îS§L£iSE§iê • - Disponible à / Available at permalink :

(iii) Si, pour une valeur de a > 1, sup E[d°^(X^, a)] < al2E®_lê£_£22Ëi“

du (ii) sont satisfaites et la suite {X }converge vers X en moyenne d'ordre

— ' - --- n--- -- ---

---a, (X X dans ).

Démonstration : (i). De l’inégalité triangulaire

d(X , b) < d(X , a) + d(a, b) ,

n n

on déduit que

En vertu d’un théorème fondamental de Doob (cf. [?], p. 324), il résulte

de (2) que chaque sous-martingale positive {d(X^, b); n = 1, 2, con

verge pour toute réalisation w n'appartenant pas à un ensemble négligeable N^. Il nous faut montrer maintenant que ces ensembles exceptionnels peu vent être remplacés par un ensemble négligeable N indépendant de b. En effets

les hypothèses de la proposition 6C impliquent que D est séparable (puisque

Œ) est métrique et dénombrable à l’infini (cf, §7 (^)). Soit alors b2».«.J

un ensemble dénombrable et dense dans D. Nous savons que les suites {d(X^(ùû), b^); n = 1, 2, ...} (i = 1, 2, 3, ...) convergent pour tout u)

n'appartenant pas à l'ensemble négligeable M =

LJ

i ^i

Il est facile de voir que, si w ^ N, la suite {d(X^(w), b); n = 1, 2, 3, ...} converge quel que soit b £ D. En effet, de l'inégalité

d(X , b.) - d(b, b.) < d(X , b) < d(X , b.) + d(b, b.),

ni 1 n ni i

on déduit que, pour tout cj ^ N, on a

lim d(X , b.) - d(b, b.) < lim inf d(X , b)

n n 1 1 n n

< lim sup d(X , b) < lim d(X , b.) + d(b, b.),

n n n n 1 1

Comme d(b, b^) peut être pris arbitrairement petit (densité des b^), lim inf d(X , b) = lim sup d(X , b) et la suite {d(X , b)} converge,

n n n n n

En particulier, pour toute réalisation w n'appartenant pas à N, la

suite {d(X^(o)), a); n = 1, 2, est bornée par, disons, K^. Comme la

boule B(a, K ) est compacte, il existe une sous-suite (X (to); k = 1, 2, ...} ü)

qui converge disons vers X^(u)). Nous savons que la suite {d(X^(m), X^(to));

n = 1, 2, est convergente. Mais comme X^(tü) est point d'accumulation

des X^((fl), la limite de cette suite ne peut être que 0. Ceci montre donc

que, pour tout üj e; N, la suite {X^(w)} converge dans D. La démonstration

de (i) est terminée.

(ii). Il est bien connu que la condition (A) implique que sup E[d(X^, a)]<°°, (cf. §8 (b)). L'équivalence des conditions (A) et (B) résulte alors facile

ment de la proposition 4F.

Démontrons maintenant que (A) implique (C). Pour démontrer que

{X^; n = 1, 2, est une martingale, il nous suffit de montrer que

ou encore que d(X^, b)< E[d(X^, b)|(15^], d(X b) dP < d(X , b^ dP A " A “ J (3) (4)

pour tout ensemble A e: (puisque les deux membres de (3) sont des fonc

tions -mesurables). Or, si n < m, , nous avons par hypothèse

d(X , b) 4 E[d(X , b)l (Jb 1 n L I n-* ou encore d(X , b) dP A J d(X , b) dP m ⁽⁵⁾

pour tout A ei D'après la proposition 4E, la condition que {d(X^, b); n = 1, 2, ...} est équi-intégrable quel que En faisant tendre m vers l'infini dans (5) et en utilisant connu (cf. §8 (d)), nous avons

(A) implique soit b e D. un lemme bien • • d(X , b) dP < lim A n m jA d(X , b) dP = A J lim d(X , b) diP = A _J d(X^,b)dP .

Ce qui démontre (4). Inversement, si (C) est vérifiée, {d(X, a); n = 1, 2, ..., “} est une sous-martingale positive. L'équi-intégrabilité des V.A.IR {d(X , a)} résulte alors d'un lemme bien connu (cf. §8 (e)).

