Universit´e Libre de Bruxelles Examen de INFO-F-205 Calcul Num´erique
le 20 ao ˆut 2014
M. Jansen
N’oubliez surtout pas:
• d’utiliser unefeuille diff´erentepour chaque question
• de soumettre, pour chaque question, exactement une (pas deux, ni z´ero) feuille, avec votre nom, mˆeme si vous ne r´epondez pas `a la question
• de noter votre nom sur toutes les feuilles
• d’´ecrire lisiblement
• de justifier de mani`ereclaire et succintetous vos raisonnements et calculs.
R´epartition des notes
Projet Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Total
2 2+2 3 2+2+1+1(+2) 3 2 20(+2)
Question 1: EDO
Consid´erer l’EDOy′(t) = cos(t2y(t)) +y(t)avec la valeur initialey(0) = 1.
1. Montrer que le probl`eme poss`ede une solution unique pour tout t ∈ Do`u D= [−2,2].
2. D´eterminer par la m´ethode d’Euler explicite avec un pash = 0,2la valeur de la solution pourt= 1. (Ecrire la formule r´ecursive, puis ´evaluer)
corrig´e
1. Ceci revient `a montrer que la fonction f(t,y) satisfait la condition Lipschitzi- enne La fonctionf(t, y) = cos(t2y(t)) +y(t)satisfait la condition de Lips- chitz pour toutt∈Det pour touty∈Rsi et seulement si∂f∂yest major´ee.
Or,
∂f
∂y
=|t2sin(t2y(t)) + 1| ≤4 + 1 = 5 2.
1
Question 2: Syst`emes surd´etermin´es
Etant donn´ees les observations suivantes: xi 0 1 2 3 4 yi 1 0 1 0 y4
trouvez les coefficients c0, c1, c2 de la fonction y(x) =b c0ϕ0(x) +c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x), en utilisant la m´ethode des moindres carr´es, pour les fonctions de base:
ϕ0(x) = 1
ϕ1(x) = x(x−4) ϕ2(x) = x(x−2)(x−4) corrig´e
Le syst`eme surd´etermin´e est:
1 0 0
1 −3 3
1 −4 0
1 −3 −3
1 0 0
c0
c1 c2
=
1 0 1 0 y4
Equation normale:
ATA=
5 −10 0
−10 34 0
0 0 18
ATb=
y4+ 2
−4 0
Solution:
~c=
"
5 −10
−10 34
#−1"
y4+ 2
−4
#
0
Question 3: Syst`emes non-lin´eaires
Consid´erer l’´equation non-lin´eairex+ln(|x|) = 0et la fonction d’it´erationφ(x) =
−ln (|x|).
1. Argumenter que l’intervalle]1/e,1[contient une racine def(x), en utilisant la d´efinition dee= exp(1), un nombre strictement plus grand que 1.
2. Argumenter que l’it´erationx(i+1) =φ(x(i))ne peut pas converger vers une racine dans l’intervalle]1/e,1[.
3. Le graphique ci-dessous trace le point d’it´eration x(i)en fonction de l’´etape i, ainsi que la solutionx∗ (en ligne grise et constante).
2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
iteration step
x(iter)
On constate que l’it´eration, bien qu’elle ne soit pas convergente, a la ten- dance de retourner vers des valeurs autour de la solutionx∗ de l’´equation non-lin´eaire, dans une sorte de fluctuation irr´eguli`ere.
Expliquer ce comportement de l’it´eration.
4. Montrer que toute fonction d’it´eration φc(x) = cx+ (c−1) ln(|x|)(pour c6= 1) donne lieu `a une it´eration consistante.
5. (question bonus; 2 points `a gagner, rien `a perdre) Trouver les valeurs de c ∈ [0,1] telles que l’it´eration associ´ee `a φc(x) converge sur l’intervalle ]1/e,1[.
corrig´e
1. (1) La fonctionf(x)est continue. (2)f(1/e) = 1/e+ln(1/e)<1−ln(e) = 1−1 = 0. (3) f(1) = 1 + ln(1) = 1 > 0. (3) Une fonction continue sur l’intervalle [a, b]o`u f(a)f(b) < 0 prend un z´ero sur l’intervalle [a, b[.
