UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 6 - Anneaux de polynômes sur un corps - Corrigé
Exercice 1. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômesX3+X+ 1et X2+X+ 1dans(Z/2Z) [X].
On commence par remarquer que Z/2Z est un corps, ce qui permet d’appliquer l’algorithme d’Euclide dans l’anneau(Z/2Z) [X]. On rappelle que l’on a1 =−1 dansZ/2Z. On a
−
X3 + X + 1 X2+X+ 1 X3 + X2 + X X+1
−
X2 + 1 X2 + X + 1
X c’est-à-direX3+X+ 1 = (X+ 1) X2+X+ 1
+X dans(Z/2Z) [X]. On a ensuite
−
X2 + X + 1 X
X2 X+1
−
X + 1 X
1
ce qui donneX2+X+ 1 = X(X+ 1) + 1dans(Z/2Z) [X]. On peut remonter ces calculs pour trouver l’identité souhaitée. On a
1 = X2+X+ 1 − X(X+ 1) = X2+X+ 1 −X X3+X+ 1
− X2+X+ 1
= (1 +X) X2+X+ 1
−X X3+X+ 1
= (1 +X) X2+X+ 1
+X X3+X+ 1 , le corps de base étantZ/2Z.
Exercice 2. Montrer qu’un polynôme de degré2ou3à coefficients dans un corpsK est irréductible si et seulement s’il n’a pas de racine dansK.
Soient P ∈K[X]et a∈K. On va commencer par montrer que aest une racine de P si et seulement siX−a diviseP. Pour cela, on écrit la division euclidienne deP parX−a. Il existeQ, R∈K[X]tels que l’on ait
P(X) = (X−a)Q(X) +R(X) ,
avecRnul ou de degré0. On remarque alors queaest racine deP si et seulement s’il s’agit d’une racine deR, ce qui équivaut à dire que Rest nul pour des raisons de degré.
On considère maintenantP ∈K[X]de degré2ou3. On raisonne par équivalence. On a P a une racine dans K ⇐⇒ ∃a∈K, P(a) = 0
⇐⇒ ∃a∈K, X−a divise P
⇐⇒ P n’est pas irréductible .
La dernière équivalence est vraie carPest de degré2ou3, donc écrireP =U V avecU, V ∈K[X]non inversibles revient à ce que l’un des deux soit de degré 1.
Exercice 3. Soitpun nombre premier. On noteK le corpsZ/pZ.
1) Déterminer le nombre de polynômes unitaires de degré2 à coefficients dansK.
On note E2,K l’ensemble des polynômes unitaires de degré 2 à coefficients dans K. Par définition, de tels polynômes s’écrivent sous la formeX2+aX+baveca, b∈K. On a en réalité une bijection
K2 −→ E2,K
(a, b) 7→ X2+aX+b , qui donne #E2,K = # K2
= p2. Il existe donc exactementp2 polynômes unitaires de degré2dansK[X].
2) Montrer que sif ∈K[X] est unitaire, de degré2 et réductible alors il s’écrit commef = (X−a) (X−b) aveca, b∈K et a6=b, ou commef = (X−a)2 aveca∈K.
Soitf ∈K[X]unitaire de degré2réductible. L’exercice2dit queP a une racineadansK, ce qui revient à dire queX−adiviseP dansK[X]. On écrit alors
P(X) = (X−a)Q(X) ,
avecQ∈K[X]unitaire de degré1, carP est unitaire de degré2etX−aest unitaire de degré1. On peut alors écrire
Q(X) = X−b ,
avecb∈K. Ceci donne bienP(X) = (X−a)2 sia=b etP(X) = (X−a) (X−b)sinon.
3) En déduire le nombre de polynômes unitaires de degré2et irréductibles à coefficients dansK. Les énumérer explicitement pour p= 2 etp= 3.
