Del’entraînementaucalcul Feuilled’exercices:techniquesdecalculintégral

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

Feuille d’exercices : techniques de calcul intégral

De l’entraînement au calcul

Exercice 1 (Calculs de primitives) Déterminer une primitive de 1. x 7→ (x − 1) √

x 2. x 7→ x cos(5x ² − 3). 3. x 7→ ln x

x 4. x 7→ ch(3x + 2) 5. x 7→ _(x

³

^x ₊₇₎

^{2 5}

6. x 7→ _{x ln} ¹ _x 7. x 7→ _{x ln} ¹

³

_x 8. th

Exercice 2 Calculer les intégrales suivantes :

Z ₁

0 max { e ^t , 2 } dt et

Z ₁

0 | 3t − 1 | dt Exercice 3 Calculer en linéarisant, les intégrales suivantes : 1.

Z

^π₂

0 sin ² ( x ) d x 2.

Z

^π₂

0 sin(2 x ) cos(3 x ) d x Exercice 4 (Bébés Wallis)

1. Soit x ∈ R . Développer (e ^ix + e ^{− ix} ) ⁴ , en déduire une linéarisation de cos ⁴ (x).

2. Calculer

Z

^π₂

0 cos ⁴ (x) dx.

3. Calculer

Z

^π₂

0 cos ⁵ (x) dx à l’aide du changement de variable u = sin x.

Exercice 5 Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’intégrations par parties : 1.

Z _e

1

x ⁵ ln( x ) d x 2.

Z

x ² e ^3x d x 3.

Z ₁

0 cos( t )e ^t d t 4.

Z _e

1 ln ² t d t 5.

Z ₁

0 arctan t d t . Exercice 6 Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’un changement de variable : 1.

Z 2 1

√ dt t + √

t ³ 2.

Z 1 0

e ^2t

e ^t + 1 dt 3.

Z e 1

dt t(1 + ln t) ³

4.

Z ₂

1

ln x

√ x dx 5.

Z _x

⋆

dt

ch t 6.

Z ₁

0

√ 1 − x ² dx (x = cos t)

7.

Z ln 2 0

2 dx

5 sh x − 4 ch x 8.

Z

¹₂

0

x ³

√ 1 − x ² dx

Exercice 7 (Fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré 2) Calculer (pour la dernière, faire une division euclidienne) :

1.

Z ₁

0

3 − 4x

x ² + 1 dx 2.

Z ₁

0

1

1 + t + t ² dt 3.

Z ₁

0

t

1 + t + t ² dt 4.

Z ₁

0

1

4x ² + 4x + 1 dx 5.

Z 1

x(x − 2) dx 6.

Z 5x ³ − 3 x(x − 2) dx

Exercice 8 (Un changement de variable trigonométrique) Nous allons voir

une technique qui fait partie des règles de Bioche (hors-programme) qui permettent

de calculer des intégrales du type ^R R(cos, sin) où R(X, Y ) fraction rationnelle.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 2 1. Soit x ∈ ] − π, π[. On pose t = tan ^x ₂ . Démontrer que

cos x = 1 − t ²

1 + t ² et sin x = 2t 1 + t ² .

2. Calculer à l’aide du changement de variable t = tan ^x ₂ , l’intégrale

Z

^π₂

0

1 + sin x 1 + cos x d x.

Exercice 9 (Fonctions à valeurs complexes) Calculer les intégrales

Z

^π₂

0 e ^it dt et

Z ₁

0

dx x − i .

Plus consistant

Exercice 10 Pour n ∈ N , on pose I _n =

Z 1 0

x ⁿ e ^x dx.

1. Justifier que pour tout n ∈ N , on a | I _n | 6 ^e

n+1 . En déduire la limite de I _n . 2. Exprimer I _n+1 en fonction de I _n , en déduire par récurrence l’existence de deux

suites d’entiers ( a _n ) et ( b _n ) telles que :

∀ n ∈ N , I _n = a _n + eb _n .

3. Justfier que pour tout entier n > 2, on a b _n 6 = 0. En déduire une suite de rationnels qui converge vers le nombre e.

Exercice 11 Pour p et q dans N , on pose B(p, q) =

Z 1

0 t ^p (1 − t) ^q dt.

1. Démontrer que B ( p, q ) = B ( q, p ).

2. Démontrer que l’on a B(p, q) = q

p + 1 B (p+1, q − 1). En déduire une expression de B ( p, q ) à l’aide de p !, q ! et ( p + q + 1)!.

Exercice 12 (Savoir encadrer)

1. Démontrer que u _n = ^R ₀ ¹ _1+x ^x

ⁿ²

dx tend vers 0 lorsque n tend vers + ∞ . 2. Déterminer la limite lorsque n tend vers + ∞ de

I _n =

Z 1 0

1 − x ⁿ

1 + x ² dx et J _n =

Z 1 0

√ 1 + x ⁿ dx.

Exercice 13 (Comparaison série intégrale)

1. En exploitant la monotonie, justifier que tout entier k > 1, on a ^R _k ^k+1 √ t dt >

√ k. En déduire que pour tout n ∈ N ^∗ , on a

n

X

k=1

√ k 6 2

3 ((n + 1) ^3/2 − 1).

