A1707 – La tache d’encre [** à la main]
Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135,
ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) = avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache,donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).
Solution proposée par Jacques Guitonneau
On peut déduire des rapports des PPCM où 2 des 3 membres restent les mêmes.
Ainsi PPCM(dbc)/PPCM(abc)=9 montre que d doit être un multiple de puissance de 3 supérieure à celle de a, b et c , et nécessairement d=k.27.
PPCM(bcd)/PPCM(cde)=4, donc b doit être un multiple de 4
PPCM(def)/PPCM(cde)=202/5 montre que f est multiple de 202 et c de 5.
PPCM(def)/PPCM(efa)=27/2, donc a est multiple de 2.
Par ailleurs on sait que PPCM(cde)=135 et PPCM(def)=5454 que d ne peut être multiple de 2 et de 5, donc d=27.
fab doit être un multiple de 202 par f et de 4 par b, donc fab est un multiple de 404. S’il est aussi multiple de 3, alors a et b pourraient l’être ou pas aussi, ce qui est impossible par l’unicité de la solution. De même b pourrait être aussi multiple de 5 et être égal à 20. Dès lors a = 4, b = 20, c = 15, d = 27, e = 3 et f = 202 donnent
ppcm(f,a,b) = 2020 et on vérifie bien que la solution est unique.