On noteE2,K,redle sous-ensemble deE2,Kformé des éléments réductibles, etE2,K,irredle sous-ensemble deE2,K formé des éléments irréductibles. On a la réunion disjointe suivante
E2,K = E2,K,red t E2,K,irred . La question précédente dit qu’on a une bijection
n
[n]p,[m]p
∈K2, n, m∈J0, p−1K, m≥no
−→ E2,K,red
(a, b) 7→ (X−a) (X−b)
,
cette écriture un peu compliquée servant à formaliser le fait que l’on ait (X−a) (X−b) = (X−b) (X−a), et qu’il ne faut pas compter un élément deux fois. On a alors
#E2,K,red = #n
[n]p,[m]p
∈K2, n, m∈J0, p−1K, m≥no
=
p−1
P
n=0 p−1
P
m=n
1
=
p−1
P
n=0
(p−1−n+ 1)
=
p−1
P
n=0
(p−n)
= p2−
p−1
P
n=0
n
= p2−12p(p−1)
= 12p(p+ 1) .
Ceci donne donc
#E2,K,irred = #E2,K − #E2,K,red = p2−12p(p+ 1) = 12p(p−1) . Il existe donc exactement 12p(p−1)polynômes unitaires irréductibles de degré2dansK[X].
On va maintenant expliciter les éléments de E2,K,irred pour p= 2 et p = 3. On commence par p= 2. On va donner les éléments deE2,K, puis ceux deE2,K,red, et procéder par élimination. On a
E2,K =
X2, X2+ 1, X2+X, X2+X+ 1 . Les éléments réductibles de cet ensemble sont donnés par
E2,K,red = n
X2, X(X−1), (X−1)2o
=
X2, X2+X, X2+ 1 . Ceci donne finalement
E2,K,irred =
X2+X+ 1 . On passe maintenant à p= 3, en procédant de la même façon. On a
E2,K =
X2, X2+ 1, X2+ 2, X2+X, X2+X+ 1, X2+X+ 2, X2+ 2X, X2+ 2X+ 1, X2+ 2X+ 2 , et les éléments réductibles de cet ensemble sont donnés par
E2,K,irred = n
X2, X(X−1), X(X−2), (X−1)2, (X−1) (X−2), (X−2)2o
=
X2, X2−X, X2−2X, X2−2X+ 1, X2−3X+ 2, X2−4X+ 4
=
X2, X2+ 2X, X2+X, X2+X+ 1, X2+ 2, X2+ 2X+ 1 .
Ceci donne finalement
E2,K,red =
X2+ 1, X2+X+ 2, X2+ 2X+ 2 .
Exercice 4. Soientθ∈Retn∈N. Déterminer le reste de la division euclidienne de(cos (θ) + sin (θ)X)nparX2+ 1.
On commence par écrire cette division euclidienne. On fixe doncQn, Rn ∈R[X]tels que l’on ait (cos (θ) + sin (θ)X)n = X2+ 1
Qn(X) +Rn(X) , avec Rn = 0 oudegRn <deg X2+ 1
= 2. Ceci dit que l’on peut écrireRn sous la forme Rn(X) =aX +b, aveca, b∈R. On remarque maintenant que l’on a
einθ = (cos (θ) +isin (θ))n = i2+ 1
Qn(i) +Rn(i) = Rn(i) = ai+b . Commeaetb sont réels, on peut identifier parties réelle et imaginaire, ce qui donne
( a = sin (nθ) b = cos (nθ) .
On a alorsR(X) = cos (nθ) + sin (nθ)X. Finalement, le reste de la division euclidienne de(cos (θ) + sin (θ)X)n parX2+ 1estcos (nθ) + sin (nθ)X.
Exercice 5. Soient Kun corps, ainsi quef ∈K[X]et a, b∈K aveca6=b.
1) Exprimer le reste de la division euclidienne def par(X−a) (X−b)en fonction dea, b,f(a), etf(b).
On commence par écrire cette division euclidienne. On fixe Q, R∈K[X]tels que l’on ait f(X) = (X−a) (X−b)Q(X) +R(X) ,
avecR= 0ou de degré au plus1. On a alors
0 = f(a)−f(a) = (a−a) (a−b)Q(a) +R(a)−f(a) = R(a)−f(a) , doncaest racine du polynômeR(X)−f(a), ce qui revient à dire queX−adiviseR(X)−f(a).