(iii). Le fait que la condition du (iii) implique la condition (A) résulte d'un lemme qui n'a rien à voir avec la théorie des martingales (cf. §8 (c)).

Nous venons de voir que {d(X , a); n = 1, 2, .... »} est alors une

sous-n

également une sous-martingale positive (cf. Doob, [7j, p. 296). En vertu d'un lerame déjà utilisé (cf. §8 (e)), les variables {d°‘(X^, a)} sont

équi-intégrables. La convergence des X vers X dans résulte alors de la

n a

proposition 4F. //

Pour terminer, nous énonçons et nous démontrons brièvement l'analo gue de la proposition 6C pour les martingales renversées .

Proposition 6D. - Soit D un espace_métri2ue tel que toute boule fermée de

D soit compacte. Soit n = -1, -2, ...} une martingale sur (D. Posons

= n (fî) .

n<o "

(i) X^ converge_£res2ue sûrement vers une V.A.D X_ et n = ..., -1}

est une martingale.

(ii) Si X_^£3G^(1 < a < oo), X^ converge vers X dans 2G .

Démonstration : La démonstration est analogue à celle de la proposition 6C; nous n'en donnons que les étapes essentielles.

{d(X^, a); n = -1, -2, est, pour tout a e D, une sous-martingale

positive. Elle est toujours convergente pour n -»- «> (cf. Doob, [7], p. 328). Par un raisonnement en tout point similaire à celui fait dans la démonstra tion du (i) de la proposition 6C, on en déduit que X converge presque sûre

ment vers une V.A.lD. X ^ lorsque n .

Pour démontrer que n = - , -1} est une martingale, il nous

suffit de montrer que

d(X , a) < E[d(X , a) I CS ] _—oo' _n* _—00-* .

Or, en faisant tendre m vers -® dans

nous avons

d(X a) = lim d(X , a) ^ lim Efd(X , a)\(^ ] = Efd(X , a)| 1

mm m n’ m-" ^ ^ ' -°°J

où la dernière égalité résulte d’un théorème de Doob (cf. [?], p. 331). Enfin, pour démontrer (ii), on utilise encore une fois un lemme

de Doob (cf. §8 (e)) qui permet d’affirmer que si X la famille

[d*^(X , a)} est équi-intégrable. En vertu de la proposition 4F, ceci achève n

ESPACE METRIQUE

Dans cet appendice, nous indiquons brièvement les notations, les définitions et les théorèmes topologiques principaux qui sont utilisés

dans ce mémoire. On a groupé par sections l<>s rcsult -ts rul-'tifs n

la même structure particulière. Il nous a paru utile d’inclure parfois des résultats qui ne sont pas explicitement utilisés dans ce travail.

La terminologie et la présentation suit généralement celle de

Bourbaki (cf. [2], [3], [a] ). On trouvera des références précises à cet

ouvrage pour la démonstration des formules et des théorèmes les plus im portants. Certains résultats plus particuliers et moins connus sont démon trés brièvement.

(a) Une classe 0" de parties d'un ensemble T définit sur T une topologie si elle possède les propriétés suivantes ;

(0^) Toute réunion d'ensembles de est un ensemble de 0'.

(0^) Toute intersection finie d'ensembles de Çf est un ensemble de ô'.

Les ensembles de & sont appelés ouverts. Un espace topologique T est un

ensemble T muni d'une topologie définie (par exemple) par la classe de

ses ouverts. Une famille d'ouverts est une base de l'espace topolo

gique f si tout ouvert de T est une réunion d'ensembles appartenant à Q .

(b) Etant donné un espace topologique T, on associe à toute partie A de T, son intérieur A, son adhérence (ou sa fermeture) A et sa frontière A. Nous avons les formules suivantes (groupées par couples duaux) :

O O _O _O A U B D A U B, A n B C A r> B ₍₁₎ _.(l') (2) ,(2') (3),(3') O _O _O

A n B = A n B

A U B = A U B (A)'= ^

Comme A = A - A, on en déduit que

A U B C Â r>^, A’ = X (4), (5)

(cf. Bourbaki, [2], Ch.l §1 n°4 et ex. 7) .

