Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

Devoir maison n°3 pour mercredi 13/10/2021

Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

1 Des exercices

Exercice 1 (Calcul de tan ^π 5 ) On considère le polynôme P (X) = 1 2i

(X + i) ⁵ − (X − i) ⁵ .

1. Résoudre l’équation z + i z − i

⁵

= 1 d’inconnue z ∈ C . En déduire les racines du polynôme P . Vérifier qu’elles sont toutes réelles.

2. Écrire (inutile de justifier) le polynôme P sous la forme P (X) = aX ⁴ +bX ² + c avec a, b, c des réels (vérifier que a + b + c = − 4). Déterminer alors en justifiant une autre écriture des racines de P .

3. Déduire avec soin des résultats précédents les valeurs exactes de tan π

5 et tan 2π 5 (on donnera les résultats sous la forme ^q a + b √

c avec a, b, c des entiers).

Exercice 2 (Entiers de Gauss et quadrillage) On pose Z [i] = { a + ib | a, b ∈ Z } . C’est l’ensemble des entiers de Gauss .

1. Soient z et z ^′ dans Z [i] avec z ^′ non nul. Démontrer que z

z ^′ s’écrit x + iy avec x et y rationnels. En déduire que e

ne peut s’écrire comme le quotient de deux entiers de Gauss.

2. Le plan est muni de son repère orthonormé direct naturel. Démontrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral ¹ dont les sommets ont des coordonnées entières.

3. On munit cette fois-ci l’espace d’un repère orthonormé direct naturel. Existe-t-il un tri- angle équilatéral à coordonnées entières dans l’espace ?

Exercice 3 Soit f : C → C ^∗ l’application définie par f (z) = e ^z . 1. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?

2. Déterminer f ^{− 1} ( U ) = { z ∈ C | f (z) ∈ U } et f(i R ) l’image de l’ensemble i R par la fonction f.

3. Représenter graphiquement f (∆) où ∆ est la droite d’équation y = x.

1. Avec des arguments du même type, on peut démontrer que le carré est le seul polygone régulier du plan

dont les sommets sont à coordonnées entières. On pourra consulter le corrigé de ce devoir ou pour une version

plus détaillée un article sur mon site prochainement.

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2 Facultatif : localisation des racines de polynômes à coefficients dans ± 1

Exercice 4 (Polynômes à coefficients dans {− 1, 1 } ) Soit P une polynôme dont les coef- ficients valent ± 1. Le but de l’exercice est de démontrer que les racines complexes de P ont un module compris entre 1/2 et 2.

On rappelle qu’un nombre complexe a est une racine de P si P (a) = 0.

1. Exemples :

(a) Donner les racines complexes de P = X ² − X − 1.

(b) Donner les racines complexes de P = X ⁴ + X ³ + X ² + X + 1.

Jusqu’à la fin de l’exercice, on pose

P = a ⁰ + a ¹ X + a ² X ² + · · · + a ⁿ X ⁿ . avec a ⁰ , a ¹ , . . . , a ⁿ des réels qui valent ± 1.

2. Soit z ∈ C tel que | z | < 1.

(a) Démontrer que

a ¹ z + a ² z ² + · · · + a ⁿ z ⁿ 6 | z | 1 − | z | . (b) En déduire que si z est une racine de P , on a | z | > ¹ ₂ . 3. On suppose cette fois-ci que z est une racine de P avec | z | > 1.

Démontrer que ¹ z est racine du polynôme Q = a 0 X ⁿ +a ¹ X ^{n − 1} +a ² X ^{n − 2} + · · · +a ⁿ ₋ ¹ X +a ⁿ , en déduire que | z | 6 2.

4. Un peu de dénombrement

(a) Combien y-a-t-il de polynômes à coefficients dans {− 1, 1 } de degré n ?

(b) Combien y-a-t-il de polynômes à coefficients dans {− 1, 1 } de degré 10 ayant exacte-

ment 3 coefficients égaux à +1 ?