Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

Devoir maison n°2 pour lundi 20/09/2021

Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

Exercice 1 (Un peu de dénombrement) Les questions sont indépendantes.

1. Combien y-a-t-il de nombres qui s’écrivent avec exactement 5 chiffres (en base 10) ? 2. Combien de triangles peut-on construire avec 100 points deux à deux distincts ? Exercice 2 Soit A, B, C trois parties d’un ensemble E. Démontrer l’équivalence suivante :

A ∪ B = A ∩ C ⇐⇒ B ⊂ A ⊂ C.

Exercice 3 (Calcul de sommes) Soit n ∈ N ^∗ . Calculer les sommes suivantes : 1.

n− 1

X

k=0

( − 1) ^k n k + 1

!

3 ^k .

2. ^X

(i,j) ∈ J1,nK

j i

!

. 3.

n

X

i=1 n

X

j=i

i ² j ( j + 1) .

Exercice 4 (Coefficient maximal d’une ligne du triangle de Pascal) Soit n ∈ N . 1. Démontrer à l’aide de la formule du binôme de Newton que 4 ⁿ > ²ⁿ

n

. 2. Démontrer que la suite k 7→ ²ⁿ

k

est croissante sur J0 , n K. En déduire que :

∀ k ∈ J0, 2nK, 2 n n

!

> 2 n k

!

.

3. En déduire l’encadrement :

4 ⁿ

2n + 1 6 2n n

!

6 4 ⁿ .

Facultatif

Exercice 5 (Facultatif) Soit n ∈ N ^∗ et x ₁ , . . . , x _n des réels tels que

n

X

k=1

x ² _k =

n

X

k=1

x _k = n

Démontrer que x ₁ = x ₂ = · · · = x _n = 1.