Les différents problèmes doivent être rédigés sur des copies séparées.

Année Scolaire 2020 – 2021

MATHÉMATIQUES MPSI

DS N°10

Jeudi 10/06/2021 (3h)

Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles

ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés ou soulignés à larègle.

Les différents problèmes doivent être rédigés sur des copies séparées.

La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.

Problème 1 : Algèbre

Soit𝑛 ∈ ℕ.

PourP,Q ∈ ℝ_𝑛[X], on pose(P ∣ Q) = ∫¹

0 P(𝑡)Q(𝑡)d𝑡. On rappelle que ceci définit un produit scalaire surℝ_𝑛[X].

Q1) On convient queℝ₋₁[X] = {0}. Déterminer la dimension de(ℝ_𝑛−1[X])^⟂en tant que sous-espace deℝ_𝑛[X].

Dans la suite on considère un polynômeP_𝑛non nul appartenant à(ℝ_𝑛−1[X])^⟂. Q2) Justifier quedeg(P_𝑛) = 𝑛.

On pose pour la suiteP_𝑛= ∑^𝑛

𝑘=0𝑎_𝑛,𝑘X^𝑘. Q3) On poseR_𝑛(X) = ∑^𝑛

𝑘=0 𝑎_𝑛,𝑘

X+𝑘+1∈ ℝ(X). a) Montrer que∀𝑥 ⩾ 0,R_𝑛(𝑥) = ∫¹

0 𝑡^𝑥P_𝑛(𝑡)d𝑡.

b) Justifier l’existence d’un polynômeQ_𝑛∈ ℝ_𝑛[X], non nul, tel queR_𝑛(X) = (X+1)(X+2)⋯(X+𝑛+1)^Q𝑛(X) . c) À l’aide de Q3a, montrer que si𝑛 ⩾ 1, alors∀𝑘 ∈J0;𝑛 −1K,Q_𝑛(𝑘) = 0.

En déduire qu’il existeλ_𝑛∈ ℝ^∗tel queQ_𝑛= λ_𝑛^𝑛−1∏

𝑘=0(X−𝑘)(on convient que ce produit vaut1 si𝑛est nul).

d) Avec une décomposition en éléments simples, démontrer que :

∀𝑘 ∈J0;𝑛K𝑎_𝑛,𝑘= λ_𝑛(−1)^𝑛−𝑘 (𝑛 +𝑘)!

(𝑘!)²(𝑛 −𝑘)!

Donner l’expression deP_𝑛.

Dans la suite on imposeλ_𝑛= 1.

e) Montrer que la famille(P₀,P₁,…,P_𝑛)est une base orthogonale deℝ_𝑛[X]

Q4) a) Démontrer que‖P_𝑛‖²= 𝑎_𝑛,𝑛(X^𝑛∣ P_𝑛) = 𝑎_𝑛,𝑛R_𝑛(𝑛).

b) En déduire que‖P_𝑛‖ =_√2𝑛+1¹ . Pour𝑘 ∈J0;𝑛K, on poseT_𝑘= _‖P^P𝑘_𝑘‖. Que dire de la famille(T₀,…,T_𝑛)?

c) Vérifier que(X^𝑛∣ T_𝑛) =_{(2𝑛)!√2𝑛+1}^(𝑛!)2 > 0.

Quelle base orthonormale deℝ_𝑛[X]obtient-on si on applique la méthode de Schmidt à la famille(1,X,…,X^𝑛)(justifier)?

Q5) On noteB ∈ ℳ_𝑛+1(ℝ)la matrice de passage de la base(T₀,…,T_𝑛)à(1,X,…,X^𝑛). a) i) Soit(𝑖,𝑗) ∈J0;𝑛K², justifier que si𝑖 > 𝑗alors(T_𝑖∣ X^𝑗) = 0.

ii) Soit(𝑖,𝑗) ∈J1;𝑛 +1K², exprimer le coefficient𝑏_𝑖,𝑗deBsous forme d’un produit scalaire.

En déduire queBest triangulaire supérieure.

iii) Montrer quedet(B) = ∏^𝑛

𝑘=1 (𝑘!)² (2𝑘)!√2𝑘+1. b) SoitC =^tB×B.

Montrer que pour(𝑖,𝑗) ∈J1;𝑛 +1K², le coefficient d’indice(𝑖,𝑗)deCest𝑐_𝑖,𝑗= (X^𝑖−1∣ X^𝑗−1). c) Calculer(X^𝑖−1∣ X^𝑗−1).

En déduire que le déterminant de la matrice(_{𝑖+𝑗−1}¹ )_{1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛+1}est 2^𝑛𝑛!

(2𝑛 +1)!

