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Feuille d’exercices sur l’intégration
1 Exercices et exemples du cours
1. Donner un exemple de fonction f : [0, 1] → R continue sur ]0, 1], discontinue en 0 qui est (resp. n’est pas) continue par morceaux sur [0, 1].
2. Calculer R −2 4 ⌊ x ⌋ d x .
3. Justifier l’existence de R 0 1 cos sin x−1
2x dx.
4. Savoir majorer à l’aide de l’inégalité triangulaire : soit f : [ − 1 , 1] → R continue. On pose M = sup x ∈ [ − 1,1] | f (x) | . Démontrer que
Z 1
−1 (f (x 2 ) + xf (x)) dx
6 3M.
5. Prouver la convergence d’une suite d’intégrales par encadrement : déterminer la limite de la suite I n = R 0 1 sin(x n )e x dx.
6. Fonctions positives dont l’intégrale est nulle :
(a) Donner un exemple de fonction positive sur [0, 1], non nulle dont l’intégrale sur [0, 1]
est nulle.
(b) Soit P ∈ R [X] tel que R 0 1 P 2 (t) dt = 0. Démontrer que P = 0.
7. Intégrale d’une fonction à valeurs complexes : calculer les intégrales R 0
π2e it d t et R 0 1 x−(1+i) dx . 8. Savoir dériver une fonction du type φ ( x ) = R u(x) v(x) f ( t ) d t définie par une intégrale : démon-
trer que la tangente au point d’abscisse 1 à la courbe de la fonction x 7→
Z x
30
e t
2−1 d t est parallèle à la droite d’équation y = 3x − 2.
9. Savoir étudier une une fonction du type φ(x) = R u(x) v(x) f(t) dt : on pose φ(x) = R x 3x e
−t
tdt.
(a) Justifier que φ est bien définie sur ]0 , + ∞ [, de classe C 1 et strictement décroissante.
(b) Démontrer que pour x > 0, on a ln(3)e − 3x 6 φ(x) 6 ln(3)e −x , en déduire les limites de φ en + ∞ et 0.
(c) Démontrer que l’on peut prolonger f en une fonction de classe C 1 sur [0 , + ∞ [.
10. Obtenir des relations de récurrence à l’aide d’IPP : on pose W n = R 0
π2sin n (t) dt. Démontrer que
W n+2 = n + 1 n + 2 W n .
11. Savoir faire des changements de variable : soit a, b > 0. Calculer R 0 a
r
1 − x a
2
d x . En
déduire l’aire de l’ellipse d’équation x a 2 + y b 2 = 1.
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 2 12. Reconnaître des sommes de Riemann : déterminer les limites des suites :
u n = 1
n + 1 + 1
n + 2 + · · · + 1
2n et v n =
nv u u t
n
Y
k=1
1 + k n
!
.
13. Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz : Soit f : [a, b] → R continue et strictement positive.
Démontrer que
Z b a
f
Z b a
1
f > (b − a) 2 .
14. Intégrer une fraction rationnelle : calculer une primitive de R x
3dx − 1 .
15. Obtenir des inégalités globales avec des formules de Taylor : démontrer que
∀ x ∈ R + , | sin x − x + x 3 6 | 6 x 4
24 .
16. Démontrer un développement en série entière à l’aide de Taylor : démontrer que
∀ x ∈ R , lim
n→+∞
n
X
k=0
x k k ! = e x .
2 Exercices complémentaires
2.1 Quelques calculs
Exercice 1 Pour p et q dans N , on pose B(p, q) = Z 1
0
t p (1 − t) q dt.
1. Démontrer que B ( p, q ) = B ( q, p ).
2. Démontrer que l’on a B ( p, q ) = q
p + 1 B ( p + 1 , q − 1). En déduire l’expression de B ( p, q ).
Exercice 2 (Intégrale de Wallis) Pour tout n ∈ N , on définit l’intégrale de Wallis d’ordre n par
W n = Z
π 2
0 sin n t dt.
1. Démontrer que l’on a aussi W n = Z
π 2