©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

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Corrigé du DM n°3 pour mercredi 13/10/2021

Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

1 Des exercices

Exercice 1 (Calcul de tan ^π ₅ ) On considère le polynôme P (X) = 1 2i

(X + i) ⁵ − (X − i) ⁵ . 1.

z + i z − i

5

= 1 ⇔ z + i

z − i = e

k ∈ {0, . . . , 4}

⇔ z + i = (z − i)e

k ∈ {0, . . . , 4}

⇔ z(1 − e

) = −i(1 + e

) k ∈ {0, . . . , 4}

⇔ z = −i(1 + e

)

(1 − e

) k ∈ {1, . . . , 4} ou (k = 0 et 0 = −i × 2)

⇔ z = −ie

(e

+ e

)

e

(e

− e

) k ∈ {1, . . . , 4}

⇔ z = −i × 2 cos ^kπ ₅

−2i sin ^kπ ₅ = 1

tan ^kπ ₅ k ∈ {1, . . . , 4}

Comme P (i) = ⁽²ⁱ⁾ _2i

6= 0, le nombre i n’est pas racine de P . Ainsi pour z 6= i, on a P (z) = 0 ⇔ ^z+i _z−i ⁵ = 1.

Les racines de P sont donc 1

tan ^kπ ₅ , k ∈ {1, . . . , 4} .

2. En développant avec le binôme de Newton, on obtient P (X) = 5X ⁴ −10X ² +1. Un nombre complexe z est donc racine de P si et seulement si z ² est racine de 5X ² − 10X + 1. Les racines de ce polynôme sont ^5±2

√ 5

5 , ce sont deux nombres positifs. Les 4 racines de P sont donc

±

s

5 ± 2 √ 5

5 .

3. On a clairement

−

s

5 + 2 √ 5 5 < −

s

5 − 2 √ 5 5 <

s

5 − 2 √ 5 5 <

s

5 + 2 √ 5

5 .

De plus la fonction tan est strictement croissante sur ]0, ^π ₂ [ et tan x < 0 pour x ∈] ^π ₂ , π[.

On a donc tan ^3π ₅ et tan ^4π ₅ négatifs et 0 < tan ^π ₅ < tan ^2π ₅ , puis 1

tan ^π ₅ > 1

tan ^2π ₅ > 0.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 2 Ainsi

tan π 5 =

√ 5

q

5 + 2 √ 5

=

√ 5

q

5 − 2 √ 5

q

5 ² − (2 √ 5) ²

=

√ 5

q

5 − 2 √

√ 5

5 =

q

5 − 2 √ 5.

On donc prouvé que tan π

5 =

q

5 − 2 √

5 et tan 2π 5 =

q

5 + 2 √ 5 .

Exercice 2 (Entiers de Gauss et quadrillage) On pose Z [i] = {a + ib |a, b ∈ Z }. C’est l’ensemble des entiers de Gauss.

1. Soient z et z ⁰ dans Z [i] avec z ⁰ non nul. Ainsi z = a + ib et z ⁰ = c + id avec a, b, c, d des entiers. On a

a + ib

c + id = (a + ib)(c − id)

c ² + d ² = (ac + bd) + i(bc − ad)

c ² + d ² = ac + bd

c ² + d ² + i bc − ad c ² + d ² .

Comme une somme, une différence et un quotient d’entiers est un rationnel, on a bien z z ⁰ qui s’écrit x + iy avec x et y rationnels.

On a

e

= cos π

3 + i sin π 3 = 1

2 + i

√ 3 2 . Comme √

3 n’est pas rationnel, il en est de même de

√ 3

2 , ce qui montre d’après la question précédente que e

ne peut s’écrire comme le quotient de deux entiers de Gauss.

2. Le plan est muni de son repère orthonormé direct naturel. Supposons qu’il existe un triangle équilatéral dont les sommets sont à coordonnées entières. Quitte à rebaptiser les sommets, on peut supposer que ce triangle ABC est équilatéral direct. Le point A est donc l’image du point C par la rotation de centre B et d’angle e

. Notons a, b et c les affixes des points A, B et C. On a donc a − b = (c − b)e

. En supposant que ce triangle n’est pas réduit à un point, on a c 6= b donc

a − b

c − b = e

.

