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Feuille d’exercices sur l’intégration

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Academic year: 2022

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(1)

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 1

Feuille d’exercices sur l’intégration

1 Exercices et exemples du cours

1. Donner un exemple de fonction f : [0, 1] → R continue sur ]0, 1], discontinue en 0 qui est (resp. n’est pas) continue par morceaux sur [0, 1].

2. Calculer R −2 4x ⌋ d x .

3. Justifier l’existence de R 0 1 cos sin x−1

2

x dx.

4. Savoir majorer à l’aide de l’inégalité triangulaire : soit f : [ − 1 , 1] → R continue. On pose M = sup x ∈ [ − 1,1] | f (x) | . Démontrer que

Z 1

−1 (f (x 2 ) + xf (x)) dx

6 3M.

5. Prouver la convergence d’une suite d’intégrales par encadrement : déterminer la limite de la suite I n = R 0 1 sin(x n )e x dx.

6. Fonctions positives dont l’intégrale est nulle :

(a) Donner un exemple de fonction positive sur [0, 1], non nulle dont l’intégrale sur [0, 1]

est nulle.

(b) Soit P ∈ R [X] tel que R 0 1 P 2 (t) dt = 0. Démontrer que P = 0.

7. Intégrale d’une fonction à valeurs complexes : calculer les intégrales R 0

π2

e it d t et R 0 1 x−(1+i) dx . 8. Savoir dériver une fonction du type φ ( x ) = R u(x) v(x) f ( t ) d t définie par une intégrale : démon-

trer que la tangente au point d’abscisse 1 à la courbe de la fonction x 7→

Z x

3

0

e t

2

−1 d t est parallèle à la droite d’équation y = 3x − 2.

9. Savoir étudier une une fonction du type φ(x) = R u(x) v(x) f(t) dt : on pose φ(x) = R x 3x e

t

t

dt.

(a) Justifier que φ est bien définie sur ]0 , + ∞ [, de classe C 1 et strictement décroissante.

(b) Démontrer que pour x > 0, on a ln(3)e 3x 6 φ(x) 6 ln(3)e −x , en déduire les limites de φ en + ∞ et 0.

(c) Démontrer que l’on peut prolonger f en une fonction de classe C 1 sur [0 , + ∞ [.

10. Obtenir des relations de récurrence à l’aide d’IPP : on pose W n = R 0

π2

sin n (t) dt. Démontrer que

W n+2 = n + 1 n + 2 W n .

11. Savoir faire des changements de variable : soit a, b > 0. Calculer R 0 a

r

1 − x a

2

d x . En

déduire l’aire de l’ellipse d’équation x a 2 + y b 2 = 1.

(2)

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 2 12. Reconnaître des sommes de Riemann : déterminer les limites des suites :

u n = 1

n + 1 + 1

n + 2 + · · · + 1

2n et v n =

n

v u u t

n

Y

k=1

1 + k n

!

.

13. Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz : Soit f : [a, b] → R continue et strictement positive.

Démontrer que

Z b a

f

Z b a

1

f > (b − a) 2 .

14. Intégrer une fraction rationnelle : calculer une primitive de R x

3

dx 1 .

15. Obtenir des inégalités globales avec des formules de Taylor : démontrer que

x ∈ R + , | sin xx + x 3 6 | 6 x 4

24 .

16. Démontrer un développement en série entière à l’aide de Taylor : démontrer que

x ∈ R , lim

n→+∞

n

X

k=0

x k k ! = e x .

2 Exercices complémentaires

2.1 Quelques calculs

Exercice 1 Pour p et q dans N , on pose B(p, q) = Z 1

0

t p (1 − t) q dt.

1. Démontrer que B ( p, q ) = B ( q, p ).

2. Démontrer que l’on a B ( p, q ) = q

p + 1 B ( p + 1 , q − 1). En déduire l’expression de B ( p, q ).

Exercice 2 (Intégrale de Wallis) Pour tout n ∈ N , on définit l’intégrale de Wallis d’ordre n par

W n = Z

π 2

0 sin n t dt.

