©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1
Devoir maison n°7 pour mercredi 19/01/2022
Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.
Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.
Le travail à faire
Exercice 1 Soient θ ∈ R et n ∈ N
∗et θ un réel tel que nθ n’est pas un multiple de π. On considère le polynôme
P = X
2n− 2X
ncos(nθ) + 1.
1. Factoriser dans C le polynôme X
n− e
inθ. 2. Démontrer que z ∈ U
n⇐⇒ z ∈ U
n. 3. Factoriser P dans R .
Exercice 2 (Fin du problème) Faire la deuxième partie du problème ci-dessous intitulé
«Calcul de zeta(2)» que l’on avait commencé en TD.
Facultatif
Exercice 3 (Fonctions polynomiales injectives ou surjectives)
1. Démontrer que les fonctions polynomiales P : C → C surjectives sont les fonctions poly- nomiales non constantes.
2. Soit P : C → C une fonction polynomiale injective.
(a) Que dire du nombre de racines de P ?
(b) Démontrer que pour tout n > 2 et a ∈ C , la fonction z 7→ (z − a)
nn’est pas injective puis conclure.
L’énoncé du problème
Calcul de zeta(2)
Le but de ce problème est de déterminer la limite de la suite ( s
n)
ndéfinie pour n > 1 par : s
n=
n
X
k=1
1 k
2. On note cotan la fonction définie sur ]0, π[ par
cotan(x) = cos x
sin x .
Si x ∈]0, π[, on note aussi cotan
2(x) = (cotan(x))
2.
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 2 I. Étude préliminaire d’un polynôme
Soit n > 2 un entier. On pose P = (X + 1)
n− (X − 1)
n.
1. Déterminer le degré de P et préciser son coefficient dominant.
2. Démontrer que les racines complexes de P sont les nombres
γ
k= −i cotan kπ n
!
, k ∈ {1, . . . , n − 1}.
3. Démontrer que la fonction cotan est strictement monotone sur ]0, π[. En déduire avec soin que P est scindé sur C , préciser son écriture sous forme factorisée.
On considère les deux fonctions symétriques élémentaires suivantes : σ
1=
n−1
X
k=1
γ
ket σ
2= X
16p<q6n−1
γ
pγ
qqui sont respectivement la somme des racines de P et la somme des produits de 2 racines distinctes de P (sans répétition).
4. À l’aide des relations coefficients/racines, donner la valeur de σ
1et σ
2. 5. Déterminer une relation entre
n−1
X
k=1
γ
k2et σ
1et σ
2. 6. En déduire que
n−1
X
k=1
cotan
2kπ n
!
= ( n − 1)( n − 2)
3 .
II. Application
Soit p > 1 un entier.
7. En utilisant que ∀x ∈]0, π[, cotan(π − x) = − cotan(x), démontrer que
p
X
k=1
cotan
2kπ 2 p + 1
!
= p(2p − 1)
3 .
8. Déduire de la formule précédente l’égalité suivante
p
X
k=1
1 sin
2kπ
2p + 1
! = 2p(p + 1)
3 .
9. Démontrer par un argument de convexité que pour tout t ∈]0,
π2[, on a tan t > t.
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 3 10. En déduire que pour tout p > 1, on a
p(2p − 1)
3 6 (2p + 1)
2π
2p
X
k=1
1
k
26 2p(p + 1)
3 .
On pourra utiliser que pour tout réel φ ∈]0 ,
π2[, on a 0 6 sin φ 6 φ 6 tan φ . 11. En déduire la limite de la suite (s
n).
12. En déduire la limite de la suite u définie par u
n=
n
X
k=0