On fixe alors une constanteα∈K∗tel que l’on ait
R(X)−f(a) = α(X−a) ,
carR(X)−f(a)est un polynôme nul ou de degré1 divisible par un polynôme de degré1. Ceci donne R(X) = α(X−a) +f(a) .
On a de plus
f(b) = (b−a) (b−b)Q(b) +R(b) = R(b) = α(b−a) +f(a) . Commeaest différent deb, ceci donne
α = f(b)−f(a)b−a .
Le reste de la division euclidienne def par(X−a) (X−b)est donc donné par R(X) = f(b)−f(a)b−a (X−a) +f(a) .
2) Exprimer le reste de la division euclidienne def par(X−a)2en fonction dea,f(a), etf0(a).
On commence par écrire cette division euclidienne. On fixe Q, R∈K[X]tels que l’on ait f(X) = (X−a)2Q(X) +R(X) ,
avecR= 0ou de degré au plus1. On a alors
0 = f(a)−f(a) = (a−a)2Q(a) +R(a)−f(a) = R(a)−f(a) ,
doncaest racine du polynômeR(X)−f(a), ce qui revient à dire queX−adiviseR(X)−f(a). On fixe alors une constanteα∈K∗ tel que l’on ait
R(X)−f(a) = α(X−a) ,
carR(X)−f(a)est un polynôme nul ou de degré1 divisible par un polynôme de degré1. Ceci donne R(X) = α(X−a) +f(a) .
En dérivantf, on obtient alors
f0(X) = (X−a)2Q0(X) + 2 (X−a)Q(X) +R0(X)
= (X−a)2Q0(X) + 2 (X−a)Q(X) +α. On évalue ce polynôme en a, ce qui donne
f0(a) = (a−a)2Q0(a) + 2 (a−a)Q(a) +α = α . Le reste de la division euclidienne def par(X−a)2 est donc donné par
R(X) = f0(a) (X−a) +f(a) .
Exercice 6. SoientK etLdeux corps, avecK⊂L. On considère deux polynômesf, g∈K[X], avecf irréductible.
Montrer que sif et gont une racine commune dansL, alorsf diviseg.
On suppose quef et gadmettent une racine communexdansL.
On noteh∈K[X]le pgcd de f et gdansK[X]. Commef est irréductible dansK[X], on ah=αouh=αf, avecα∈K∗. En utilisant l’identité de Bézout dansK[X], on fixeU et V dansK[X]tels que l’on ait
h(X) = U(X)f(X) +V (X)g(X) .
En évaluant cette égalité en x, on remarque queh s’annule en x, et ne peut donc pas être une constante non nulle. Ceci donne alors h=αf avecα∈K∗, qui est un diviseur deg dansK[X]. Doncf diviseg dansK[X].
Exercice 7. Montrer qu’un polynôme non constant à coefficients dans R se factorise en produit de polynômes irréductibles de degré inférieur ou égal à 2. Déterminer la factorisation de X8−1 dans C[X], puis dans R[X].
Indication : on admettra le fait que Cest algébriquement clos.
SoitP un polynôme de degrén≥1à coefficients réels. On écrit
P(X) = a0Xn+a1Xn−1+· · ·+an , où tous lesai sont réels. Soitz∈Cune racine deP. On a
P(z) = a0zn+a1zn−1+· · ·+an = a0zn+a1zn−1+· · ·+an = P(z) = 0
car chaqueai est égal à son conjugué. CommeCest algébriquement clos, et que P n’est pas constant, on peut écrire
P(X) = a0 n
Q
i=1
(X−λi) ,
où lesλi sont les racines complexes deP. En regroupant ces racines en racines réelles xi aveci∈I⊂J1, nKet en racines complexes non rélles zj, zj avecj ∈J ⊂J1, nK\I, on a
P(X) = a0 Q
i∈I
(X−xi) × Q
j∈J
(X−zj) (X−zj)
= a0 Q
i∈I
(X−xi) × Q
j∈J
X2−2Re(zj) +|zj|2
et chaque polynôme X2−2Re(zj) +|zj|2 est irréductible dansR[X]car de degré2et sans racine dansR. On va maintenant donner la factorisation deX8−1dansC[X], puis dansR[X]. On a
X8−1 = (X−1)
X−e2iπ8 X−e4iπ8 X−e6iπ8 X−e8iπ8 X−e10iπ8
×
X−e12iπ8 X−e14iπ8
= (X−1)
X−1+i√
2
(X−i)
X−−1+i√
2
(X+ 1)
×
X−−1−i√2
(X+i)
X−1−i√2
= (X−1) (X+ 1) [(X−i) (X+i)] h
X−1+i√
2 X−1−i√
2
i
×h
X−−1+i√
2 X−−1−i√
2
i
= (X−1) (X+ 1) X2+ 1
X2−√
2X+ 1
X2+√
2X+ 1 .
