Corrigé Devoir Surveillé 1

Corrigé Devoir Surveillé 1

La clarté de la rédaction sera prise en compte dans l'appréciation de la copie. Les réponses aux diérentes questions seront séparées par un trait horizontal et les résultats seront encadrés. L'usage de la calculatrice ou de tout autre instrument de calcul (téléphone, ordinateur ...) est formellement interdit.

Exercice 1

On considère la fonctionf qui àx >1associef(x) =√

x−1. Pour toutx >1, calculer et simplier les expressions suivantes.

1. f(x) +_f(x)¹ =√

x−1 +^√1

x−1 =√ x−1 +

√x−1 x−1 =√

x−1(1 +_x−1¹ ) =√

x−1._x−1^x =^√x

x−1

2. f(x+2)−f(x) f(x+2)+f(x) =

√x+1−√

√ x−1 x+1+√

x−1 = (^{√x+1−√x−1})²

(^{√x+1+√x−1})(^{√x+1−√x−1}) = ^{x+1+x−1−2}

√(x−1)(x+1)

x+1−x+1 =x−p

(x−1)(x+ 1) = x−√

x²−1 3. p

x+ 2f(x) =p x+ 2√

x−1 = q

(√

x−1 + 1)²=√

x−1 + 1 4. ^f_f(x)^0(x)=

1 2√

√x−1

x−1 =_2(x−1)¹ 5. f(x) + 4f⁰⁰(x) =√

x−1 + 4._4(x−1)^−1√_x−1=√ x−1−

√x−1 (x−1)√

x−1√

x−1 =√

x−1(1−_(x−1)¹ 2) = _(x−1)^x(x−2)√_x−1 6. _f^f(x)00_(x) =

√x−1

−1 4(x−1)√

x−1

=−4.

√x−1

1 (x−1)√

x−1

=−4(x−1)²

Exercice 2

Soitf :x7→ ^e_e^x_x^−e_+e^−x−x .

1. Le dénominateur ne peut s'annuler et la fonctione st dénie surR.

2. Soient aetbdeux réels. On a

f(a)+f(b) 1+f(a)f(b) =

ea=e=a ea+e=a+^eb=e=b

eb+e=b

1+^ea=e=a_ea+e=a.^eb=e=b_eb+e=b

= (^ea=e^=a)(^eb+e=b)⁺(^eb=e^=b)(^ea+e=a)

(e^a+e^=a)(e^b+e^=b)+(e^a=e^=a)(e^b=e^=b)

= ^e_e^a+b_a+b^+e_+e^a−ba−b^−e+e^{−a+b−a+b−e}+e^{−a−b−a−b+a}+e^a+ba+b−e^+eb−aa−b−e^{−e−a+b−b+a}+e^{−e−a−b−b−a}

= ^2e_2e^a+b_a+b^−2e_+2e^−a−b_−a−b

= ^e_e^a+ba+b^−e+e^{−a−b−a−b}

= f(a+b)

3. On écrit que pour toutx∈R

f(x) = e^x(1−e^−2x)

e^x(1 +e^−2x)= 1−e^−2x 1 +e^−2x Il est alors clair que lim

x→+∞f(x) = 1. 4. On écrit que pour toutx∈R

f(x) = e^−x(−1 +e^2x)

e^−x(1 +e^2x) = −1 +e^2x 1 +e^2x Il est alors clair que lim

x→−∞f(x) =−1.

Exercice 3

Le contraire de la propriété mathématique suivante :

∀y∈R,∃x >0 : ln(x) =y.

est la propriété :

∃y∈R:∀x >0,ln(x)6=y.

Exercice 4

Résoudre dansRles équations ou inéquations suivantes : 1. e^3x−5>12⇔3x=5>ln(12)⇔x > ^ln(12)+5₃

2. 1≤e^−x2+x⇔ −x²+x≥0⇔x(1−x)≥0⇔x∈[0,1]

3. e^1+ln(x)>2⇔1+ln(x)>ln(2)⇔ln(x)>ln(2)−1⇔x > e^ln(2)−1⇔x > eln(2)−ln(e)⇔x > e^ln(2/e)⇔x > ²_e 4. e^−6x≤√

e⇔e^=6x≤e^1/2⇔ −6x≤ ¹₂ ⇔x≥ ⁻¹₁₂

5. An de résoudre cette équation on doit avoir −x−5>0 et x=61>0 etx+ 7>0 ce qui est impossible en

simultané.