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 3 2. Nous avons déjà parlé de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : soit a ₁ , . . . , a _n et

b ₁ , . . . , b _n des réels, on a que :

n

X

k=1

a _k b _k

6

v u u t

n

X

k=1

a ² _k

v u u t

n

X

k=1

b ² _k .

Démontrer à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz que :

n

X

k=1

√ k 6 n

s n + 1 2 . 3. Laquelle des deux minorations est la plus précise ?

Moins calculatoire

Exercice 14 (Du cours) Soit f : R → R une fonction continue et T -périodique.

1. Démontrer à l’aide d’un changement de variable que pour tout a, b ∈ R , on a

Z b+T

a+T f (t) dt =

Z b

a f(t) dt.

2. On pose pour x ∈ R , g(x) = ^R _x ^x+T f (t) dt. Démontrer à l’aide d’un argument de dérivation que g est constante, en déduire que

Z a+T

a f (t) dt =

Z T

0 f (t) dt.

3. Application : calculer pour k ∈ N , ^R ₀ ^nπ | arcsin(sin x) | dx.

Exercice 15 (Non calculatoire, en vrac) Les questions sont indépendantes 1. Justifier que l’on peut prolonger la fonction x 7→ ^ln(1+x) _x en une fonction conti-

nue sur [0, 1]. On peut ainsi définir l’intégrale

Z 1 0

ln(1 + x)

x dx.

2. Donner la dérivée de la fonction 7→ ^R x ^x

²³

ln(1 + t ² ) dt.

3. Démontrer que la tangente à la courbe représentative de la fonction x 7→

Z x

²

0

e ^{t − 1} t ²⁰¹³ dt au point d’abscisse 1 est parallèle à la droite d’équation y = 2x − 5.

4. A l’aide d’un changement de variable, démontrer que la fonction x 7→

Z 2π 0

√ t cos(xt) dt est dérivable sur ]0, + ∞ [

Exercice 16 (lim ^R _a ^b f _n et ^R _a ^b lim f _n ) Soit n ∈ N et f _n : [0, 1] → R la fonction définie par :

• f _n (x) = 2 ^{2n − 2} x si x ∈ [0, 2 ^{− (n − 2)} [

• f _n (x) = − 2 ^{2n − 2} x + 2 ^{n − 1} si x ∈ [2 ^{− (n − 2)} , 2 ^{− (n − 1)} [

• f _n (x) = 0 sinon

1. Représenter graphiquement la fonction f _n , en déduire ^R ₀ ¹ f _n . 2. Soit x ∈ [0 , 1]. Déterminer lim

n → + ∞

f _n ( x ).

3. Comparer lim

n → + ∞

Z 1

0 f _n (x) dx et

Z 1 0 lim

n → + ∞ f _n (x) dx. Commenter

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Des mini problèmes

Exercice 17 (Intégrale de Wallis) Pour tout n ∈ N , on définit l’intégrale de Wallis d’ordre n par

W _n =

Z

^π₂

0 sin ⁿ t d t.

1. Démontrer à l’aide d’un changement de variable affine que l’on a aussi W _n =

Z

^π₂

0 cos ⁿ t dt (cette expression n’est pas utile pour la suite).

2. Formule explicite

(a) Donner la valeur de W ₀ et W ₁ puis montrer que pour n > 1, on a W _n+1 = n

n + 1 W _n − 1 . (b) En déduire avec soin que pour p ∈ N ,

W _2p = (2p)!

(2 ^p p!) ² π 2 . (c) Déterminer une formule similaire pour W _2p+1 . Exercice 18 On pose pour x > 0,

φ(x) =

Z 3x 2x

e ^t t dt.

1. Justifier que φ est définie sur ]0, + ∞ [, puis montrer que φ est dérivable sur ]0, + ∞ [. En déduire la monotonie de φ.

2. Démontrer que :

∀ x > 0 , e ^2x ln 3

2 6 φ ( x ) 6 e ^3x ln 3 2 . En déduire les limites de φ en 0 et en + ∞ .

Exercice 19 (Une approximation de π ) 1. Soit n ∈ N et x ∈ R . Démontrer que :

1 1 + x ² =

n

X

k=0

( − 1) ^k x ^2k + ( − 1) ⁿ⁺¹ x ²ⁿ⁺² 1 + x ² . 2. En déduire que :

π 4 =

n

X

k=0

( − 1) ^k

2k + 1 + ( − 1) ⁿ⁺¹

Z ₁

0

x ²ⁿ⁺² 1 + x ² dx.

3. Soit n ∈ N . On pose I _n =

Z ₁

0

x ²ⁿ⁺²

1 + x ² dx. Justifier que | I _n | 6 _2n+3 ¹ . 4. En déduire une suite (u n ) de rationnels qui converge vers π.

5. Déterminer à l’aide de votre calculatrice un rationnel a tel que | π − a | 6 10 ^{− 4} .