SOLUTION – 012. Dans l’ensemble des réels strictement positifs, démontrer que :

SOLUTION – 012.

Dans l’ensemble des réels strictement positifs, démontrer que :

5 6

4 2

3 3

3+ + =

⇒

= +

+ abc

c b a a

c c b b

a

Posons

a z c c y b b

x=a =2 =4

On a xyz = 8 donc la moyenne géométrique de (x, y, z) est 2.

Mais on sait que la moyenne arithmétique est au moins égale à la moyenne géométrique, avec égalité si et seulement si x = y = z.

C’est le cas ici, puisque la moyenne arithmétique vaut 2 3 6 3+ = = + y z

x .

On est dans le cas d’égalité, donc x = y = z soit

a c c b b

a =2 =4 d’où l’on tire : 2 b² = ac et 2 c² = ab. D’où 2 b³ = abc = 2 c³ .

Ainsi b = c ce qui entraîne a = 2 b = 2 c.

C’est facile de terminer : 5.

2 8

3 3 3 3 3

3

3 + + =

+ = +

c c c c abc

c b a