ln(=x=5) = ln(x=61)=ln(x+ 7) ⇔ ln(=x=5) = ln(^x_x+7⁼⁶¹)

⇔ −x−5 = ^x_x+7⁼⁶¹

⇔ (−x−5) (x+ 7) =x=61

⇔ −x²−5x−7x−35 =x−61

⇔ −x²−13x+ 26 = 0

⇔ x=^13±

√ 273

−2

6. L'équation qui semble être la même a ici un sens lorsque −x−5 >0 et x=61<0 et x+ 7<0 donc pour x <−7 .

ln(=x=5) = ln(^x_x+7⁼⁶¹) ⇔ −x−5 = ^x_x+7⁼⁶¹ etx <−7

⇔ (−x−5) (x+ 7) =x=61et x <−7

⇔ −x²−5x−7x−35 =x−61etx <−7

⇔ −x²−13x+ 26 = 0 etx <−7

⇔ x= ^13±

√273

−2 et x <−7

⇔ x=−¹³⁺

√273 2

Probleme : La suite de Fibonacci

On considère la suite(un)dénie par :

u0= 0,u1= 1, et∀n∈N, un+2=un+1+un.

Partie 1 : une formule explicite

1. Les 9 premiers termes de la suite sont :

u₀= 0,u₁= 1,u₂= 1,u₃= 2, u₄= 3,u₅= 5,u₆= 8,u₇= 13,u₈= 21et u₉= 44. 2. Montrons que ∀n >1la propriétéPn :un∈N⁺ est vraie.

ˆ Initialisation : P1 etP2 sont évidemment vraies.

ˆ Hérédité : Soitn∈N^∗ tel quePn etPn+1 sont vraies.

un+2 =un+1+un est évidemment un entier naturel non nul comme somme d'entiers naturels non nuls (par hypothèse de récurrence).

DoncP_n+2 est vraie.

ˆ Conclusion : pour tout entiern >0,u_n∈N^∗. De plus u₀= 0∈Ndonc pour tout n∈N,u_n∈N.

3. Soient r₁ etr₂, les deux solutions réelles de l'équationX²−X−1 = 0. (a) Calculons le discriminant∆ = 1−4×(−1) = 5>0.

On a donc deux solutions réelles qui sont : r2= ¹⁻

√5

2 etr1=¹⁺

√5 2 . (b) Montrons par récurrence la propriétéPn dénie par :

Pn: ”un = 1

√5(rⁿ₁−r₂ⁿ)”

est vraie pour toutn∈N.

ˆ Initialisation :

u0= 0et ^√1₅(r₁⁰−r₂⁰) = 0doncP0 est vraie.

u₁= 1et ^√1₅(r₁¹−r₂¹) =¹⁺

√5−1+√ 5 2√

5 = 1doncP₁est vraie.

ˆ Hérédité :

Soitn∈Ntel quePn et Pn+1sont vraies.

un+2=un+1+un

un+2= ^√1

5(rⁿ⁺¹₁ −rⁿ⁺¹₂ ) +^√1

5(r₁ⁿ−rⁿ₂)par hypothèse de récurrence un+2= ^√1

5(rⁿ₁(r1+ 1)−r₂ⁿ(r2+ 1)) = ^√1

5(r₁ⁿ⁺²−rⁿ⁺²₂ )carr₂²=r2+ 1et r²₁=r1+ 1 (voir polynôme).

DoncPn+2 est vraie.

ˆ Conclusion : Ainsi pour toutn∈N, on au_n= ^√1

5(rⁿ₁ −r₂ⁿ). 4. (a) Comme−1< r₂<0, on arⁿ₂ −→

n→+∞0 et commer₁>1, on arⁿ₁ −→

n→+∞+∞. On a doncun −→

n→+∞+∞.

(b) Pour toutn∈N^∗,un6= 0doncvn= ^u_uⁿ⁺¹

n est bien dénie.

De plusv_n= ^r

n+1 1 (1−(^r_r²

1)ⁿ⁺¹) r₁ⁿ(1−(^r_r²

1)ⁿ) =r₁¹⁻⁽

r2 r1)ⁿ⁺¹ 1−(^r_r²

1)ⁿ −→

n→+∞r₁ car−1<^r_r²

1 <0. 5. Soitλ∈R^∗+. Posons pour toutn∈N:

wn =

n

X

k=0

uk

λ^k. (a) On aw_n =

n

P

k=0

√1

5(r^k₁−r^k₂) λ^k = ^√1

5(

n

P

k=0

(^r_λ¹)^k−

n

P

k=0

(^r_λ²)^k).