(c) Une distance sur un ensemble D est une application d des couples x,yeD dans l'ensemble des nombres réels positifs qui possède les pro priétés suivantes :

(D^) d(x, y) est nul si et seulement si x = y. (D^) d(x, y) = d(y, x) (symétrie).

(D^) d(x, y) lé d(x, z) + d(z, y), (inégalité triangulaire).

Un espace métrique D est un ensemble D muni d'une distance d (D = (D, d)). Tout espace métrique est muni canoniquement d'une topologie. L'ensemble des boules ouvertes

B(x; r) = {yelD; d(x, y) < r} , x€ D, r > 0 , forme une base pour cette topologie.

Un espace topologique T est métrisable si sa topologie peut être définie à l'aide d'une distance d; toute distance d définissant la topologie de T est compatible avec cette topologie. Dans ce mémoire, Ain espace métri sable est également désigné par ID.

(d) Deux distances d^ et 62 définies sur le même ensemble D sont topolo-

giquement équivalentes si elles définissent la même topologie. On montre

facilement que deux distances d^ et d2 sont topologiquement équivalentes

si, et seulement si, pour tout a > 0, il existe une fonction b(x) définie sur D à valeurs réelles, strictement positives, telle que

(i) d^(x, y) < b(x) implique d2(x, y) < a. (ii) d2(x, y) < b(x) implique d^(x, y) < a.

Il est facile de voir que l'on peut supposer que b(x) est semi-continue supérieurement.

(En effet, posons (pour a fixé et pour tout x) b^(x) = inf{d^(x, y); y e D et d^Cx, y) < a},

b^Cx) = inf{d2(x, y); y s D et dj^(x, y) < a}.

Les fonctions b^(x) et b^Cx) sont semi-continues supérieurement puisqu'elles sont les enveloppes inférieures de fonctions continues. La fonction b(x) =

min(b^(x), b2(x)) est semi-continue supérieurement, vérifie les conditions

(i) et (ii) et est strictement positive si, et seulement si, les distances

d^ et d2 sont topologiquement équivalentes).

(e) Deux distances d^ et d2, définies sur le même ensemble D, sont unifor

mément équivalentes si, dans les conditions (i) et (ii) du (f), la fonction b(x) peut être remplacée par une constance b (dépendant évidemment encore de a) .

Sur l'ensemble R des nombres réels, les distances

d^(x, y) = |x - y|,

I

tg x - arc tg y|

sont topologiquement équivalentes sans être uniformément équivalentes. Notons que l'espace métrique (R, d^) est complet, alors que l'espace métri

que (R, d2) ne l'est pas (cf. (j)).

Soit (j) une application de R^ dans R^ telle que : (i) (j)(0) = 0 et (j) est continue en 0;

(ii) (j) est croissante dans et strictement croissante dans un voisinage de 0;

(iii) quels que soient u, v <e R^, (J)(ü+v) é. (j)(u) + <j)(v).

On montre alors facilement que l'application composée est une distance uniformément équivalente à d. On peut, par exemple, prendre pour ({> l'une des fonctions

u“, (0 < a < 1); log(l+u); Y"+^ ’

Les deux derniers exemples montrent qu'il existe toujours des distances bornées uniformément équivalentes à une distance donnée (cf. Bourbaki,

Remarque ; Des distances uniformément équivalentes définissent en fait la même structure uniforme (cf. Bourbaki, [2], Ch.2).

(f) Un espace topologique est à base dénombrable s’il possède une base com prenant une infinité (au plus) dénombrable d'ouverts. Toute partie d'un es pace topologique à base dénombrable est (pour la topologie induite) un es pace topologique à base dénombrable.

Un espace topologique est séparable s'il possède un sous-ensemble dénombrable dense. Tout espace topologique à base dénombrable est sépara ble. Inversement, un espace métrisable et séparable est à base dénombrable; plus précisément, il existe dans un tel espace une base dénombrable consti tuée de boules ouvertes. Finalement, on voit que toute partie d'un espace métrisable et séparable est (pour la topologie induite) un espace métrisa ble et séparable.