Comme les sommets sont à coordonnées entières, les affixes a, b et c sont des entiers de Gauss. Les nombres a − b et c − d sont encore des entiers de Gauss, et donc e

est un quotient d’entiers de Gauss, ce qui est impossible.

3. On munit cette fois-ci l’espace d’un repère orthonormé direct naturel. On onsidére le cube unité [0, 1] ³ par exemple, ses sommets bien sont à coordonnées entières. On trace sur 3 faces du cube trois diagonales de sorte qu’elles forment un triangle. Ces diago- nales ont même mesure puisque les faces sont des carrés d’arête 1. Le triangle formé par ces trois diagonales est donc équilatéral et ses sommets sont parmi les sommets du cube donc à coordonnées entières. Pour être explicite, on peut par exemple prendre A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1). On a alors AB = AC = BC = √

2.

Exercice 3 Soit f : C → C ^∗ l’application définie par f (z) = e ^z .

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 3 1. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?

(a) f n’est pas injective car f (0) = f (2π) = 1. En effet, exp(i2π) = e ^i2π = 1 = exp(0).

(b) Démontrons que f est surjective. Soit Z ∈ C ^∗ que l’on écrit Z = re ^iθ avec r > 0 et θ ∈ R . On cherche z ∈ C tel que Z = exp(z).

On écrit z sous forme algébrique z = x + iy avec x, y ∈ R . Comme deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont même module et argument modulo 2π, on a :

exp(z) = Z ⇐⇒ e ^x

|{z}

>0

e ^iy = r

|{z}

>0

e ^iθ

⇐⇒ e ^x = r et y = θ + 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒ x = ln r et y = θ + 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒ z = ln r + i(θ + 2kπ), k ∈ Z

Le nombre Z admet donc une infinité d’antécédents par exp, en particulier f est surjective.

2. Déterminer f ⁻¹ ( U ) et f(i R ).

(a) Soit z = x + iy dans C avec x, y ∈ R . On sait alors exp(z) = e ^x e ^iy et donc que

|exp(z)| = e ^x . Ainsi

z ∈ f ⁻¹ ( U ) ⇐⇒ f (z) ∈ U ⇐⇒ |exp(z)| = 1 ⇐⇒ e ^x = 1 ⇐⇒ x = 0 ⇐⇒ z ∈ i R . On a donc montré que f ⁻¹ ( U ) = i R .

(b) Soit z ∈ i R , donc z = it avec t ∈ R . On a exp(it) = e ^it ∈ U . Réciproquement si z ∈ U , on a z = e ^iθ = exp(iθ) = f (iθ). Ainsi z ∈ f (i R ).

On a donc montré que f (i R ) = U .

3. Représenter graphiquement f (∆) où ∆ est la droite d’équation y = x.

Soit t ∈ R , notons M(t) le point d’affixe z(t) = exp(t + it) = e ^t e ^it = e ^t (cos t + i sin t). En particulier

|z(t)| = e ^t et arg(z(t)) = t.

On peut aussi voir f(∆) comme l’ensemble des points de coordonnées : f (∆) = {(e ^t cos t, e ^t sin t) | t ∈ R }.

L’ensemble f (∆) est une courbe «paramétrée» (où t est le paramètre). L’étude systéma- tique de ce genre de courbe n’est pas au programme de SUP, mais on peut toutefois se débrouiller à la main.

Lorsque t grandit l’argument t de z(t) grandit, le point M(t) fait donc un tour tous les 2π. Le module de z(t) lui augmente très rapidement car |z(t)| = e ^t .

Lorsque t tend vers −∞, le module e ^t tend vers 0, donc la courbe s’enroule autour du point O.

La courbe décrit donc une spirale de centre le point O qui s’élargit indéfiniment.

Voici l’allure de la courbe. L’échelle n’est pas respectée, la spirale s’élargit très rapide-

ment...

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Figure 1 – Image de la droite ∆ par exp