soit ID un_espace métrique complet.

(i) Une_suite — D de V. A .D. converge presque sûrement si, et

seulement si,

d(X , X ) 0,

n m lorsque n, m

(ii) L'ensemble C de convergence d'une suite {X ; n — 1} de V.A.D. --- :--- ---— n —

est mesurable.

Démonstration : Pour démontrer (i), il suffit de remarquer que, pour toute réalisation (i) telle d(X , X (w)) ^ 0 (n, m -<■ "), la suite

n

{X^(m); n— l} est une suite de Cauchy dans D. Comme D est complet, ceci montre que cette suite est convergente et, finalement, que la

suite n — 1} est presque sûrement convergente.

Pour démontrer (ii), notons que l'ensemble de convergence d'une suite {X ; n — 1} est égal à l'ensemble des réalisationsm

n

telles que la suite {X^(cj); n — 1} soit une suite de Cauchy dans T. Un raisonnement classique montre que ce dernier ensemble est égal

nu n

(

2

)

Comme d(X , X ) est une V.A.IR., l'ensemble définie par (2) est mesurable,

//

On peut déduite du (i) de la proposition 3D divers critères de convergence presque sûre. Nous avons, par exemple, la

Proposition 3E. - Soit 0 un espace métrique complet. Pour que la suite { X ; n — l) de V.A.D. converge presque sûrement, il suffit qu'il existe

n

une suite ; n — l) de nombres réels positifs telle que

I VP > =„] r

L n

Dëmonstration : Il résulte du lemme de Borel-Cantelli (cf. Neveu, [l5], p.l6 ou Loève, [13], p. 228) que les réalisations w pour lesquelles

pour une infinité de valeurs de n, forment un ensemble A de probabi­ lité nulle. La proposition sera donc démontrée si on montre que pour

tout U) ^ A la suite converge.

Soit alors w une réalisation telle que

d(X„(„), i

pour tout n — N(oj). Si q > p > M(cj), nous avons q-1

d(X (o3), X (uj)) ^ I d(X (oj) , X e . (5)

p q n’n+1 rn

n-p nSp

L’hypothèse (3) implique que le dernier membre de (5) peut être rendu inférieur à tout e > 0 fixé, La suite {X (oj) ; n = 1, 2, ... } est donc

n

une suite de Cauchy. Comme D est complet, cette suite converge. //

(c) Théorème d’approximation

Dëfinitlon 3C. --Une V.A,D. est simple (resp. élémentaire)si_elle ne prend qu’un nombre fini (resp. une infinité dénombrable) de valeurs différentes.

Proposition 3F. - Une application X(w) de l'espace de probabilité (ÎÎ,(2L,P) dans l'espace métrisable D est une V.A.D. si, et seulement si, il existe

une suite n — 1} de V.A.D. élémentaireset_une_£artie négligeable

N de telle que la suite {Y ; n — 1} converge uniformément vers X sur le complémentaire N' de N.

Démonstration : La condition est suffisante puisque la suite {Y^} de V.A.ID. converge presque sûrement vers X (cf. Proposition 3C) .

Pour démontrer qu'elle est nécessaire, introduisons une partie séparable D de D telle que

Œ>[X(a,) £ dJ = 1.

Soit {a.; i = 1, 2, ...} une suite dense dans D . Désignons par B(a.,l/n) les boules ouvertes de centre a^ et de rayon 1/n. Nous avons, pour tout n fixé,

X(cj) €I U B(a., 1/n) i

excepté, peut être, pour un ensemble négligeable N de réalisations w . n

Posons

E. = X~^[B(a^, 1/n)] .

Comme X est une V.A.D., les ensembles sont mesurables. Les ensembles F. définis par

F. = E. - E., i = 1, 2, 3, ...

J<i

forment une partition mesurable du complémentaire de N^. En outre, d(X(m), a^) est inférieur à 1/n pour tout m e F^. La V.A.D. élémentaire Y définie sur W' par

n n

Y (m) = a.

est donc telle que

d(Y (cü), X(u)) ^ 1/n n

sur N' . Il suffit alors de donner une valeur arbitraire à Y (cü) sur N

n n n

et de poser N = '^ N pour achever la démonstration de cette proposition, n n

//

Proposition 3G. - Une application X(w) de l'espace de £robabilité (fi, métrisable 0 est une V.A.ID. si, et seulement si, il existe

une suite n — 1} de V.A.D. simples_telle que

1* 'J p*s« .. lim Z &=== X .

n

Démonstration : La condition est suffisante en vertu de la proposition 3C. Pour démontrer qu'elle est nécessaire, considérons une suite

{Y ; n — 1} de V.A.D. élémentaires telle que n

lim Y Êiié X . n

Nous savons par la proposition 3F qu'une telle suite existe toujours. Pour tout n, il existe une V.A.D. simple telle que

PfY Z 1 ^ 1/n^. Comme

I F[Y ^ 2. ] ^ I 1/n^ < “> , ^ n n^ ^

n n

il résulte du lemme de Borel-Cantelli que

P[y 42 pour une infinité de valeurs de n] = 0.

n n Finalement,

lim Z BôS= lim Y x. //

Signalons, pour terminer cette section, que l'on peut généraliser le théorème d'Egoroff de la manière suivante.

Proposition 3H. - Une suite {X ; n > 1} de V.A.D. converge presque sûrement ~ --- JJ — —______--- ———--- ——---vers la V.A.D. X si, et seulement si, pour tout e > 0, il existe une partie

mesurable E telle que P(E) < e et telle que la suite n > 1} converge

uniformément vers X sur le complémentaire E' de E.

Démonstration : La démonstration dans le cas réel (sf. Halmos,[il] , p. 88)

peut être généralisée sans aucune difficulté. //

(d) Loi de probabilité

Définition 3D. - La_loi de probabilité d'une V.A.D. X(ü)) est la mesure de

probabilité tt définie sur l'espace (iD,Æ') par la formule

ti(B) = P[X~^(B)1 , BeOâ. (1)

La condition (i) de la définition 3A assure que (1) est bien définie. Notons qu'il n'est pas impossible que le formule (1) ait un sens pour des

ensembles B appartenant à un o-corps l'K»' . Dans le cas où D = IR, cette

question se pose déjà; mais elle est de peu d'importance car des ensembles n'appartenant pas à ne se présentent pratiquement pas, Dans le cas

général, la question est plus délicate (cf. Blanc-Lapierre & Fortet,[l]j, pp. 76-82). Dans la suite de ce mémoire, la définition de la loi da probabilité telle que nous l'avons introduite est apparue comme suffisante.

On peut noter aussi que la condition "X est à valeurs séparables" (condition (ii) de la définition 3A) n'intervient pas d'une manière essen­ tielle dans cette section.