E575. Colloque à six
Six orateurs,A, B, C, D, E, F, doivent prendre la parole dans ce colloque,mais on a mélangé leurs dossiers et aucun d’eux ne porte le badge avec son nom.
Le professeurAdemande au porteur du badgeB : Etes-vous le professeurC?
L’interpellé répond :
Non. Pourquoi posez-vous la question ? Le badge que vous portez n’est pas C, mais le professeur C devrait échanger son badge avec le professeur F pour qu’un des deux porte le bon badge. Et si vous vous posez la question, je ne suis pas non plus le professeurD.
Quelle pagaille ! Il n’y a même pas deux des six orateurs qui puissent dire :
“chacun de nous porte le badge de l’autre.”
Du moins pouvons-nous nous partager en deux groupes où les badges portés sont ceux des orateurs membres de ces groupes. De plus, chacun de ces groupes contient un badge voyelle.
Les orateurs sont appelés à prendre la parole dans l’ordre alphabétique de leurs badges, mais dans quel ordre ont-ils parlé ?
Solution proposée par Simon Pellicer
Q1.
Construisons un tableau dans lequel on marque tous les orateurs qui ne peu- vent pas porter le badgexavecx∈ {A;B;C;D;E;F}. On sait qu’aucun d’eux ne porte le badge avec son nom. On a alors pour commencer le tableau suivant :
A B C D E F
{A} {B} {C} {D} {E} {F}
Or d’après le texte on sait que l’orateur portant le badgeB, n’est pas l’orateur C, n’est pas l’orateurF, n’est pas l’orateurD et n’est pas l’orateurA(puisque l’orateurA lui parle). Le tableau devient donc :
A B C D E F
{A} {B;C;D;A;F} {C} {D} {E} {F}
Donc le professeur portant le badgeBest nécessairement le professeurE. Ainsi puisque c’est le professeurE on a maintenant le tableau suivant :
A B C D E F
{A;E} {B;C;D;A;F} {C;E} {D;E} {E} {F;E}
De même d’après le texte l’orateur portant le badge C n’est pas le professeur A. On obtient finalement :
A B C D E F
{A;E} {B;C;D;A;F} {C;E;A} {D;E} {E} {F;E}
On a une autre information : "Du moins pouvons-nous nous partager en deux groupes où les badges portés sont ceux des orateurs membres de ces groupes.
De plus, chacun de ces groupes contient un badge voyelle.". Ainsi il existe deux
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groupesG1 etG2 telle que A∈G1 et E∈G2. Or ces deux groupes sont com- posés de trois orateurs, car si il y avait 1 groupe de 2 orateurs et un groupe de 4 orateurs alors la condition : "Il n’y a même pas deux des six orateurs qui puis- sent dire : “chacun de nous porte le badge de l’autre.”" ne serait pas vérifiée.
De même puisque l’orateur F porte le badge C ou bien l’orateur C porte le badgeF alors les deux orateurs sont dans le même groupe.
Puisque l’orateurE porte le badgeB alors l’orateurBest nécessairement dans le groupe deE.
Cela nous permet d’avoir : G1 = O({E;B;D}) = B({B;D;E}) et G2 = O({A;F;C}) = B({C;A;F}) avec O(...) qui représente les orateurs et les badges représentés respectivement par : B(...).
Finalement on a le tableau de correspondances suivant :
Orateurs A B C D E F
Badges F D A E B C
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