Universit´e Libre de Bruxelles
Examen de INFO-F-205, Calcul Num´erique le 3 juin 2014
M. Jansen
N’oubliez surtout pas:
• d’utiliser unefeuille diff´erentepour chaque question
• de soumettre, pour chaque question, exactement une (pas deux, ni z´ero) feuille, avec votre nom, mˆeme si vous ne r´epondez pas `a la question
• de noter votre nom sur toutes les feuilles
• d’´ecrire lisiblement
• de justifier de mani`ereclaire et succintetous vos raisonnements et calculs.
R´epartition des notes
Projet Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Total
2 3 3 2+2+1+1 3 3 20
Question 1: Repr´esentation en machine
SoitF(b, t, L, U)une repr´esentation `a virgule flottante en baseb= 2. On impose que la distance relative entre deux nombres cons´ecutifs deF(b, t, L, U)soit ma- jor´ee par10−8, tandis que les nombres±10±64 soient repr´esent´e sans “overflow”
ou “underflow”. Combien de bits (symbols binaires) sont n´ecessaires pour achever ces objectifs?
corrig´e
La distance relative maximale entre deux nombres cons´ecutifs de F(b, t, L, U) satisfait `aǫ = b1−t, t ´etant le nombre de chiffres signficatifs. Il faut donc que 21−t≤10−8 ⇔t≥1−log2(10−8) = 27,58. Puisque le premier bit sera toujours un 1, on a besoin de 27 bits pour repr´esenter la mantisse. A ces 27 bits s’ajoutent les bits pour repr´esenter l’exposant. En base 2, la borne1064est major´ee par2213, tandis que la borne10−64 >2−213. L’exposant en base 2 peut donc prendre toute valeur enti`ere comprise entre -213 et 213. Pour repr´esenter 213+214=427 valeurs diff´erentes, il nous faut au moinslog2(427)bits, ce qui revient `a 9 bits. En total, nous avons besoin de1 + 9 + 27 = 37bits (dont l’un est pour le signe).
Question 2: ´equations diff´erentielles
1. Expliquer: pour la convergence d’une m´ethode explicite `a un pas enarithm´etique exacteil faut que la m´ethode soit stable sous de petits arrondis (z´ero-stabilit´e;
donc arithm´etique num´erique).
2. Illustrer avec une formule que ceci n’implique pas que les vrais arrondis sont annihil´es dans l’ex´ecultion des it´erations d’une m´ethode convergente.
3. Quelle est alors la diff´erence entre les arrondis suppos´es (artificiels) dans l’analyse de la convergence et les arrondis r´eels?
1
corrig´e
1. Selon le th´eor`eme de Lax-Richtmyer, l’effet de l’erreur de troncature (c’est-
`a-dire, l’erreur de l’approximation) se d´ecrit comme si c’´etait une erreur num´erique d’arrondi. Donc, la (z´ero-)stabilit´e (c’est-`a-dire, la robustesse face `a des erreurs d’arrondi/des erreurs de g´en´eration), tout en ´etant une pro- pri´et´e num´erique, joue un rˆole pour la robustesse face `a des erreurs d’approximation en arithm´etique exacte.
2. Pour la m´ethode d’Euler en arithm´etique num´erique on a
0≤n≤Nmaxh
|y(tn)−y(tb n)| ≤ eLT −1 L
M2
2 h+ǫ+ ρ h
,
o`uǫetρd´ecrivent les effets des erreurs d’arrondi r´eelles. Ces effets ne sont pas nuls pourh → 0. Ceci est en contraste avec l’effet de la troncature, d´ercit par le terme M22h.
3. Pour une m´ethode consistante, l’erreur de troncature globale τ(h)se man- ifeste comme une erreur d’arrondi qui tend vers 0 sih → 0. Les erreurs d’arrondi r´eelles, par contre, ne d´ependent pas deh.
Question 3: syst`emes surd´etermin´es
Etant donn´ees deux matricesAetB, ´ecrites sous la forme A=
"
A1,1 A1,2 A2,1 A2,2
#
, B=
"
B1,1 B1,2 B2,1 B2,2
# ,
o`uAijetBijsont des sousmatrices de tailles appropri´ees, alors on peut d´ecomposer le produit matriciel sous la forme
AB=
"
A1,1B1,1+A1,2B2,1 A1,1B2,1+A1,2B2,2 A2,1B1,1+A2,2B2,1 A2,1B2,1+A2,2B2,2
# .
SoientA1,1 etA2,2deux matrices carr´ees non-singuli`eres de taillesn1×n1et n2×n2. Soit A une matrice rectangulaire de taille n×m, o`u n > n1+n2 et m=n1+n2. On d´efinieA=
A1,1 O1,2 O2,1 A2,2 O3,1 O3,2
.Les matricesOi,j ne contiennent que des z´eros.
