©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022
Année scolaire 2021-2022 MPSI
Devoir surveillé de MATHÉMATIQUES n°3 Samedi 20 novembre 2021
Durée de l’épreuve : 4h de 8h à 12h00 Professeur : M. de Saint Julien Les calculatrices sont interdites.
Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
I Exercices
Exercice 1 (Question de cours) Soit f : E → F et g : F → G deux applications.
1. Démontrer que si f et g sont injectives alors g ◦ f est injective.
2. La réciproque est-elle vraie ?
3. Démontrer que si f et g sont surjectives, alors g ◦ f : E → G est surjective.
Exercice 2 Les questions sont indépendantes.
1. Résoudre sin x =
−12pour x ∈ [5π, 7π] et calculer arcsin(sin
27π5).
2. Démontrer que le graphe de la fonction arccos possède un centre de symétrie que l’on dé- terminera.
3. Pour tout réel x, on pose
f(x) = arctan(sh(x)) et g(x) = arctan(e
x).
Calculer la dérivée des fonctions f et g. En déduire pour tout x ∈ R , une relation entre f(x) et g(x).
II Problème : énergie d’un signal périodique, décompo- sition en série de Fourier
Dans ce texte, on appellera signal une fonction 2π-périodique, continue f : R → R de variable réelle t (on modélise ainsi un signal périodique comme une onde sonore ou une tension).
1/4
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022
Définition 1 On appelle énergie d’un signal f l’intégrale notée E(f ) : E(f) =
Z
2π 0f
2(t) dt.
On se permettra lorsque c’est «pertinent» d’appeler f(t) le signal f . Par exemple, nous écrirons cos(2t) pour désigner le signal t 7→ cos(2t).
III Quelques exemples
1. Soit f un signal et λ ∈ R . Exprimer E(λf ) en fonction de E(f ).
2. Soit p et q des entiers naturels. Calculer l’intégrale (attention il y a trois cas) I
p,q=
Z
2π0
cos(pt) cos(qt) dt.
3. En déduire pour p ∈ N
∗, que l’énergie du signal cos(pt) vaut π , puis sans calcul supplémen- taire donner l’énergie du signal sin(pt).
4. Soit f : R → R continue et 2π-périodique. Redémontrer le résultat de cours suivant :
Z
2π 0f (t) dt =
Z
π−π
f (t) dt.
On pourra montrer par un argument de dérivabilité que la fonction G ci-dessous est constante :
∀x ∈ R , G(x) =
Z
x+2π xf(t) dt
5. On considère le signal «dent de scie» noté s défini de la façon suivante : s est 2π-périodique, paire et s(t) = π − t pour t ∈ [0, π[. Tracer le signal s, puis démontrer que son énergie vaut
2 3
π
3.
IV Notion de signaux orthogonaux
Définition 2 Soit f et g deux fonctions continues 2π-périodiques (deux signaux). On appelle produit scalaire de f par g l’intégrale
hf, gi =
Z
2π 0f (t)g(t) dt.
On dit que f et g sont des signaux orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si hf, gi = 0.
Plus généralement, une famille de signaux (f
1, f
2, . . . , f
n) est dite orthogonale, si les signaux de la famille sont 2 à 2 orthogonaux, c’est-à-dire si hf
i, f
ji = 0 pour tous les entiers distincts i et j de J 1, n K .
2/4
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022
6. Soit p et q des entiers naturels. On pose K
p,q=
Z
2π 0cos(pt) sin(qt) dt
Déterminer la parité de la fonction t 7→ cos(pt) sin(qt). En déduire sans calcul que K
p,q= 0.
7. Démontrer que l’énergie de la somme de deux signaux orthogonaux est la somme des énergies des deux signaux.
En déduire sans calcul supplémentaire d’intégrales l’énergie du signal f (t) = 3 cos t + 5 sin t.
8. Généralisation : soit n > 2 un entier et (f
1, f
2, . . . , f
n) une famille orthogonale de signaux.
Justifier que f
nest orthogonal à f
1+ f
2+ · · · + f
n−1. En déduire par récurrence, que :
E(f
1+ f
2+ · · · + f
n) = E(f
1) + E(f
2) + · · · + E(f
n).
Autrement dit : «l’énergie d’une somme finie de signaux orthogonaux est égale à la somme des énergies».
V Introduction à la décomposition en série de Fourier
La théorie de Fourier affirme qu’un signal 2π-périodique f (t) peut se décomposer comme une somme de signaux sinusoïdaux fondamentaux :
f (t) = a
0+ (a
1cos(t) + b
1sin(t)) + (a
2cos(2t) + b
2sin(2t)) + (a
3cos(3t) + b
3sin(3t)) + · · ·
et a
0, a
1, b
0, b
1, . . . des réels appelés coefficients de Fourier.
On suppose donc qu’il existe un entier N > 1 tel que pour tout réel t : f(t) = a
0+
N
X
n=1
(a
ncos(nt) + b
nsin(nt)).
9. Démontrer que la famille de signaux (sin(t), sin(2t), . . . , sin(nt)) est orthogonale. En déduire que l’énergie du signal f(t) est :
(2π)a
20+ π
N
X
n=1
