ILogiqueetensembles Logique Exercicessurlechapitre«Logique,ensemblesetcoefficientsbinomiaux»

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

Exercices sur le chapitre «Logique, ensembles et coefficients binomiaux»

I Logique et ensembles

Logique

Exercice 1 (Apprendre à manier les symboles mathématiques) Traduire à l’aide de sym- boles mathématiques :

1. Le nombre 5 appartient à l’ensemble des entiers naturels.

2. L’ensemble constitué des nombres 3 et 5 est inclus dans l’ensemble des entiers naturels 3. L’ensemble constitué de l’élément 5 est contenu dans l’ensemble des entiers naturels.

4. Les nombres 3 et 5 appartiennent à l’ensemble des entiers naturels.

5. Pour tout réel x positif ou nul, x ² est positif ou nul.

6. L’élément x appartient à A ou à B. L’élément x appartient à A et à B.

Exercice 2 (Apprendre à écrire) On pose E = {a, b, c, d}.

1. Déterminer toutes les parties de {b, c, d}.

2. Les écritures suivantes sont-elles correctes ?

(a) a ∈ E (b) a ⊂ E (c) {b, d} ∈ E (d) {b, d} ⊂ E (e) (a, b) ∈ E (f) (a, b) ∈ E × E (g) (a, b) ⊂ E × E

3. À quels ensembles appartiennent les éléments suivants : (a, b, c) ; {a, b, c} ? 4. Y-a-t-il une différence entre les ensembles ∅ et {∅} ?

5. On pose F = {1, 2}. Écrire les éléments de E × F .

Exercice 3 Soit f une fonction de R dans R . Écrire au moyen de quantificateurs les phrases suivantes :

1. f s’annule au moins une fois 2. f ne prend jamais la valeur 2.

3. f prend au moins une fois la valeur 1. 4. f est croissante

5. f est périodique 6. f est majorée

Exercice 4 (Une tautologie) P et Q désignent deux assertions. Dresser la table de vérité de l’assertion «(nonP ⇒ Q)ou(Q ⇒ P )». Commenter.

Exercice 5 Démontrer le résultat de cours sur la distributivité du «ou» par rapport au «et»

(on pourra utiliser un tableau de vérité).

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 2 Exercice 6 (Apprendre à démontrer) Déterminer si les assertions suivantes sont vraies ou non (justifier).

1. ∃n ∈ N , ∀m ∈ N , m 6 n. 2. ∀m ∈ N , ∃n ∈ N , m 6 n. 3. ∀n ∈ N , ∀m ∈ N , m 6 n.

4. ∀n ∈ N , ∃m ∈ N , m 6 n. 5. ∃m ∈ N , ∀n ∈ N , m 6 n. 6. ∃m ∈ N , ∃n ∈ N , m 6 n.

Exercice 7 (Apprendre à nier) Soit f une fonction de R dans R et a un réel. Quelle est la négation des propositions suivantes ?

1. ∃M ∈ R , ∀x ∈ R , f (x) 6 M . 2. ∀x ∈ R , f (x) > 1 ou f (x) 6 −1.

3. 1 < x 6 5 4. ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ R , (|x − a| < η ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).

Exercice 8 (Un vrai-faux) Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. ∀x ∈ R , (x > 1 ⇒ x > 2). 2. ∃x ∈ R , (x > 1 ⇒ x > 2).

Exercice 9 (Arithmétique) Soit n ∈ N ^∗ . On considère l’assertion suivante que l’on nomme P (n) : «n pair ⇒ n + 1 premier». Pour quelles valeurs de n inférieur à 20, l’assertion P (n) est-elle vraie ?

Exercice 10 Soit (u n ) n ∈N une suite numérique.

u n est toujours nul u n est toujours non nul

u n est nul à partir d’un certain rang u n est non nul à partir d’un certain rang u n est nul au moins une fois u n est non nul au moins une fois

1. Écrire à l’aide de quantificateurs les phrases des trois premières lignes du tableau ci-contre.

2. Démontrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

• La suite (u n ) s’annule une infinité de fois

• ∀n ∈ N , ∃n 0 ∈ N | n 0 > n, u n

0

= 0.

Ensembles

Exercice 11 Soit x un élément d’un ensemble E. Décrire les ensembles P ({x}) et P (P ({x})).

Exercice 12 Soit A et B deux parties d’un ensemble E. Montrer que (A ∪ B = A ∩ B ) ⇔ A = B.