∏𝑛 𝑘=1

(𝑘!)⁴ [(2𝑘)!]².

Problème 2 : Probabilités

Dans tout le sujet,Ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2.

Partie I : Préliminaires

Dans cette partie, on démontre deux résultats, indépendants l’un de l’autre, qui seront utilisés dans la suite du sujet.

Soient(Ω,ℙ)un espace probabilisé etXune variable aléatoire surΩtelle queX(Ω) =J0,NK. Q1) On pose

G ∶ 𝑡 ↦ ∑^N

𝑘=0ℙ(X = 𝑘) 𝑡^𝑘. Justifier queG(1) = 1etG^′(1) = 𝔼(X).

Q2) Soit(A₁,…,A_𝑝)un système complet d’événements deΩ.

On appelle espérance deXconditionnée par l’événementA_𝑖, et on note𝔼_A𝑖(X), le réel défini par 𝔼_A𝑖(X) = ∑^N

𝑘=0𝑘 ×ℙ_A𝑖(X = 𝑘).

(Il s’agit donc de l’espérance deXdans l’espace probabilisé(Ω,ℙ_A𝑖), c’est-à-dire l’espérance deX lorsqu’on sait queA_𝑖est réalisé.)

Prouver la formule suivante, dite de l’espérance totale : 𝔼(X) =∑^𝑝 ℙ(A )×𝔼 (X).

Partie II

L’objectif de ce problème est d’étudier un modèle d’évolution d’une population au cours du temps.

– On suppose qu’au départ (étape0), la population comporte un seul individu.

– A la première étape, celui-ci donne naissance à un nombre aléatoire de descendants, puis il meurt immédiatement.

– A la deuxième étape, chacun des enfants donne lui-même naissance à de nouveaux individus de la même manière.

– Et ainsi de suite tant qu’il reste des individus dans la population (celle-ci n’étant constituée à une certaine étape que par les nouveaux enfants puisque les parents sont décédés).

On noteX_𝑖le nombre d’enfants auxquels donne naissance l’individu𝑖, et on estime que les variables aléatoiresX_𝑖suivent toutes une même loiℒdéfinie parX(Ω) =J0,NKet

∀𝑘 ∈J0,NK, ℙ(X_𝑖= 𝑘) = 𝑝_𝑘∈]0,1[.

(Ainsi,𝑝_𝑘 désigne la probabilité pour un individu fixé qu’il donne naissance à𝑘enfants,Nétant le nombre maximal d’enfants.)

On note𝑚 = 𝔼(X_𝑖)l’espérance de la loiℒ.

En outre, on considère que chaque individu se reproduit indépendamment des autres, c’est-à-dire que toutes les variablesX_𝑖sont mutuellement indépendantes.

Enfin, pour tout𝑛 ∈ ℕ, on noteZ_𝑛le nombre d’individus dans la population à l’étape𝑛, et 𝑞_𝑛= ℙ(Z_𝑛= 0)

la probabilité que la population soit éteinte à l’étape𝑛. Le but du problème est d’étudier la limite de la suite(𝑞_𝑛)_𝑛∈ℕen fonction des valeurs de𝑚.

Q3) Dans cette question, on suppose que𝑚 < 1. a) Justifier brièvement queZ_𝑛(Ω) =J0,N^𝑛K.

Pour𝑘 ∈J0,N^𝑛K, on fait l’hypothèse que l’événement{Z_𝑛= 𝑘}est réalisé, et on noteX₁,…,X_𝑘 les nombres d’enfants que chacun des𝑘individus de la population à l’étape𝑛aura à l’étape 𝑛 +1. En exprimantZ_𝑛+1à l’aide deX₁,…,X_𝑘établir que

𝔼_{Z𝑛=𝑘}(Z_𝑛+1) = 𝑘𝑚.

b) Utiliser la question Q2pour en déduire que

𝔼(Z_𝑛+1) = 𝑚𝔼(Z_𝑛) puis donner une expression de𝔼(Z_𝑛)en fonction de𝑚et𝑛. c) Justifier queℙ(Z_𝑛⩾ 1) ⩽ 𝔼(Z_𝑛), et conclure que lim

𝑛→+∞𝑞_𝑛= 1dans le cas où𝑚 < 1. Q4) Dans cette question, on suppose que𝑚 ⩾ 1.

a) Prouver que pour tout𝑛 ∈ ℕet tout𝑘 ∈J0,NKon a ℙ_{Z1=𝑘}(Z_𝑛+1= 0) = 𝑞_𝑛^𝑘.

