©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2018-2019 1

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Espaces probabilisés finis

Une expérience aléatoire est une expérience qui reproduite dans des conditions identiques peut conduire à plusieurs résultats possibles et dont on ne peut prévoir le résultat à l’avance. On appelle univers observable ou espace des états l’ensemble des résultats de l’expérience aléatoire.

On le note Ω. Par exemple, pour un lancer d’un dé à six faces, on a Ω = {1, 2, . . . , 6}. Lorsque l’on tire 5 cartes d’un jeu à 32 cartes, Ω est l’ensemble des «mains» de 5 cartes possibles. Son cardinal est ³² ₅ . Si l’on joue à pile ou face 10 fois, Ω est l’ensemble des 10-listes de pile ou face, il y a 2 ¹⁰ telles listes.

Dans tout ce chapitre Ω sera un ensemble fini. En deuxième année, Ω pourra être infini.

1 Le langage des probabilités

Comme Ω est fini, un évènement est une partie de Ω. Un évènement élémentaire est un singleton de Ω. On dit qu’un évènement A est réalisé s’il existe ω ∈ Ω tel que ω ∈ A. On note A , l’évènement contraire de A .

♥ Si A et B sont deux évènements tels que A ⊂ B , la réalisation de A implique celle de B.

L’évènement A ∩ B est l’évènement réalisé lorsque A et B sont réalisés.

L’évènement A ∪ B est l’évènement réalisé lorsque A ou B est réalisé.

Des évènements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés simultanément.

Un système complet d’évènements de Ω est une partition de Ω. Le couple (Ω , P (Ω)) est un espace probabilisable.

2 Espaces probabilisés

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est Ω. On va attribuer à chaque évène- ment élémentaire un nombre positif qui mesure le «degré de vraisemblance» de cet évènement.

1. Notion de probabilité :

Définition 1 (Probabilité sur un univers fini) Une probabilité P sur Ω fini est une application de P (Ω) à valeurs positives telle que P (Ω) = 1 et additive i.e.

si A et B sont incompatibles, on a P (A ∪ B) = P (A) + P (B ).

Un espace probabilisable muni d’une probabilité est un espace probabilisé.

Proposition 2 (Propriétés d’une probabilité) Soit P un probabilité sur Ω. On a :

• Si A 1 , . . . , A _n sont 2 à 2 disjoints, on a :

P ( A 1 ∪ . . . ∪ A _n ) = P ( A 1 ) + · · · + P ( A _n ) .

• P (A) = 1 − P (A), P (∅) = 0

• P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)

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• Croissance : A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B)

• Formule du crible :

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . Remarque : il faut connaître la formule du crible pour 3 évènements.

2. Construction de probabilités :

Pour définir une probabilité P sur un univers fini Ω = {w ¹ , · · · , w _n }, il faut et il suffit d’attribuer une probabilité p _i (un réel positif) à chaque évènement élémentaire {w i } de sorte que ^P ⁿ _i =1 p _i = 1. Dans ce cas, pour tout évènement A, on a :

P (A) =

n

X

i=1

w

i

∈ A

p _i = ^X

w ∈ A

P ({w}).

Exemple : modélisation d’un dé non cubique.

3. L’équiprobabilité : c’est lorqu’on munit (Ω, P (Ω)) de la probabilité uniforme, c’est à dire de l’unique probabilité pour laquelle tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, dans ce cas P (A) = Card A

Card Ω .

Les calculs de probabilité se ramènent alors à des calculs de dénombrement.

3 Probabilités conditionnelles

1. Définition :

Définition 3 si A est un évènement de l’espace probabilisé (Ω, P (Ω), P ) et si P (A) 6= 0, la probabilité de B sachant A est

P A (B) = P ( A ∩ B ) P (A) .

Proposition 4 L’application P _A est une probabilité sur (Ω, P (Ω)).

2. Formule des probabilités composées : le plus souvent , on calculera P (A ∩ B) à partir de P _A ( B ) et de P ( B ) grâce à la formule P ( A ∩ B ) = P ( A ) P _A ( B ) (avec P ( A ) 6= 0). Cette formule se généralise.

Proposition 5 Soit A 1 , . . . , A _n des évènements tels que P ( A 1 ∩ . . . ∩ A _n −1 ) 6= 0, alors P (A ¹ ∩ . . . ∩ A _n −1 ) = P (A ¹ )P A

₁

(A ² ) . . . P _A

₁

∩ ... ∩ A

_n−1

(A n ).