Exercice 13 (Différence symétrique) Soient A et B deux parties d’un ensemble E. On appelle différence symétrique de A et B l’ensemble (A \ B) ∪ (B \ A) noté A∆B. Démontrer que

A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) .

Exercice 14 Soit A, B des parties d’un ensemble E et C et D des parties d’un ensemble F . 1. Démontrer que A ⊂ B ⇒ B ⊂ A. Est-ce une équivalence ?

2. Démontrer que (A × C) ∪ (B × C) = (A ∪ B ) × C.

3. A-t-on (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D) ?

Exercice 15 Pour k ∈ N , on pose A k = [k, k + 10]. Déterminer

9

[

k=3

A k et

9

\

k=3

A k .

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II Coefficients binomiaux

Un soupçon de dénombrement

Exercice 16 (La nuit du Volley) Le lycée organise un tournoi de Volley. La classe de MPSI désire y participer. Pour cela elle doit inscrire 10 noms d’élèves.

1. Combien d’équipes différentes la classe de MPSI peut-elle former ?

2. Finalement les règles ont changé. Pour former une équipe il faut 6 élèves et 3 professeurs (qui vous enseignent cette année). Combien d’équipes différentes la classe de MPSI peut- elle former ?

3. Quel professeur la classe a-t-elle intérêt à choisir ?

Exercice 17 (Un exo Posé par Cédric Villani) On appelle nombre palindrome un entier dont la lecture de ses chiffres est la même par la gauche ou par la droite. Par exemple, 45754 est un nombre palindrome. Combien existe-t-il de nombres palindromes à 351 chiffres ?

Exercice 18 (Encore du dénombrement) Les questions sont indépendantes : 1. Combien de triangles peut-on former avec 300 points distincts ?

2. Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec l’alphabet latin ? Et si les lettres sont distinctes ?

3. Dénombrer de deux façons différentes le nombre de couples (i, j) tels que 1 6 i < j 6 n.

En déduire la somme

X

16 i<j 6 n

1.

4. Quel est le nombre de diagonales d’un polygone à n côtés ?

Autour du binôme de Newton

Exercice 19 Simplifier les sommes suivantes :

n

X

k =0

n k + 1

!

3 ^k et

n

X

k =0

(−1) ^k n + 1 k

!

.

Exercice 20 Soit f la fonction polynomiale définie sur R par f(x) = (2 + 3x ² ) ¹⁵ . Déterminer le degré de f ainsi que son terme de degré 22.

Exercice 21 (Calcul de sommes)

1. Démontrer que pour tous entiers n et p vérifiant 0 < p 6 n, on a n

p

!

= n p

n − 1 p − 1

!

.

Le résultat persiste-t-il pour n et p entiers relatifs quelconques ?

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 4 2. En déduire les sommes suivantes :

(a)

n

X

k =0

k n k

!

(b)

n

X

k =0

(−1) ^k+1 k n k

!

(c)

n

X

k =0

1 k + 1

n k

!

(d) ^{X n}

k =0

k(k − 1) n k

!

(e) ^{X n}

k =0

k ² n k

!

Exercice 22 (Une technique classique) Soit n ∈ N . 1. Calculer

n

X

k =0

k n k

!

en dérivant de deux façons différentes la fonction f : x 7→ (1 + x) ⁿ .

2. Calculer aussi

n

X

k =0

1 k + 1

n k

!

(on pourra intégrer entre 0 et 1).

Exercice 23 (Somme des éléments pairs d’une ligne du triangle de Pascal) Le but de l’exercice est de calculer les sommes S 0 = ^X

06k6

ⁿ₂

n 2k

!

et S 1 = ^X

06k6

ⁿ⁻₂¹

n 2k + 1

!

.

1. Exprimer (1 + 1) ⁿ et (1 − 1) ⁿ en fonction de S 0 et S 1 . 2. En déduire S 0 et S 1 .

Exercice 24 (Somme des éléments d’une colonne du triangle de Pascal) Soit a 6 b des entiers et p un entier. Démontrer la formule suivante :

b

X

k=a

k p

!

= b + 1 p + 1

!

− a p + 1

!

.

Exercice 25 (Coefficient maximal d’une ligne du triangle de Pascal) Soit n ∈ N . 1. Démontrer à l’aide de la formule du binôme de Newton que 4 ⁿ > ² _n ⁿ .

2. Démontrer que la suite k 7→ ² _k ⁿ est croissante sur J0, nK. En déduire que :

∀k ∈ J0, 2nK, 2n n

!

> 2n k

!

. 3. En déduire l’encadrement :

4 ⁿ

2n + 1 6 2n n

!

6 4 ⁿ .