1. Démontrer que l’on a aussi W n = Z

π 2

0 cos n t dt (cette expression n’est pas utile pour la suite).

2. Formule explicite

(a) Donner la valeur de W 0 et W 1 puis montrer que pour n > 1, on a W n+1 = n

n + 1 W n − 1 .

(3)

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 3 (b) En déduire avec soin que pour p ∈ N ,

W 2p = (2p)!

(2 p p !) 2 π 2 . (c) Déterminer une formule similaire pour W 2p+1 . Exercice 3 Déterminer la limite des suites

1. u n = X n

k=1

n + k

n 2 + k 2 2. u n = 1 n

n

n

X

k=1

⌊ √

k ⌋ 3. u n = (2n)!

n!n n

!

n1

Exercice 4 Déterminer la limite lorsque n tend vers + ∞ de I n = Z 1

0

1 − x n

1 + x 2 dx et J n = Z 1

0

√ 1 + x n dx.

Exercice 5 (Comparaison série-intégrale) Démontrer que S n = X n

k=1

√ 1

k n→+∞

Z n 1

√ 1 t dt.

On pourra remarquer que pour tout entier k > 0, on a :

√ 1

k + 1 6

Z k+1 k

d t

t 6 1

k .

2.2 Moins calculatoire

Exercice 6 Soit f : [0 , 1] → R continue telle que

Z 1

0 t

t − 1

2

f 2 (t) dt = 0.

A-t-on f nulle sur [0, 1] ?

Exercice 7 Trouver toutes les fonctions dérivables sur R vérifiant :

x ∈ R , f (x) = Z x

0 f (t) dt.

Exercice 8 Soit g la fonction définie par

g(x) = Z 2x

x e t

2

dt

1. Justifier que g est définie sur R , puis montrer qu’elle est impaire.

2. Déterminer les variations de g sur R + . 3. Déterminer la limite de g en + ∞ .

Exercice 9 (Deux questions indépendantes)

1. Démontrer que la fonction f définie par f(x) = R 0

t cos(xt) dt est dérivable sur ]0, + ∞ [.

2. Lemme de lebesgue : soit f : [ a, b ] → R une fonction de classe C 1 . Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que

x → lim + ∞

Z b a

f (t) sin(xt) dt = 0.

(4)

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 4

2.3 Plus délicat

Exercice 10 (Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire) Soit f une fonction continue de [ a, b ] dans R . Démontrer que

Z b a

f

= Z b

a | f | si et seulement si f est de signe constant (on pourra commencer par supposer que R a b f > 0).

Exercice 11 (Oral X) Soit f et g deux fonctions continues de R dans R telles que pour tout réel x , f ( x ) g ( x ) > 4. Démontrer que

Z 2

− 1

f

Z 2

− 1

g > 36 .

Exercice 12 (Un opérateur) On note E le R -espace vectoriel des fonctions continues sur R et on définit sur E l’application φ par φ(f ) = gg est définie sur R par

g ( x ) = Z x

0

tf ( t ) d t.

1. Démontrer que φ est un endomorphisme de E.

2. Démontrer que φ est injective mais n’est pas surjective.

Exercice 13 (Développement en série entière de cos)

1. Soit n ∈ N . Écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus à l’ordre 2n + 1 avec a = 0.

2. En déduire que l’on a pour tout réel x > 0, cos x = +

X

k=0

( − 1) k x 2k (2k)! . 3. Justifier que le résultat précédent reste vrai pour x < 0.

Exercice 14 (Les dérivées intermédiaires sont bornées) Soit f de classe C 2 sur R telle que f et f ′′ soient bornées respectivement par M 0 et M 2 .

1. Que dire de f si M 2 = 0 ?

On suppose désormais jusqu’à la fin de l’exercice que M 2 > 0. On fixe un réel x.

2. Démontrer en appliquant une formule de Taylor que :

h > 0 , | f ( x ) | 6 2M 0

h + hM 2 2 . 3. En déduire que f est bornée par 2 √

M 0 M 2 .

Références

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