©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

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Devoir maison n°6 pour lundi 03/01/2022

Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

Problème : convergence d’un produit

Soit (u n ) une suite de réels non nuls, on lui associe la suite (p n ) définie par :

∀ n ∈ N ^∗ , p _n =

n

Y

p=1

u _p = u 1 u 2 · · · u _n

On dit que le produit ( p _n ) converge si et seulement si la suite ( p _n ) admet une limite finie non nulle. Sinon on dit que le produit (p n ) diverge.

PREMIERE PARTIE

1. Soit p _n = ^{Q n}

p=1 1 + 1 p

!

.

Calculer p _n pour tout n ∈ N . En déduire la nature du produit (p n ).

2. Dans cette question, (u n ) désigne une suite quelconque de réels non nuls telle que le produit (p n ) converge. En considérant le quotient p _n

p _{n −} 1

montrer qu’il est nécessaire que la suite (u n ) converge vers 1. Cette condition est-elle suffisante ?

3. On pose pour n ∈ N ^∗ , u _n = 1 + ¹ _n ⁿ . Déterminer la limite de la suite (u n ). En déduire la nature du produit (p n ) associé à (u n ).

4. Soient un réel a différent de kπ (k ∈ Z ) et p _n = ^{Q n}

p=1 cos a 2 ^p . Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a

p _n sin

a 2 ⁿ

= sin a 2 ⁿ . En déduire que le produit (p n ) converge et donner sa limite.

DEUXIEME PARTIE

5. Soit (p n ) un produit associé à une suite (u n ) qui converge vers 1.

(a) Montrer qu’il existe un entier n 0 tel que : ∀ n > n 0 , u _n > 0.

(b) On pose pour n > n 0 , S _n = ^{P n}

p=n

ln(u p ).

Démontrer que la suite (S n ) converge, si et seulement si, le produit (p n ) converge.

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6. Soit p _n = ^{Q n}

p =1

√

p et soit S _n = ^{P n}

p =1

ln p p .

(a) Déterminer la monotonie de la fonction f : x 7→ ^ln _x ^x sur ]0, + ∞ [. En déduire que :

∀ n > 3,

n

X

p=3

ln p p >

Z n+1

3

f (x) dx.

(b) En déduire la nature de la suite (S n ) et du produit (p n ).

TROISIEME PARTIE

7. Soit p _n = ^{Q n}

p=1 (1 + v _p ) où ( v _n ) est une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0.

On pose

S _n ^′ =

n

X

p=1

v _p et S _n =

n

X

p=1

ln(1 + v _p ).

(a) Déterminer la monotonie de la suite (S n ).

(b) Montrer que si la suite (S _n ^′ ) converge, alors le produit (p n ) converge.

8. Déduire de la question 1. la limite de la suite (S _n ^′ ) définie par S _n ^′ = ^{P n}

p=1

1 p . 9. Application : soit p _n = ^{Q n}

p=1 (1 + a ^p ) où a ∈ R ^∗

+ .

Discuter la nature du produit (p n ) selon la valeur de a.