(Th´eor`eme 7.1 du syllabus)
2. La fonction φ(x) a pour d´eriv´ee la fonction1/x. Cette fonction prend des valeurs (absolues) sup´erieures `a 1, dans tout l’intervalle concern´e.
3. Deux expliquations possibles: (1) Pour les valeurs sup´erieures `a 1, la fonc- tion φ(x) satisfait |φ(x)| < |x|, et donc, tant que|x(i)| ≥ 1, on constate
|x(i+1)| < |x(i)|. (2) ou bien: pour les valeurs sup´erieures `a 1, la d´eriv´ee φ′(x) a une valeur absolue inf´erieure `a 1, ce qui donne lieu `a une conver- gence momentan´ee.
4. cx+ (c−1) ln(|x|) =x⇔(c−1)(x+ ln(|x|)) = 0⇔x+ ln(|x|) = 0 5. Il faut imposer que la d´eriv´eeφ′c(x)soit born´ee par 1. On retrouve (sachant
que c−1est n´egative!!) |φ′c(x)| ≤ 1 ⇔ |c+ (c−1)/x| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ c+(c−1)/x≤1⇔ −1−c≤(c−1)/x ≤1−c⇔ −(1+c)/(c−1)≥1/x≥ (1−c)/(c−1) ⇔ −1 ≤1/x ≤(1 +c)/(1−c) ⇔ x≤ −1ou bienx ≥ (1−c)/(1 +c).L’intervalle[(1−c)/(1 +c),∞]couvre l’intervalle]1/e,1[
si et seulement si(1−c)/(1 +c)<1/e⇔c >(e−1)/(e+ 1)
3
Question 4: Syst`emes lin´eaires
Etant donn´ee la matriceA=
1 2 0 3 4 0 0 0 9
, Est-ce que la m´ethode de Jacobi con-
verge pour cette matrice? R´ep´eter l’exercice pour la m´ethode de Gauss-Seidel.
corrig´e BJ =
0 −2 0
−3/4 0 0
0 0
dont le spectre estdet(BJ−λI) = 0⇔λ3−3/2λ= 0.
Les racines de l’´equation sontλ∈ {0,±p3/2}. Puisque le rayon spectral est plus que 1, la m´ethode de Jacobi ne converge pas.
Pour Gauss-Seidel, on trouveBGS= (D−E)−1Fc-`a-d.:BGS =
0 −2 0 0 3/2 0
0 0 0
dont le spectre est l’ensemble{0,3/2}. La m´ethode ne converge pas.
Question 5: splines
Montrer que la spline quadratique, p´eriodique, interpollant les noeuds et les valeurs (−1,1),(0,0),(1,1)n’existe pas.
corrig´e
Posons s1(x) = a1x2 +b1x+c1 pour le polynˆome quadratique sur l’intervalle [−1,0]ets2(x) =a2x2+b2x+c2pour le polynˆome quadratique sur l’intervalle [0,1]. Les deux polynˆomes ont une racine dans l’origine, dont il s’ensuit imm´ediatement que c1 = 0 = c2. La continuit´e de la d´eriv´ee en x1 = 0 nous amm`ene `a la contrainte b1 = b2, car s′1(x) = 2a1x +b1, donc s′1(0) = b1, tandis que s′2(0) = b2. Les interpolations: s1(x0) = s1(−1) = 1 ⇒ a1 −b1 = 1;
s2(x2) = s2(1) = 1 ⇒ a2 +b1 = 1. Les conditions p´eriodiques: s′1(−1) = s2(1)⇒ −2a1+b1 = 2a2+b1 ⇒a1 =−a2. En substituant dans les conditions d’interpolations, on retrouve a1 −b1 = 1 et −a1 +b1 = 1, c’est-`a-dire, deux conditions contradictoires.
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