Exercice 8. Déterminer la factorisation en produit de polynômes d’irréductibles deX2+ 3X+ 4dans (Z/pZ) [X]
pour p∈ {2,3,5,7,11}.
On pose P(X) = X2+ 3X + 4 ∈ (Z/pZ) [X]. On va déterminer sa factorisation en produit de polynômes irréductibles suivant la valeur dep.
• p= 2 : On aP(X) = X2+X = X(X+ 1) et chacun des facteurs dans cette dernière écriture est irréductible car de degré1.
• p= 3 : On aP(X) = X2+ 1, qui n’a pas de racine dansF3. Ce polynôme, étant de degré2, est alors irréductible dansF3[X].
• p= 5 : On va évaluerP en chacun des éléments deF5. On présente le résultat sous forme de tableau.
a a2 3a P(a) =a2+ 3a+ 4
0 0 0 4
1 1 3 3
2 4 1 4
3 4 4 2
4 1 2 2
On remarque queP n’a pas de racine dansF5. Ce polynôme étant de degré2, il est irréductible dansF5[X].
• p= 7 : On va évaluerP en chacun des éléments deF7. On présente le résultat sous forme de tableau.
a a2 3a P(a) =a2+ 3a+ 4
0 0 0 4
1 1 3 1
2 4 6 0
3 2 2 1
4 2 5 4
5 4 1 2
6 1 4 2
On a alors P(X) = (X−2)2 dansF7[X], car2est l’unique racine de P dansF7 et qu’il s’agit d’un polynôme unitaire de degré 2.
• p= 11: On va évaluerP en chacun des éléments deF11. On présente le résultat sous forme de tableau.
a a2 3a P(a) =a2+ 3a+ 4
0 0 0 4
1 1 3 8
2 4 6 3
3 9 9 0
4 5 1 10
5 3 4 0
6 3 7 3
7 5 10 8
8 9 2 4
9 4 5 2
10 1 8 2
On a alors P(X) = (X−3) (X−5) dans F11[X], car 2 et 5 sont racines de P dans F11 et qu’il s’agit d’un polynôme unitaire de degré2.
Exercice 9. Soient Kun corps etf ∈K[X]non nul. On noteA le quotientK[X]/(f).
1) Montrer qu’un élément deA est inversible si et seulement s’il ne s’agit pas d’un diviseur de zéro.
On commence par remarquer que le fait que f soit non nul signifie que A est canoniquement un K-espace vectoriel de dimension finien, oùnest le degré def. Soitx∈A. On pose
ϕx : A −→ A y −→ yx
,
qui est une applicationK-linéaire. On remarque que son noyau est nul si et seulement sixn’est pas un diviseur de zéro. LeK-espace vectorielAétant de dimension finie, le théorème du rang donne
n = dimK A = dimK kerϕx + rgKϕx ,
donc le noyau deϕxest nul si et seulement si ϕx est surjective. D’autre part, on remarque quexest inversible dansAsi et seulement s’il existey∈Atel que l’on aitϕx(y) = 1. Il s’agit donc de montrer queϕxest surjective si et seulement si1 est dans son image. L’implication directe étant immédiate, car la surjectivité dit que toute valeur (en particulier 1) est atteinte, on traite la réciproque.
On se donne y∈Avérifiantϕx(y) = 1. Soitz∈A. On a
z = zϕx(y) = zyx = ϕx(zy) ,
et ϕxest alors bien surjective. Ceci montre l’équivalence souhaitée et permet de conclure.