Soit {a^, •••> .••} une suite partout dense dans un espace

métrique séparable D. Il est facile de voir que, pour tout couple (b, c) d'éléments de D,

d(b, c) = inf [d(b, a^) + d(a^, c)] = sup [d(b, a ) - d(a , c)] . (En effet, cela résulte de la relation

d(b, a^) - d(a^, c) < d(b, c) < d(b, a^) + d(a^, c) (6) et du fait que d(a^, c) est arbitrairement petit

(cf. Bourbaki, [2], Ch.l §2 ex. 7 et Bourbaki, [s], Ch.9 §2 n°8)

(g) Pour toutes parties A et B d'un espace métrique D, posons

d(A, B) = inf{d(x, y); x e A, y £ B>. (7)

En particulier, si A = (x), nous avons

(9)

(

)

|d(x. B) - d(x', 3)I < d(x, x'), d(A, B) < d(x, A) + d(x. B)

Il résulte de (9) que la fonction d(x. B) est uniformément continue en x. De plus, il est clair que d(x. B) = 0 si et seulement si x e: B. Ces remar ques permettent d'établir facilement les deux lemmes suivants.

Soit F un fermé d'un espace métrisable 0, Ip sa fonction caractéristi que. Il existe une suite décroissante {f : n > 1} de fonctions uniformément

continues de ID dans

[o,

l] telle que lim f = I„.

n F

(En effet, si d est une distance induisant la topologie de D, la suite

1 + n d(x, F) ’ ^{= 12}^{J. , ^ , J ,}³

(

)

satisfait les conditions de l'énoncé).

Soient F^ et F^ deux ensembles fermés et disjoints d'un espace métri

sable ID. Il existe une fonction continue f de D dans

[o,

l] égale à 0 en

tout point de F^ et égale à 1 en tout point de F^. Si, en outre,d(F^,F2)>0, on peut supposer f uniformément continue.

(En effet, si d est une distance induisant la topologie de D, la fonction

d(x, F^)

" dix, F^) + d(x, F^)

satisfait les conditions de l'énoncé. Si d(F^, F^) = k de (12) est, en vertu de (10), supérieur ou égal à k. ment que f est uniformément continue.

(12)

> 0, le dénominateur On en déduit

facile-(h) Une suite n = 1, 2, 3, ...} dans un espace métrique D est une suite

de Cauchy si d(x^, x^) -> 0, lorsque n, m -h». Toute suite convergente est

une suite de Cauchy. Toute suite de Cauchy admettant une sous-suite conver gente est convergente. Un espace métrique D est complet si toute suite de Cauchy dans D est convergente. Tout sous-espace complet d'un espace métrique

D est femé. Inversement, tout sous-espace forme d*un espace ’netrioue complet est complet.

(i) Un espace topologique T est compact s'il vérifie la propriété de Borel- Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de T, on peut extraire un sous-re- couvremant fini. Par dualité, on voit que si une famille de fermés d'un es pace compact a une intersection vide, il existe une sous-famille finie dont

l'intersection" est vide. Dans un espace compact, tout sous-ensemble fermé est compact. Inversement, dans un espace séparé, tout sous-espace compact

est fermé. Plus généralement, si et K2 sont des parties compactes d'un

espace topologique séparé, il existe deux ouverts 0^ et O2 disjoints tels

que C 0^ et C 0^.

Dans un espace compact, toute suite admet une valeur d'adhérence et converge si elle n'admet qu'une valeur d'adhérence.

Toute fonction (numérique) définie et continue sur un espace com pact est uniformément continue et atteint ses bornes.

Un espace topologique compact est métrisable si, et seulement si, il admet une base dénombrable. Tout espace métrique compact est complet.

Une partie A d'un espace topologique est relativement compacte si sa fermeture Â est compacte (cf. Bourbaki, [2]“, Ch.l §10.& [3j , Ch.9 §2,n°9

(j) Un espace métrique est précompact si, pour tout c>0, il existe un nom bre fini de boules de rayon e recouvrant tout l'espace. Toute partie d'un espace précompact est précompacte.

Un espace topologique est compact si, et seulement si, il est pré compact et complet. Le complété d'un espace métrique précompact est compact.