1. En utilisant les propri´et´es d´efinissantes (1)AA†A = A, (2) A†AA† = A†, (3)(AA†)T = AA†, (4) (A†A)T = A†A, on peut montrer que le pseudo- inverse A† est ´egal `a A† =
"
A−11,1 OT2,1 O3,1T O1,2T A−12,2 O3,2T
#
. V´erifier la premi`ere propri´et´e,AA†A=A.
2. Ecrire le pseudo-inverse de la matriceA=
4 0 0 0 0 5 2 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
3. Trouver le vecteur ~x avec la norme minimale parmi les vecteurs qui min- imisent la norme du r´esidukA~x−~bk2, o`u~b=h 1 2 3 4 5 iT
4. Trouver un autre vecteur~x′qui minimise ´egalement la norme du r´esidu, sans avoir, lui-mˆeme, la norme minimale.
corrig´e
1.
AA†A =
A1,1 O1,2 O2,1 A2,2 O3,1 O3,2
"
A−11,1 O2,1T OT3,1 O1,2T A−12,2 OT3,2
#
A1,1 O1,2 O2,1 A2,2 O3,1 O3,2
=
A1,1 O1,2 O2,1 A2,2 O3,1 O3,2
"
I1,1 O O I2,2
#
=A
2. Consid´erer les blocksA1,1= [4],A2,2 =
"
5 2 3 3
# .
AlorsA−12,2 = det(A)1
"
3 −3
−2 5
#T
= 19
"
3 −2
−3 5
#
et doncA†=
1
4 0 0 0 0
0 13 −29 0 0 0 −13 59 0 0
0 0 0 0 0
Faire attention `a la taille deA†, qui est ´egale `a celle deAT! 3. ~x=A†~b=h 14 0 1 0 iT
4. ~x′ =h 14 0 1 a iT o`ua∈R\{0}.
Question 4: Syst`emes non-lin´eaires Consid´erer l’´equationxcos(x)−1 = 0.
1. Montrer que la fonction d’it´erationφ(x) = 1−x2sin(x)
cos(x)−xsin(x) sort du d´eveloppement de la m´ethode de Newton
2. Le graphique ci-dessous trace la fonctionφ(x), ainsi que la fonctiony(x) = x (en ligne grise). Quelle caract´eristique de la fonction φ(x) confirme le r´esultat que la m´ethode de Newton a une convergence d’ordre deux?
3
corrig´e
1. Pour la fonctionf(x) =xcos(X)−1, la fonction d’it´eration de la m´ethode de Newton devient
φ(x) =x− f(x)
f′(x) =x− xcos(x)−1 cos(x)−xsin(x) 2. La d´eriv´eeφ′(x)s’annule dans les points fixes deφ(x).
Question 5: splines
Construire la spline quadratique p´eriodique pour les noeuds 0 et 1 et les observa- tionsf(0) = 0etf(1) = 1. Pourquoi est-ce qu’il n’existe pas de d´efinition pour la spline quadratiquenaturelle?
corrig´e
1. La spline quadratique prend la forme d’un polynˆome de degr´e deux entre chaque pair de noeuds. Etant donn´e juste deux noeuds, nous sommes `a la recherche des trois coefficientsa,b,c, dans l’expression polynomiales(x) = ax2+bx+c. On impose les conditions d’interpolation: s(0) = f(0) = 0 ets(1) = f(1) = 1, d’o`u viennent les ´equations c = 0 etb+c = 1. La condition p´eriodique revient `as′(0) = s′(1), o`us′(x) = 2ax+b, et donc b= 2a+b⇒a= 0etb= 1.
2. Apr`es les conditions pour les d´eriv´ees et les interpolations, il nous restek−1 conditions additionnelles `a fixer, o`ukd´enote l’ordre de la spline. Nous avons k = 2, donc, on dispose d’un seul degr´e de libert´e. Ceci ne suffit pas pour imposer une condition naturelle aux deux extr´emit´es de l’intervalle.
4
