Corrigé du devoir surveillé n ◦ 1

Corrigé du devoir surveillé n ^◦ 1

Questions de cours. — Soit a,b, c, m et n des entiers.

1. On dit que a diviseb s’il existe un entierk tel que b=ka.

2. Supposons quea diviseb. Alors, il existe un entier k tel queb =ka doncmb= m(ka) = k(ma) et ainsi ma divisemb.

3. Supposons quec divisea et cdiviseb. Alors, il existe deux entiersk et k⁰ tels que a= kc etb =k⁰cdonc ma+nb=m(kc) +n(k⁰c) = (mk+nk⁰)c. Or, comme m, n, k etk⁰ sont entiers, mk+nk⁰ est un entier. Ainsi, cdivise ma+nb.

Exercice 1.

1. On a 2 018 = 29×69 + 17 avec 0617<29 donc r = 17 .

2. On a 2 018 = 17×118 + 12 donc−2 018 =−17×118−12 =−17×118−17 + 17−12 =

−17×119 + 5 avec 065<17 donc r= 5 .

3. Soitn∈N. Alors,n²+ 3n+ 1 = n(n+ 2) +n+ 1 avec 06n+ 1< n+ 2 donc r =n+ 1 .

Exercice 2.

1. On au₀ = 4⁰+ 15×0−1 = 1−1 = 0 = 9×0,u₁ = 4¹+ 15×1−1 = 4 + 15−1 = 18 = 9×2 et u₂ = 4²+ 15×2−1 = 16 + 30−1 = 45 = 9×5 doncu₀,u₁ et u₂ sont divisibles par 9.

2. Soit n∈N. Alors,

u_n+1 = 4ⁿ⁺¹+ 15(n+ 1)−1 = 4×4ⁿ+ 15n+ 14

== 4×4ⁿ+ 60n−4−45n+ 18 = 4(4ⁿ+ 15n−1)−45n+ 18 i.e. u_n+1 = 4u_n−45n+ 18 .

3. On considère, pour tout n∈N, la propositionP_n : « 9 divise u_n».

On a vu que 9 diviseu₀ donc P₀ est vraie.

On suppose que P_k est vraie pour un certain k∈N.

Alors, 9 divise u_k et 9 divise 9 donc 9 divise toute combinaison linéaire de u_k et 9. En particulier, 9 divise 4u_n−9(5n−2) = 4u_n−45n+ 18 =u_k+1. Ainsi, P_k+1 est vraie.

On a donc montré par récurrence que, pour tout n∈N, 9 divise u_n.

Exercice 3. Méthode 1. — On écrit n² −1 = (n−1)(n+ 1). Comme n est impair, n−1 et n+ 1 sont pairs. Ce sont deux nombres pairs consécutifs donc l’un des deux est divisible par 2 et l’autre par 4 donc le produit est divisible par 2×4 = 8 i.e. n² −1 est divisible par 8 .

Méthode 2. — Comme n est impair, il existe un entier k tel que n = 2k + 1. Dès lors, n²−1 = (2k+ 1)²−1 = 4k²+ 4h+ 1−1 = 4k(k+ 1). Comme k et k+ 1 sont consécutifs, l’un d’eux est pair donc k(k+ 1) est pair i.e. il existe un entier p tel que k(k+ 1) = 2p. Dès lors, n²−1 = 4×2p= 8pdonc n²−1 est divisible par 8 .

Exercice 4.

1. Par définition,F₅ = 2⁽²⁵⁾−1 = 2³²−1 = 4 294 967 297. On vérifie que F₅ = 641×6700417 donc 641 diviseF₅ .

2. Comme 2ⁿ >1, 2⁽²ⁿ⁾ est pair doncF_n est impair. Il s’ensuit que les diviseurs de F_n sont tous impairs.

3. a. Par définition,

F_n+1−2 = 2²ⁿ⁺¹ + 1−2 = 2^2n×2−1 =2²ⁿ²−1² =2²ⁿ + 1 2²ⁿ−1 i.e. F_n+1−2 = F_n(F_n−2) .

b. Soit d un entier naturel qui divise F_n et F_n+1. Alors, d divise toute combinaison de Fn et Fn+1 donc d divise Fn+1−(F_n−2)F_n= 2. Ainsi, d= 1 ou d= 2. Mais, on a vu que les diviseurs de F_n sont impairs donc d= 1 .

4. a. Considérons, pour toutn∈N^∗, la propositionP_n : «F_n= F₀×F₁×F₂×· · ·×Fn−1+2 ».

CommeF₀+ 2 = 3 + 2 = 5 =F₁,P₀ est vraie.

Supposons que P_k est vraie pour un certain k ∈N^∗.

Alors, F_k = F₀ ×F₁ ×F₂ × · · · ×Fk−1 + 2. Or, d’après la question 3.a., F_k+1 = F_k(F_k−2) + 2 donc

F_k+1 =F_k(F₀×F₁×F₂× · · · ×F_k−1+ 2−2) + 2 =F₀×F₁×F₂× · · · ×F_k−1×F_k+ 2 donc P_k+1 est vraie.

On conclut que, pour tout n∈N^∗, F_n =F₀×F₁×F₂× · · · ×Fn−1 + 2 .

b. Soitdun entier naturel qui divise F_m et F_n. Commen > m >0,n >1. Ainsi, d’après la question précédente, F_n =F₀×F₁× · · · ×F_n−1+ 2. Or,m est compris entre 0 et n−1 donc F_m diviseF₀×F₁× · · · ×Fn−1 et, par suite, d diviseF₀×F₁× · · · ×Fn−1. Ainsi, d divise F_n−F₀ ×F₁ × · · · ×Fn−1 = 2 donc, comme d est positif, d = 1 ou d= 2. Mais, comme précédemment, d est impair donc d= 1 .