©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

(1)

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Devoir maison n°7 pour mercredi 19/01/2022

Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

Le travail à faire

Exercice 1 Soient θ ∈ R et n ∈ N

^∗

et θ un réel tel que nθ n’est pas un multiple de π. On considère le polynôme

P = X

²ⁿ

− 2X

ⁿ

cos(nθ) + 1.

1. Factoriser dans C le polynôme X

ⁿ

− e

^inθ

. 2. Démontrer que z ∈ U

_n

⇐⇒ z ∈ U

_n

. 3. Factoriser P dans R .

Exercice 2 (Fin du problème) Faire la deuxième partie du problème ci-dessous intitulé

«Calcul de zeta(2)» que l’on avait commencé en TD.

Facultatif

Exercice 3 (Fonctions polynomiales injectives ou surjectives)

1. Démontrer que les fonctions polynomiales P : C → C surjectives sont les fonctions poly- nomiales non constantes.

2. Soit P : C → C une fonction polynomiale injective.

(a) Que dire du nombre de racines de P ?

(b) Démontrer que pour tout n > 2 et a ∈ C , la fonction z 7→ (z − a)

ⁿ

n’est pas injective puis conclure.

L’énoncé du problème

Calcul de zeta(2)

Le but de ce problème est de déterminer la limite de la suite ( s

_n

)

n

définie pour n > 1 par : s

_n

=

n

X

k=1

1 k

²

. On note cotan la fonction définie sur ]0, π[ par

cotan(x) = cos x

sin x .

Si x ∈]0, π[, on note aussi cotan

²

(x) = (cotan(x))

²

.

(2)

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 2 I. Étude préliminaire d’un polynôme

Soit n > 2 un entier. On pose P = (X + 1)

ⁿ

− (X − 1)

ⁿ

.

1. Déterminer le degré de P et préciser son coefficient dominant.

2. Démontrer que les racines complexes de P sont les nombres

γ

k

= −i cotan kπ n

!

, k ∈ {1, . . . , n − 1}.

3. Démontrer que la fonction cotan est strictement monotone sur ]0, π[. En déduire avec soin que P est scindé sur C , préciser son écriture sous forme factorisée.

On considère les deux fonctions symétriques élémentaires suivantes : σ

1

=

n−1

X

k=1

γ

_k

et σ

2

= ^X

16p<q6n−1

γ

_p

γ

_q

qui sont respectivement la somme des racines de P et la somme des produits de 2 racines distinctes de P (sans répétition).

4. À l’aide des relations coefficients/racines, donner la valeur de σ

1

et σ

2

. 5. Déterminer une relation entre

n−1

X

k=1

γ

_k²

et σ

1

et σ

2

. 6. En déduire que

n−1

X

k=1

cotan

²

kπ n

!

= ( n − 1)( n − 2)

3 .

II. Application

Soit p > 1 un entier.

7. En utilisant que ∀x ∈]0, π[, cotan(π − x) = − cotan(x), démontrer que

p

X

k=1

cotan

²

kπ 2 p + 1

!

= p(2p − 1)

3 .

8. Déduire de la formule précédente l’égalité suivante

p

X

k=1

1 sin

²

kπ

2p + 1

! = 2p(p + 1)

3 .

9. Démontrer par un argument de convexité que pour tout t ∈]0,

^π₂

[, on a tan t > t.

(3)

p(2p − 1)

3 6 (2p + 1)

²

π

²

p

X

k=1

1 k

²

6 2p(p + 1)

3 .

On pourra utiliser que pour tout réel φ ∈]0 ,

^π₂

[, on a 0 6 sin φ 6 φ 6 tan φ . 11. En déduire la limite de la suite (s

n

).

12. En déduire la limite de la suite u définie par u

n

=

n

X

k=0

1 (2k + 1)

²