Etant donné un espace métrisable et séparable D, il existe une dis- teance d, compatible avec la topologie de D et telle que l'espace métrique

(D, d) est précompact. (En effet, D est homéomorphe à une partie du cube [0. ij"" et ce cube est un espace compact métrisable).

(k) Un espace topologique T est séquentiellement compact si toute suite dans f possède une sous-suite convergente.

Dans le cas général, il n'y a pas d'implication (dans un sens ou dans l'autre) entre compact et séquentiellement compact. Mais si T est méprisable, ces deux propriétés sont équivalentes.

(cf. Bourbaki, [d], Ch. 9, §2, n°9).

(a) Un espace topologique TT est localement compact s'il est séparé et si

tout point de T possède un voisinage compact. Dans un espace localement compact, tout point — et. plus généralement, tout compact — admet un système fondamental de vosinages compacts. Un espace localement compact est dénombrable à l'infini s'il est réunion dénombrable d'ensembles com pacts. Dans un espace T localement compact dénombrable à l'infini, il

existe une suite n = 1, 2, ...} de parties compactes telle que :

a) C C C T ; b)

LJ

C = T. Un espace localement compact est à base

n n+1 n

dénombrable si, et seulement si, il est métrisable et dénombrable à 1'infini.

(cf, Bourbaki, [2], Ch. 1, §10, n°7 et 11).

(m) Etant donné une famille {T^; i g: 1} d'espaces topologiques, on définit la topologie produit sur T =1 T T. comme la moins fine des topologies

ren-i ^

dant toutes les projections continues. Si la famille est dénombrable et si les sont métrisables (resp. à base dénombrable) on démontre que T est métrisable (resp. à base dénombrable).

Dans cet appendice, nous rappelons un certain nombre de lemmes concernant les familles de fonctions équi-intégrables. Ces lemmes sont élémentaires et bien connus; ils sont utilisés dans plusieurs démons trations, en particulier dans Doob [7J. Pour faciliter les références,, il nous a paru commode de les rassembler dans ce paragraphe,

(a) Une famille {X^; i e: I} de V.A.iR. définies sur l'espace de probabi lité (fi, (SL , P) est dite équi-intégrable si

lorsque a f

sup

(b) Une famille {X^; i e. I) de V.A.E. est équi-intégrable si,et seulement

(i) pour tout e > 0, il existe n > 0 tel que P(A) < n implique (ii) sup /|x^|<oo.

< £

(cf. Neveu, [l5], Ch.II §5).

suffit qu'il existe une fonction f définie sur [o, , à valeurs réelles

positives, mesurable et telle que (i) f (x)/x f “> lorsque x +

(ii) sup J f(|X^I) < “.

(En effet, si |x.| > a, nous avons f(a)|x,| < a f(|x.|). Il en résulte

que f (a) ' ^* |x.i < a J|xj>a ^ J f(|x.|) < a

Pour alléger les notations, nous écrivons

f(|xj).

X au lieu de A

X dP, A

Finalement,

sup i

Fi!

|X^I < a/f(a) SUD f(|x.|)

lorsque a + «>).

En prenant pour f la fonction x (1 < a < “), on constate que toute famille

de V.A.R. telle que soit borné, est équi-intégrable.

(d) La notion d’équi-intégrabilité a été introduite pour obtenir la géné

ralisation suivante du fameux théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Pour toute suite n = 1, 2, ,.,} de V.A.R. et pour tout a tel que

1 < a < “ les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) la suite {|x I”; n = 1, 2, est équi-intégrable et X converge en

n n

probabilité vers une V.A.R. X;

(ii) X^ converge vers X dans L .

En particulier, si une suite n = 1, 2, ...} de V.A.R. est équi-inté

grable et converge presque sûrement vers une V.A.R. X, on a

C lim X = n , n A (A ea). (cf. Neveu, [l5] , Ch.II §5).

(e) Si {X^; t e T} est une sous-martingale positive définie sur un inter

valle T fermé à droite, alors la famille de V.A.R. {X^; t g. T} est équi- intégrable .

I. LIVPÆS

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II. ARTICLES

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[22] BILLINGSLEY, P., The Invariance Principle for Dépendent Random Varia

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[27] KEMENY, J.G., Generalized Random Variables, Pacific J. Math. 9^

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