(On pourra noterE₁,…,E_𝑘les nombre de descendants à l’étape𝑛 +1de chacun des𝑘enfants du premier individu.)

b) En déduire que

∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑞_𝑛+1= ∑^N

𝑘=0𝑝_𝑘𝑞_𝑛^𝑘.

Q5) On considère comme en question Q1, pour une variable aléatoire de loiℒ, la fonction G ∶ 𝑡 ↦ ∑^N

𝑘=0𝑝_𝑘𝑡^𝑘.

a) Préciser le sens de variation deGsur[0,1]et, en remarquant que𝑞_𝑛+1= G(𝑞_𝑛), justifier que la suite(𝑞_𝑛)_𝑛∈ℕ est strictement croissante.

b) Conclure que la suite(𝑞_𝑛)_𝑛∈ℕ converge vers une limiteℓ ∈ [0,1]telle queG(ℓ) = ℓ. c) On définit la fonction𝑓 ∶ 𝑡 ↦ G(𝑡)−𝑡.

Dresser le tableau de variation de la fonction𝑓sur[0,1]en distinguant les deux cas𝑚 > 1et 𝑚 = 1.

Conclure que si𝑚 > 1alorsℓ < 1, et préciser la valeur deℓquand𝑚 = 1.

Problème 3 : Analyse

Les deux parties sont indépendantes (la deuxième partie n’utilise que le résultat énoncé en toute fin de la partie I).

Partie I : Mots bien parenthésés

On s’intéresse à des chaînes de caractères constituées uniquement des deux caractères parenthèse ou- vrante et parenthèse fermante. On dit qu’un mot estbien parenthésés’il commence par une parenthèse ouvrante et qu’à toute parenthèse ouvrante est associée une (unique) parenthèse fermantequi lui est postérieure. Par exemple le mot

( ) ( ( ) ) est bien parenthésé. En revanche, le mot

( ) ) ( )

n’est pas bien parenthésé. Un mot bien parenthésé est ainsi forcément constitué d’un nombre pair de caractères, chaque parenthèse qui s’ouvre doit se refermer.

Pour tout entier𝑛 ⩾ 1, on noteC_𝑛le nombre de mots bien parenthésés de longueur2𝑛. On pose par commoditéC₀= 1.

Q1) En énumérant (sans justification) les différents mots bien parenthésés de longueur 2,4,6, montrer queC₁= 1,C₂= 2et déterminerC₃.

Q2) Montrer que pour tout entier naturel𝑛,C_𝑛⩽ 2^2𝑛. En déduire que la série∑C𝑘𝑥^𝑘est absolument convergente pour|𝑥| < ¹₄.

On pose∀𝑥 ∈ ]−₄¹,¹₄[, F(𝑥) = ∑^+∞𝑘=0C_𝑘𝑥^𝑘. Onadmetles propriétés suivantes :

• Pour tout𝑛 ∈ ℕ,Fadmet un développement limité à l’ordre𝑛en 0 de la forme F(𝑥) = ∑^𝑛

𝑘=0C_𝑘𝑥^𝑘+𝑜(𝑥^𝑛).

• Fest continue sur]−¹₄,₄¹[et∀𝑥 ∈ ]−₄¹,₄¹[, F(𝑥) = 1+𝑥(F(𝑥))². Q3) Montrer que la fonction𝑓 ∶⎧

⎨⎩

]−₄¹,¹₄[ → ℝ

𝑥 ↦ 2𝑥F(𝑥)−1 ne s’annule pas. Que peut-on en déduire sur le signe de𝑓?

Q4) Déterminer pour tout𝑥 ∈ ]−₄¹,¹₄[une expression deF(𝑥)en fonction de𝑥.

Q5) Déterminer le développement limité à l’ordre𝑛de la fonction𝑢 ↦ √1−𝑢. On écrira les coeffi- cients sous la forme d’un quotient de factorielles et de puissances de 2.

Q6) Montrer que pour tout entier naturel𝑛,

C_𝑛= (2𝑛)!(𝑛 +1)!𝑛!.

Partie II : Un calcul d’intégrale Pour tout entier naturel𝑘, on pose

𝑚_𝑘= 12π ∫

2

−2𝑥^𝑘√4−𝑥²𝑑𝑥.

Q7) Pour𝑘 ∈ ℕ, que vaut𝑚_2𝑘+1?

Q8) En utilisant le changement de variable𝑥 = 2sin(𝑡), calculer𝑚₀.

Q9) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout entier naturel𝑘, 𝑚_2𝑘+2= 2(2𝑘 +1)𝑘 +2 𝑚^2𝑘.

Q10) En déduire que𝑚_𝑘=⎧

⎨⎩

C_𝑘/2 si𝑘est pair, 0 si𝑘est impair.

–FIN–