ˆ Si λ6=r1 etλ6=r2, on a :

wn= 1

√5((^r_λ¹)ⁿ⁺¹−1

r1

λ −1 −(^r_λ²)ⁿ⁺¹−1

r2

λ −1 )

ˆ Si λ=r1, on a :

w_n= 1

√5(n−(^r_r²

1)ⁿ⁺¹−1

r2 −1 )

ˆ Si λ=r2, on a :

wn= 1

√5((^r_r¹

2)ⁿ⁺¹−1

r₁

r2−1 −n (b) On en déduit que siλ > r1, on a wn −→

n→+∞

√1 5(r1⁻¹

λ−1+ r2¹ λ−1).

Partie 2 : Propriétés de la suite

1. (a) Montrons que pour toutn≥1, la propriété ,Pn: ”u²_n=u_n−1un+1+ (−1)ⁿ⁺¹”est vraie.

ˆ Initialisation : u²₁= 1et u0u2+ (−1)²= 1doncP1est vraie.

ˆ Hérédité : Soitn≥1tel que Pn est vraie.

Prenons le problème à l'envers et calculons : unun+2+ (−1)ⁿ⁺² = un(un+1+un) + (−1)ⁿ⁺²

= unun+1+u²_n+ (−1)ⁿ⁺²

= unun+1+un+1un−1+ (−1)ⁿ⁺¹+ (−1)ⁿ⁺² par hypothèse de récurrence

= un+1(un+un−1) + 0 car(−1)ⁿ⁺¹+ (−1)ⁿ⁺²= 0

= u²_n+1 DoncPn+1 est vraie.

ˆ Conclusion : pour toutn≥1,u²_n=un−1un+1+ (−1)ⁿ⁺¹.

(b) Si un entierpdiviseun et un+1 alors il divise(−1)ⁿ⁺¹ et c'est absurde.

2. Soient (p, q)∈(N^∗)². On noteA(p, q) =u_p−1u_q+u_pu_q+1. Calculons :

u_p−1u_q+u_pu_q+1 = u_p−1u_q+u_p(u_q+u_q−1)

= u_q(u_p−1+u_p) +u_pu_q−1

= u_p+1u_q+u_pu_q−1

= upu_q−1+up+1uq

= A(p+ 1, q−1)

.

On peut alors augmenterpde 1 et diminuerqde 1, on fait cela q fois :

A(p, q) =A(p+q,0) =u_p+q−1u0+up+qu1=up+q.

3. (a) Montrons par récurrence que pour toutk∈N^∗ la propriétéPk :umdiviseukm est vraie.

ˆ Initialisation : si k= 1umdivisieumet P1 est vraie.

ˆ Hérédité : Supposons qu'il existek∈N^∗ tel quePk est vraie.

Avec ce qui précède appliqué à p= (k−1)met q=m : ukm =umukm−1+um−1ukm qui est divisible parum comme somme de deux termes divisibles parum.

DoncPk+1 est vraie.

ˆ Conclusion : Ainsi pour toutk≥1, u_mdiviseu_km.

(b) On sait queu₂₅= 75025est divisible par25. De plus, on a calculéu₆= 8. Commeu_km est divisible par u_k et paru_m, le nombreu₁₅₀ est divisible par 75025 et par8donc par 25 et par 4 et donc par 100.

(c) Ainsi, toujours grâce à la question II3a), si m est un multiple de 150,u_m est divisible paru₂₀₀ et donc par 100. Comme il y a une innité de nombres multiples de 200, il y a une innité de termes de la suite divisibles par 100 (avec deux 0 à la n de leur écriture décimale).

4. Soitn∈Net k∈Ntel quek≤n. Notons :

B(n, k) =unuk+1−ukun+1. Soient (n, k)∈(N^∗)²aveck≤n. Calculons :

B(n, k) = u_nu_k+1−u_ku_n+1

= u_nu_k+1−u_k(u_n+u_n−1)

= un(uk+1−uk)−uku_n−1

= unu_k−1−uku_n−1 caru_{k+ 1} −u_k=u_{k−1}

= −B(n−1, k−1)

On répète alors ce procédé k fois pour obtenir :

B(n, k) = (−1)^kB(n−k,0) = (−1)^ku_n−k.