2) Donner un exemple d’anneau possédant des éléments non inversibles qui ne sont pas des diviseurs de zéro.
L’idée est ici de prendre un anneau intègre, dont le seul diviseur de zéro est zéro lui-même, et possédant très peu d’éléments inversibles. Un exemple naturel est A = Z. Chaque entier n6∈ {−1, 0,1} est non-inversible, mais n’est pas un diviseur de zéro, carZest intègre.
Exercice 10. On noteAl’anneau quotient C[X]/ X3−X2
. Déterminer les éléments inversibles, les diviseurs de zéro, et les nilpotents deA.
Le polynômef(X) = X3−X2 = X2(X−1) ∈ C[X]étant non nul, l’exercice précédent dit que les diviseurs de zéro de Asont exactement ses éléments non inversibles. On va procéder en plusieurs étapes.
•Diviseurs de zéro : SoitP∈C[X]tel que la classeP deP moduloX2(X−1)soit un diviseur de zéro.
Il existe alorsQ∈C[X] tel que l’on aitQ P = 0avecQ6= 0. Ceci signifie queX2(X−1)diviseQP mais pas QdansC[X], et donc queX ouX−1 diviseP dansC[X].
Réciproquement, siP ∈C[X]est divisible parX, alors on aX(X−1)P = 0, avecX(X−1)non nul dansA, doncP est un diviseur de zéro. Le raisonnement est le même siP est divisible parX−1.
Ceci montre que les diviseurs de zéro deAsont exactement les classes modulof des polynômes deC[X]divisibles parX ou par X−1, c’est-à-dire ayant0 ou1comme racine.
•Inversibles : La remarque faite plus haut dit que les inversibles deAsont exactement les classes modulo f des polynômes deC[X]qui ne sont divisible ni parX ni par X−1.
•Nilpotents : SoitP ∈C[X]tel queP soit nilpotent dansA. On fixe alors un entier naturelnnon nul tel que l’on aitPn = 0. AlorsX2(X−1) divisePn dansC[X], doncX(X−1)diviseP.
Réciproquement, si P ∈ C[X] est divisible par X(X−1), alors P2 est divisible par X2(X−1), et P est nilpotent dans l’anneau quotientA.
Les éléments nilpotents deAsont donc les classes modulof des polynômes deC[X]divisibles parX(X−1).
Exercice 11. Soitpun nombre premier. On noteQ √ p
le sous-ensemble deRformé des éléments pouvant s’écrire sous la formea+b√
paveca, b∈Q. 1) Montrer que√
pn’est pas rationnel.
On raisonne par l’absurde. On suppose que√
ppuisse s’écrire sous la forme ab oùaetbsont deux entiers naturels premiers entre eux, avec bnon nul. On a alors
b2p = a2 ,
doncadiviseb2p. Commeaetbsont premiers entre eux, le théorème de Gauss dit queadivisep. D’autre part, on sait quepdivisea, car il divisea2 et est premier. Commeaetpsont tous deux positifs, on a alorsa=p, ce qui donne
b2p = p2 ,
c’est-à-direp=b2. Ceci est absurde, carpdiviserait alors b, ce qui permettrait d’écrire p=k2p2 aveckentier, ce qui donnerait1 =k2p. On a donc bien montré l’irrationnalité de√
p.
2) En déduire que pour toutx∈Q √ p
, l’écriturex=a+b√
pest unique.
Dire que l’écriture de x∈Q √ p
sous la formex = a+b√
psoit unique revient à dire que le morphisme de groupes additifs
Q2 −→ Q √ p (a, b) 7→ a+b√
p est injectif. Soit alors(a, b)∈Q2tel que l’on aita+b√
p= 0dansQ √ p
. Sib est non nul, on a
√p = ab
ce qui est absurde par la question précédente. On a doncb= 0, ce qui donne aussia= 0et permet de conclure.
3) Montrer queQ √ p
est un sous-corps deR. On va commencer par montrer queQ √
p
est un sous-anneau deR.