3. Formule des probabilités totales :

Proposition 6 si A 1 , . . . , A _n est un système complet d’évènements non négligeables ( P ( A _i ) 6=

0),

P ( B ) =

n

X

i =1

P ( B ∩ A _i ) =

n

X

i =1

P ( A _i ) P _A

_i

( B ) .

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2018-2019 3 4. Formule de Bayes ou de probabilité du passé : cette formule permet de calculer la probabilité d’un évènement passé sachant le présent. Vous devez absolument savoir retrouver cette formule : si B est un évènement (du présent) avec P ( B ) 6= 0 et si A 1 , . . . , A _n est un système complet avec P (A j ) 6= 0 (évènement passé) pour un certain j, alors

P B (A j ) = P ( B ∩ A _j )

P (B) = P (A j )P A

j

(B)

P n

i =1 P (A i )P A

i

(B) .

5. Notion d’arbre de probabilités et règles : un arbre comporte des branches et des noeuds.

(a) La somme des probabilités marquées sur des branches qui partent d’un même noeud vaut 1.

(b) La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marqués sur ses branches (formule des probas composées).

(c) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement (formule des probas totales).

4 Indépendance d’évènements

1. Indépendance de deux évènements :

Définition 7 Deux évènements A et B sont dits indépendants si P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) (on voit donc que la notion d’indépendance dépend du choix de la probabilité).

Remarques :

• si P ( A ) 6= 0 c’est équivalent à P _A ( B ) = P ( B ) (la réalisation de A n’influe pas sur la réalisation de B).

• Attention : ne pas confondre évènements indépendants et incompatibles.

Proposition 8 si A et B sont indépendants les évènements A et B, A et B , A et B sont indépendants.

2. Indépendance d’une famille d’évènements :

Définition 9 Des évènements A 1 , . . . , A _n sont dits mutuellement indépendants si pour toute partie I de J1, nK, on a :

P (∩ i ∈ I A _i ) = ^Y

i∈I

P (A i ).

Proposition 10 Des évènements mutuellement indépendants sont 2 à 2 indépendants mais la réciproque est fausse.

Proposition 11 Si les évènements A 1 , . . . , A _n sont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépendants), alors les évènements B _i = A _i ou A _i sont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépendants).

Remarque : situation d’indépendance : répétition de manière «indépendante» d’une même

expérience : on lance n fois une pièce équilibrée, ou des tirages avec remise, ou des joueurs

sans psychologie ou qui ne fatiguent pas..

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Espaces probabilisés finis

Dans tout ce chapitre Ω sera un ensemble fini. En deuxième année, Ω pourra être infini.

1 Le langage des probabilités

Comme Ω est fini, un évènement est une partie de Ω. Un évènement élémentaire est un singleton de Ω. On dit qu’un évènement A est réalisé s’il existe ω ∈ Ω tel que ω ∈ A. On note A , l’évènement contraire de A .

♥ Si A et B sont deux évènements tels que A ⊂ B , la réalisation de A implique celle de B.

L’évènement A ∩ B est l’évènement réalisé lorsque A et B sont réalisés.

L’évènement A ∪ B est l’évènement réalisé lorsque A ou B est réalisé.

Des évènements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés simultanément.

Un système complet d’évènements de Ω est une partition de Ω. Le couple (Ω , P (Ω)) est un espace probabilisable.

2 Espaces probabilisés

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est Ω. On va attribuer à chaque évène- ment élémentaire un nombre positif qui mesure le «degré de vraisemblance» de cet évènement.

1. Notion de probabilité :

Définition 1 (Probabilité sur un univers fini) Une probabilité P sur Ω fini est une application de P (Ω) à valeurs positives telle que P (Ω) = 1 et additive i.e.

si A et B sont incompatibles, on a P (A ∪ B) = P (A) + P (B ).

Un espace probabilisable muni d’une probabilité est un espace probabilisé.

Proposition 2 (Propriétés d’une probabilité) Soit P un probabilité sur Ω. On a :

• Si A 1 , . . . , A n sont 2 à 2 disjoints, on a :

P ( A 1 ∪ . . . ∪ A n ) = P ( A 1 ) + · · · + P ( A n ) .

• P (A) = 1 − P (A), P (∅) = 0

• P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)

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• Croissance : A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B)

• Formule du crible :

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . Remarque : il faut connaître la formule du crible pour 3 évènements.

2. Construction de probabilités :

Pour définir une probabilité P sur un univers fini Ω = {w 1 , · · · , w n }, il faut et il suffit d’attribuer une probabilité p i (un réel positif) à chaque évènement élémentaire {w i } de sorte que P n i =1 p i = 1. Dans ce cas, pour tout évènement A, on a :

P (A) =

n

X

w

∈ A

p i = X

w ∈ A

P ({w}).

