©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022

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Année scolaire 2021-2022 MPSI

Devoir surveillé de MATHÉMATIQUES n°2 Samedi 2 octobre 2021

Durée de l’épreuve :4h de 8h à 12h00 Professeur : M. de Saint Julien Les calculatrices sont interdites.

Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

I Pour démarrer

Exercice 1 Calculer les sommes suivantes (n ∈ N ^∗ ) : 1. ^{X n}

i=1

1

2 ⁴ⁱ⁺¹ . 2. ^{X n}

k=0

n k + 1

!

3 ^k 3. ^{X n}

i=1 n

X

j=i

i j + 1 .

Exercice 2 (Une récurrence) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N ^∗ , on a :

n

X

k=1

k ³ = n(n + 1) 2

! 2

.

Exercice 3 (Questions en vrac) Les questions sont indépendantes

1. Combien existent-ils de nombres entiers à 10 chiffres dont tous les chiffres sont pairs.

2. La classe de MPSI constituée de 36 élèves désire inscrire une équipe de 10 joueurs pour le tournoi de volley du lycée. Combien d’équipes différentes peut-elle former ?

3. Soit A et B deux parties d’un ensemble E. Démontrer que : (A \ B ) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).

4. Soit P et Q deux assertions. Déterminer en justifiant, une assertion A telle que l’assertion (P ou Q) soit équivalente à l’assertion (non P = ⇒ A).

Exercice 4 (Des négations) Pour chacune des assertions, écrire sa négation puis préciser si l’assertion est vraie en justifiant.

1. ∀n ∈ N , ∃m ∈ N , m ² > 2017n. 2. ∀x ∈ R , (x ² > 9 ⇒ x > 3).

Exercice 5 (Une technique classique) Soit n ∈ N .

En dérivant de deux façons différentes la fonction f : x 7→ (1 + x) ⁿ , calculer la somme

n

X

k=0

k n k

!

.

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II De l’analyse

Exercice 6 (Une étude de fonction) On note f la fonction de variable réelle définie par

f(x) =

s x ³ x − 1 .

1. Justifier à l’aide d’un tableau de signes que f est définie sur D =] − ∞, 0]∪]1, +∞[.

2. Déterminer la limite de f en 1, puis la limite de f en +∞.

3. Étudier la dérivabilité de f en 0. Donner une interprétation graphique.

4. Justifier que f est dérivable sur D. En déduire les les variations de f que l’on présentera dans un tableau en y faisant figurer les limites.

5. Soit α ∈ R . On note g la fonction définie sur ] − 1, +∞[ par g(t) = (1 + t) ^α . Déterminer à l’aide d’un taux d’accroissement la limite suivante :

lim t→0

(1 + t) ^α − 1

t .

6. Démontrer que pour x > 1, on a

f(x) − x = x

(1 − 1

x )

− 1

.

En déduire la limite en +∞ de f (x) − x. Interpréter graphiquement.

Exercice 7 (Une équation différentielle) Soit q : R →]0, +∞[ une fonction continue et f : R → R une fonction deux-fois dérivable vérifiant (l’équation différentielle suivante) :

(E) ∀x ∈ R , f ⁰⁰ (x) − q(x)f(x) = 0.

Contrairement à ce que l’on pourrait penser, il n’est pas possible de résoudre explicitement une telle équation.

On suppose de plus que f est bornée sur R . Le but de l’exercice est de démontrer que f est la fonction nulle.

1. Démontrer que si f est une solution de (E), alors la fonction f ² est convexe.

2. Soit g : R → R une fonction convexe pour laquelle il existe un réel a tel que g ⁰ (a) > 0.

Démontrer que la limite de g en +∞ vaut +∞. En déduire qu’une fonction convexe et bornée sur R est nécessairement constante.

3. En déduire que si f est une solution de (E) bornée sur R , alors f est la fonction nulle.

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III S’il reste du temps...

Exercice 8 On pose pour n ∈ N ,

u _n = sin (2 + √

3) ⁿ π . 1. Soit n ∈ N . Démontrer que le nombre k _n = (2 + √

3) ⁿ + (2 − √

3) ⁿ est un entier.

2. En déduire que la suite (u _n ) converge.

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