• On remarque que le neutre multiplicatif1 = 1 + 0×√
pest bien dansQ √ p
.
• On va montrer que Q √ p
est un sous-groupe additif de R. Pour cela, on remarque qu’il contient le neutre multiplicatif 0, qui est différent de1, et que pour tousa, a0, b, b0∈Q, on a
a+b√ p
− a0+b0√ p
= (a−a0) + (b−b0)√
p ∈ Q √ p
.
• On va enfin montrer la stabilité par produit. Soient a, a0, b, b0∈Q. On a a+b√
p
a0+b0√ p
= aa0+ab0√
p+a0b√
p+bb0p
= (aa0+bb0p) + (ab0+a0b)√
p ∈ Q √ p
. Pour montrer que le sous-anneau Q √
p
deR, qui est intègre, est un corps, il s’agit donc à présent de montrer que tout élément non nul est inversible. Soit(a, b)∈Q2 non nul. On a
a−b√ p
a+b√ p
= a2−b2p , donc le rationnela2−b2pest non nul, et l’on a
a+b√ p
a
a2−b2p+a2−bb2p
√p
= 1 , donca+b√
pest inversible dansQ √ p
, d’inverse a2−ba2p +a2−bb2p√
p ∈ Q √ p
.
4) Déterminer le noyau et l’image du morphisme d’anneaux ϕ : Q[X] −→ Rdéfini par ϕ(f) = f √ p
. En déduire queQ √
p
est isomorphe au quotientQ[X]/ X2−p .
On commence par remarquer que l’applicationϕainsi définie est bien un morphisme d’anneaux. On va mainte- nant décrire son image.
Soit(a, b)∈Q2. On a
a+b√
p = ϕ(a+bX) ,
donc le morphisme d’anneauxϕest surjectif. On passe maintenant au noyau. SoitP ∈kerϕ. On commence par écrire la division euclidienne deP parX2−pdansQ[X]. On fixeQ, R∈Q[X]tels que l’on ait
P(X) = X2−p
Q(X) + R(X) ,
avecR = 0oudegR < 2. Ceci permet de fixera, b∈Qtels que l’on aitR(X) = a+bX. On a 0 = ϕ(P) = P √
p
= √
p2
−p Q √
p
+R √ p
= R √
p
= a+b√ p ,
ce qui donnea=b= 0par la question2, c’est-à-direR = 0. Ceci signifie queX2−pdiviseP dansQ[X], donc le noyau de ϕest inclus dans l’idéal engendré par X2−p. Ce dernier étant dans le noyau deϕ, on a l’égalité
kerϕ = X2−p .
Le premier théorème d’isomorphisme sur les anneaux dit alors queϕinduit un isomorphisme d’anneaux
∼ϕ : Q[X]/ X2−p ∼
−→ Q √ p .
5) Montrer que sipetqsont deux nombres premiers distincts, les corpsQ √ p
etQ √ q
ne sont pas isomorphes.
Soientpetqdeux nombres premiers distincts. On suppose par l’absurde qu’il existe un isomorphisme d’anneaux ϕ : Q √
p
−→ Q √ q
. On se donne alors deux rationnels aetbtels que l’on ait
ϕ √ p
= a+b√ q . On remarque dans un premier temps que l’on a
ϕ √ p2
= ϕ(p) = ϕ(1 +· · ·+ 1)
| {z }
pfois
= pϕ(1) = p,
car on a par hypothèseϕ(1) = 1. D’autre part, on a ϕ √
p2
= a+b√ q2
= a2+b2q+ 2ab√ q . La question 2 disant que l’écriture d’un élément de Q √
q
sous la forme u+v√
q avec u et v rationnels est unique, ce qui précède donne
( a2+b2q = p
2ab = 0 .
Si a= 0, la première égalité donne b2q = p, ce qui est absurde carq ne peut pas diviserp. Sib = 0, la même relation donne a2 = p, ce qui est également absurde. Dans tous les cas, on obtient une contradiction, ce qui permet de conclure.
On remarque que cette preuve montre un meilleur résultat, à savoir qu’il ne peut même pas exister de morphisme d’anneaux entreQ √
p
etQ √ q
.