Exemple : modélisation d’un dé non cubique.

3. L’équiprobabilité : c’est lorqu’on munit (Ω, P (Ω)) de la probabilité uniforme, c’est à dire de l’unique probabilité pour laquelle tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, dans ce cas P (A) = Card A

Card Ω .

Les calculs de probabilité se ramènent alors à des calculs de dénombrement.

3 Probabilités conditionnelles

1. Définition :

Définition 3 si A est un évènement de l’espace probabilisé (Ω, P (Ω), P ) et si P (A) 6= 0, la probabilité de B sachant A est

P A (B) = P ( A ∩ B ) P (A) .

Proposition 4 L’application P A est une probabilité sur (Ω, P (Ω)).

2. Formule des probabilités composées : le plus souvent , on calculera P (A ∩ B) à partir de P A ( B ) et de P ( B ) grâce à la formule P ( A ∩ B ) = P ( A ) P A ( B ) (avec P ( A ) 6= 0). Cette formule se généralise.

Proposition 5 Soit A 1 , . . . , A n des évènements tels que P ( A 1 ∩ . . . ∩ A n −1 ) 6= 0, alors P (A 1 ∩ . . . ∩ A n −1 ) = P (A 1 )P A

(A 2 ) . . . P A

∩ ... ∩ A

(A n ).

3. Formule des probabilités totales :

Proposition 6 si A 1 , . . . , A n est un système complet d’évènements non négligeables ( P ( A i ) 6=

0),

P ( B ) =

n

X

i =1

P ( B ∩ A i ) =

n

X

i =1

P ( A i ) P A

( B ) .

P B (A j ) = P ( B ∩ A j )

P (B) = P (A j )P A

(B)

P n

i =1 P (A i )P A

(B) .

5. Notion d’arbre de probabilités et règles : un arbre comporte des branches et des noeuds.

(a) La somme des probabilités marquées sur des branches qui partent d’un même noeud vaut 1.

(b) La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marqués sur ses branches (formule des probas composées).

(c) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement (formule des probas totales).

4 Indépendance d’évènements

1. Indépendance de deux évènements :

Définition 7 Deux évènements A et B sont dits indépendants si P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) (on voit donc que la notion d’indépendance dépend du choix de la probabilité).

Remarques :

• si P ( A ) 6= 0 c’est équivalent à P A ( B ) = P ( B ) (la réalisation de A n’influe pas sur la réalisation de B).

• Attention : ne pas confondre évènements indépendants et incompatibles.

Proposition 8 si A et B sont indépendants les évènements A et B, A et B , A et B sont indépendants.

• Si A 1 , . . . , A _n sont 2 à 2 disjoints, on a :

P ( A 1 ∪ . . . ∪ A _n ) = P ( A 1 ) + · · · + P ( A _n ) .

Pour définir une probabilité P sur un univers fini Ω = {w ¹ , · · · , w _n }, il faut et il suffit d’attribuer une probabilité p _i (un réel positif) à chaque évènement élémentaire {w i } de sorte que ^P ⁿ _i =1 p _i = 1. Dans ce cas, pour tout évènement A, on a :

p _i = ^X

Proposition 4 L’application P _A est une probabilité sur (Ω, P (Ω)).

2. Formule des probabilités composées : le plus souvent , on calculera P (A ∩ B) à partir de P _A ( B ) et de P ( B ) grâce à la formule P ( A ∩ B ) = P ( A ) P _A ( B ) (avec P ( A ) 6= 0). Cette formule se généralise.

Proposition 5 Soit A 1 , . . . , A _n des évènements tels que P ( A 1 ∩ . . . ∩ A _n −1 ) 6= 0, alors P (A ¹ ∩ . . . ∩ A _n −1 ) = P (A ¹ )P A

(A ² ) . . . P _A

Proposition 6 si A 1 , . . . , A _n est un système complet d’évènements non négligeables ( P ( A _i ) 6=

P ( B ∩ A _i ) =

P ( A _i ) P _A

P B (A j ) = P ( B ∩ A _j )

• si P ( A ) 6= 0 c’est équivalent à P _A ( B ) = P ( B ) (la réalisation de A n’influe pas sur la réalisation de B).

Définition 9 Des évènements A 1 , . . . , A _n sont dits mutuellement indépendants si pour toute partie I de J1, nK, on a :

P (∩ i ∈ I A _i ) = ^Y

Proposition 11 Si les évènements A 1 , . . . , A _n sont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépendants), alors les évènements B _i = A _i ou A _i sont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépendants).